[PDF] Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S.

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Toutes les questions de cours etR.O.C.au bac de

T.S.

Vincent PANTALONI

VERSION DU9MARS2012

Table des matières

Bac 20113

Bac 20115

Bac 20109

Bac 200911

Bac 200813

Bac 200717

Bac 200619

Bac 200521

ii

Remerciements.Cette compilation des questions de cours et restitutions organisées des connaissances d"après les an-

nales a été faite à partir des fichiers L ATEX tapuscrits par Denis Vergès (Denis.Verges@wanadoo.fr),

et disponibles sur la toile sur le site de l"A.P.M.E.P. (l"Association des Professeurs de Mathéma-

tiques de l"Enseignement Public) 1

2TOUTES LESR.O.C.DU BACS

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Bac 2011

Exercice n

o1 Restitution organisée de connaissances (Métropole-La Réunion, septembre 2011)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O? ? ?

Partie A - Restitution organisée de connaissances On désigne par quatre réels tels que le vecteur?=?+?+?soit différent du vecteur nul. On appellele plan d"équation+++= 0. Démontrer que le vecteur?est un vecteur normal au plan, c"est-à-dire que le vecteur?est orthogonal à tout vecteur??AB où A et B sont deux points quelconques du plan.

Exercice n

o2

Question de cours (Polynésie, septembre 2011

Partie A Question de cours

Soit I un intervalle deR.

Soientetdeux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivéeset soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d"intégration par partiessur un intervalle[;]de I. 3

4TOUTES LESR.O.C.DU BACS

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Bac 2011

Exercice n

o3 Restitution organisée de connaissances (Antilles-Guyane, septembre 2010)

On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation deainsi

que ses conditions d"utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur]0 ; +[et que pour toutde]0 ; +[on a : exp(ln) =.

À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de lafonction ln est la fonction définie

sur]0 ; +[qui àassocie1

Exercice n

o4 Restitution organisée de connaissances (Nouvelle-Calédonie novembre 2010)

On suppose connus les résultats suivants :

Soientetdeux fonctions continues sur un intervalle[;]avec si pour tout[;]()?0alors b a ()d?0 b a [() +()]d= b a ()d+ b a ()d b a ()d= b a ()doùest un nombre réel. Démontrer que sietsont deux fonctions continues sur un intervalle[;]avec et si pour toutde[;] ()?()alors : b a ()d? b a ()d

Exercice n

o5 Restitution organisée de connaissances (Nouvelle-Calédonie mars 2011)

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l"équation différentielle=oùRsont les

fonctionsdéfinies surRpar() =eaxoùR.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l"équation différentielle (E)=+où

RetR.

1.Démontrer que la fonctiondéfinie surRpar() =?

est une solution de (E).

2.Soitune fonction définie et dérivable surR. Démontrer l"équivalence suivante :est solution

de (E)?est solution de l"équation différentielle=.

3.En déduire toutes les solutions de l"équation différentielle (E).

Exercice n

o6 Restitution organisée de connaissances (Amérique du Nord 27 mai 2011) On considère trois points A, B et C de l"espace et trois réelsetde somme non nulle. Démontrer que, pour tout réelstrictement positif, l"ensemble des pointsde l"espace tels que ???A+???B+???C=est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, Bet C affectés des coefficients respectifs et. 5

6TOUTES LESR.O.C.DU BACS

Exercice no7

Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Amérique du Nord 27 mai 2011) Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Exercice n

o8 Restitution organisée de connaissances (Liban 31 mai 2011) Prérequis :On suppose connu le résultat suivant : Quels que soient les nombres complexes non nulsetarg() =arg()+arg()à2près. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nulset, on a : arg =arg()? arg()à2près.

Exercice n

o9 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Liban 31 mai 2011) On se place dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct. Prérequis :L"écriture complexe d"une similitude directe est de la forme=+oùetsont deux nombres complexes tels que= 0.

Démontrer que si A, B, A

et Bsont quatre points du plan tels que A=B et A=B, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B.

Exercice n

o10 Restitution organisée de connaissances (Polynésie 10 juin2011)

On supposera connus les résultats suivants :

Soientetdeux fonctions continues sur un intervalle[;].

Pour tous réelset

b a [() +()]d= b a ()d+ b a ()d. Sidésigne une fonction continue sur un intervalle[;]etune primitive desur[;] alors b a ()d= [()]ba=()?().

En utilisant la formule de dérivation d"un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues

sur un intervalle[;], démontrer la formule d"intégration par parties.

Exercice n

o11 Restitution organisée de connaissances (Asie 21 juin 2011)

Pré-requis :

1.B() =()

()(oùetsont deux évènements tels que()= 0); 2. = 1?()(oùest un évènement);

3.([;]) =()?()(oùetsont des nombres réels positifs tels que?).

Démontrer que, pour tout nombre réel positif, on a : [t; +]([;+]) =(+)?() 1?() et que[t; +]([;+])est indépendant du nombre réel.

Pour la suite de l"exercice, on prendra= 02.

Exercice n

o12 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Asie 21 juin 2011)

1.Pré-requis : tout nombre entierstrictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur

premier. Démontrer que tout nombre entierstrictement supérieur à 1 est premier ou peut se décom- poser en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l"unicité de cette décomposition). http://prof.pantaloni.free.frVERSION DU9MARS2012

TOUTES LESR.O.C.DU BACS

2.Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de629.

Exercice n

o13 Restitution organisée de connaissances (La Réunion juin 2011) Soientdeux points du plan d"affixes respectiveset.

On rappelle que :

= arg(?) + 2oùZ. * L"image du point B par la rotation de centre A et d"angleest le pointdéfini par : =et si=?? ?? =+ 2oùZ

Exprimer l"affixedu pointen fonction de et.

Exercice n

o14 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (La Réunion juin 2011) Soientdeux points du plan d"affixes respectiveset.

On rappelle que :

= arg(?) + 2oùZ. * L"image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport( 0)et d"angle est le pointdéfini par : =et si=?? ?? =+ 2oùZ

Exprimer l"affixedu pointen fonction de et.

Exercice n

o15 Restitution organisée de connaissances (Métropole 21 juin2011) On désigne parle plan d"équation+++= 0et par0le point de coordonnées (0;0;0). On appellele projeté orthogonal du point0sur le plan.

On suppose connue la propriété suivante :

Propriété :Le vecteur?=?+?+?est un vecteur normal au plan. Le but de cette partie est de démontrer que la distance(0)du point0au plan, c"est-à- dire la distance0, est telle que (0) =0+0+0+ 2+2+2

1.Justifier que????0

=0

2+2+2.

2.Démontrer que????0=?0?0?0?.

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