[PDF] ROC : Restitution organisées des connaissances

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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 juin 2014 à 9:22

ROC : Restitution organisées des

connaissances Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en ce qui concerne les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.

Table des matières

1 Suites2

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Inégalité de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Suite croissante non majorée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analyse7

2.1 Unicité de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Limites de référence de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Logarithme du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . 12

2.7 Croissance comparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . 14

2.9 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Les nombres complexes17

3.1 Propriétés des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Propriétés des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Probabilité. Statistique19

4.1 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Expérance d"une loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Loi normale - Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . 22

4.5 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Statistique - Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Géométrie dans l"espace25

5.1 Le théorème du toit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Droite orthogonale à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Suites

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique

Théorème 1 :Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0. La sommeSndes(n+1)premier termes est égale à : S n=u0+u1+···+un=u01-qn+1 1-q

Démonstration :on a :

S n=u0+u1+u2+···+un =u0+ (q×u0) + (q2×u0) +···+ (qn×u0) =u0(1+q+q2+···+qn)

On pose :An=1+q+q2+···+qn-1+qn

En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : A n=1+q+q2+···+qn-1+qn q×An=q+q2+···+qn-1+qn+qn+1

An-q×An=1-qn+1

On obtient alors :An=1-qn+1

1-q

Conclusion :On a doncSn=u01-qn+1

1-q

PAULMILAN2 TERMINALES

1. SUITES

1.2 Inégalité de Bernoulli

Théorème 2 :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

Démonstration :Par récurrence

•P(0)est vraie puisque(1+a)0?1+0apour touta?R+.

•Montrons que, pour toutn?N:

P(n)? P(n+1)

Soitn?N, supposons queP(n)est vraie donc :

(1+a)n?1+na Or, 1+a>0, donc en multipliant l"inégalité ci-dessus par(1+a), on obtient : (1+a)n+1?(1+na)(1+a) Or (1+na)(1+a) =1+a+na+na2=1+ (n+1)a+na2 et commena2?0 : (1+na)(1+a)?1+ (n+1)a

D"où

(1+a)n+1?1+ (n+1)a

P(n+1)est vrai.

Conclusion: on a :?P(0)

?n?N,P(n)? P(n+1)

Donc :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.3 Théorèmes de comparaison

Théorème 3 :Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :

1)Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"

v n?un?wnet si limn→+∞vn=?et limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?

2)Théorème de comparaison

•un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ •un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Pré-requis :Définition de la limite infinie d"une suite Démonstration :Seule la preuve du théorème de comparaison en+∞est exigible. On sait que : limn→+∞vn= +∞, donc pour tout réelA, il existe un entierNtel que sin>Nalorsvn?]A;+∞[ Commeun>vnà partir du rangpdonc sin>max(N,p)alorsun?]A;+∞[

On a donc bien : lim

n→+∞un= +∞

PAULMILAN4 TERMINALES

1. SUITES

1.4 Limite d"une suite géométrique

Théorème 4 :Soitqun réel. On a les limites suivantes :

•Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞

•Si-1

•Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas

Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigible

D"après l"inégalité de Bernoulli, on a :

?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient : q n?1+na

Commea>0 on a : limn→+∞1+na= +∞

D"après le théorème de comparaison on a : lim n→+∞qn= +∞ Remarque :Pour démontrer la deuxième limite, on peut poserQ=1 |q|, avec

0<|q|<1 doncQ>1 . On revient alors à la première limite et l"on conclut avec

le quotient sur les limites.

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.5 Suite croissante non majorée

Théorème 5 :Divergence

•Si une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un)diverge vers •Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite(un)diverge vers-∞. Pré-requis :Définition d"une suite non majorée. Démonstration :Seule la preuve de la première propriété est exigible. Soit donc une suite(un)croissante et non majorée. (un)n"est pas majorée, donc pour tout intervalle]A;+∞[, ?N?Ntel que :uN?]A;+∞[

Comme(un)est croissante, on a :

?n>Nalorsun>uN

Donc :

?n>Nalorsun?]A;+∞[ donc à partir d"un certain rang tous les termes de la suite sont dans l"intervalle ]A;+∞[. La suite(un)diverge vers+∞.

PAULMILAN6 TERMINALES

2. ANALYSE

2 Analyse

2.1 Unicité de la fonction exponentielle

Théorème 6 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp Démonstration :L"existence de cette fonction est admise.

Démontrons l"unicité.

•La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x)

Commef?=f, on a :

=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler. •UnicitéOn suppose que deux fonctionsfetgvérifient les conditions du théorème, soit f=f?,g?=getf(0) =g(0) =1. La fonctiongne s"annule donc pas, on définit alors surRla fonctionhparh=f g. On dériveh: h ?=f?g-fg? g2=fg-fgg2=0

La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)

g(0)=1

On a donc :?x?R,f(x)

g(x)=1. On en déduit quef=g. L"unicité est ainsi prouvé.

PAULMILAN7 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle

Théorème 7 :Soitaetbdeux réels, on a alors : exp(a+b) =exp(a)×exp(b) Remarque :Cette relation s"appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé- finir l"exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l"exponentielle est égale à sa dérivée. Démonstration :Posons la fonctionh(x) =exp(x+a) exp(a).quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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