Lois continues
01?/03?/2014 Exercice : ROC : Espérance de la loi exponentielle . ... t s. Indices : On pourra expliciter la probabilité conditionnelle.
ROC : Restitution organisées des connaissances
18?/06?/2014 4.3 Expérance d'une loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 4.4 Loi normale - Probabilité d'intervalle centré en 0 .
DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S
Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ? . Alors : E(X) = 1 ? . D13 - Démonstration au programme (exigible BAC)
Question de cours en terminale S Préambule I- Les suites
P2 : Loi exponentielle ou loi à durée de vie sans vieillissement Les démonstrations au BAC ou ROC ( Restitution Organisée de Connaissances) sont ...
Terminale S
3 Fonction exponentielle et équation différentielle 11 Dénombrement et lois de probabilité ... ROC 2 : limite d'une suite décroissante non minorée.
Précisions sur lépreuve de mathématiques au bac 2013
06?/10?/2011 Les démonstrations exigibles en Terminale S. Nouveau programme 2013. ... d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de.
Fonction Exponentielle
ROC : Démonstration de l'unicité de la fonction exponentielle 12 On remarque cette forme particulière en cloche qui n'est pas sans rappeler la loi.
Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S.
On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u?v ainsi que ses conditions d'utilisation.
Probabilités continues et lois à densité
(AP) Méthode de Monte-Carlo. 1ère partie ?. Lois exponentielles. Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
Evaluation des outils pronostiques
La courbe ROC est évaluée par son aire sous la Le marqueur est généré selon une loi uniforme entre 0 et 1 ... exponentielle de paramètre le marqueur.
Clamathsfr Les Roc en Terminale S
ROC 8 – ESPERANCE DE LA LOI EXPONENTIELLE Démontrer que l’espérane d’une variale aléatoire ???? suivant une loi exponentielle de paramètre ???? est : (????)= 1 ???? Pré-requis : La densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre ???? est ( T)= ???? ? ???????? L’espérane est (: ????)=lim ? ( T) ???? 0
Loi exponentielle : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths
forcément une loi exponentielle Il existe par contre des variables discrètes (= qui ne prennent qu'un nombre fini de valeurs) sans vieillissement Finalement parmi les variables aléatoires à densité les seules qui sont sans vieillissement sont celles qui suivent une loi exponentielle III Espérance d'une v a qui suit une loi exponentielle
Restitution organisée de connaissances TS3 ROC n°1 : Chapitre
ROC n°1 : Chapitre 3 – Fonction exponentielle THÉORÈME Il existe une unique fonction définie et dérivable sur ? de dérivée ? égale à )et telle que (0=1 Remarque : Seule la démonstration de l’uni ité est à onnaître (pas la démonstration de l’existence)
Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle - Parfenoff org
II) Loi exponentielle 1) Définition Soit ? un réel strictement positif Une variable aléatoire ???? suit une loi exponentielle de paramètre ? lorsque sa densité de probabilité est la fonction ???? la fonction définie sur [ 0 ; + ? [ par : ???? ( ???? ) = ? ?????????? Remarque :
Rappels sur le chapitre précédent : TS Loi exponentielle
TS Loi exponentielle On a procédé à une ouverture permettant de relier les calculs précédents aux intégrales (ce qui peu Plan du chapitre : I Fonction de densité sur l’intervalle [0 ; + [ II Définition et premières propriétés de la loi exponentielle III Exercice-type rédigé IV Application à la physique
Qu'est-ce que la loi exponentielle ?
La loi exponentielle est une des lois de probabilité continue qui a de nombreuses applications. Découvrons ensemble cette loi de probabilité ! La loi exponentielle est une loi de probabilité continue définie par un paramètre noté ?. Elle a pour univers l’ensemble des réels positifs ou nuls. La loi exponentielle de paramètre ? est notée exp ( ? ).
Comment calculer la loi de décroissance exponentielle ?
Si on part de la relation de proportionnalité établie plus haut, que l'on fait tendre l'intervalle de temps ?t vers 0 et que l'on utilise des outils mathématiques, on arrive à la loi de décroissance exponentielle.
Quelle est la densité de probabilité d'une loi exponentielle?
Si l'espérance de vie du phénomène est E (X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité : pour tout t ? 0. De façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante:
Quels sont les domaines privilégiés de la loi exponentielle ?
Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité ( Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre ? s'appelle alors la constante de désintégration. La durée de vie moyenne s'appelle le temps caractéristique.
Terminale S
4 5 6 13 16 2328
35
38
42
51
k n Rappel : Variable aléatoire discrète et loi de probabilité discrète k
Exemple : Un dé à 6 faces
XX XExemple : Un nombre aléatoire entre 0 et 6
Y continuediscrète Y Y Y Complément : Une conséquence étonnante des lois continues n Remarque : De la difficulté de simuler une loi continue avec une machine Y Y YDe nouveaux univers
Adaptation du modèle
continue densité fonction de densitéDéfinition : Densité de probabilité
activité - p.42 densité de probabilitéComplément
fDéfinition : Fonction de répartition
Xf fonction de répartition XF [Solution n°1 p 51] kIndice :
Se rappeler que doit être continue, positive et queDéfinition
X continueExemple
Exemple
Complément
Fondamental
XComplément : Démonstration
Remarque
Rappel
espérance - p.44Fondamental
X [Solution n°2 p 51] [Solution n°3 p 51] médianeXmIndice :
[Solution n°4 p 51] XIndice :
Appliquer simplement la formule du cours
Définition
ab X f XMéthode : Calculer avec la loi uniforme
Exemple
randNbrAleat Ran# [Solution n°5 p 51] [Solution n°6 p 51]Fondamental
Complément
Exemple
[Solution n°7 p 52] [Solution n°8 p 52]Indices :
On pourra utiliser une variable S calculant la somme des temps de transport On pourra utiliser une boucle Pour afin de simuler les 10 trajets La moyenne des temps de transport sera la somme accumulée dans S divisée par 10... [Solution n°9 p 52]Indice :
Le temps moyen se calcule au moyen de l'espérance. durée de vie sans vieillissement loi exponentielle Loi des variables aleatoires representant une duree de vie sans usure T t tTduree de vie sans usure
Définition
T ts [Solution n°10 p 52] t tsIndices :
On pourra expliciter la probabilité conditionnelleOn pourra remarquer que si le téléviseur est encore en fonctionnement au temps , il y est aussi aut+s
temps .t [Solution n°11 p 53]Indice :
On se rappellera le cours sur la .construction de la fonction exponentielle* - p.47 [Solution n°12 p 53]Indice :
On remarquera que est une probabilité
[Solution n°13 p 54] f [Solution n°14 p 54]Indice :
La fonction densité est la fonction qui relie les sommets de l'histogramme indiquant les probabilités de
panne en fonction du nombre de mois sans panne. [Solution n°15 p 54] [Solution n°16 p 54] [Solution n°17 p 55]Remarque
Définition : Propriété et Définition de la loi exponentielle f loi exponentielle abComplément : Démonstration
f fComplément : Fonction de répartition
TF T [Solution n°18 p 55] [Solution n°19 p 55]Indice :
On pourra dériver la fonction
[Solution n°20 p 56]Indice :
On sait d'après le graphique que la probabilité que notre iPhone4 soit hors d'usage au bout de 12 mois
ou moins pour cause de défaillance ou accidentelle est de 15,9% [Solution n°21 p 56] [Solution n°22 p 56]Indices :
On se souvient que l'iPhone 4 possède un taux de défaillance matérielle au bout de 12 mois de 2,1%.
On pourra déterminer le paramètre de la nouvelle variable aléatoire suivant une loi exponentielle de
manière analogue à la première question. [Solution n°23 p 57] [Solution n°24 p 57] [Solution n°25 p 57] Loi binomialeDéfinition : Loi binomiale
Loi binomiale de paramètres et
Loi binomiale de paramètres et
Exemple : Loi binomiale B(2 ;p)
Simulation
Fondamental : Propriété admise
Exemple
Fondamental : Propriété admise : la variance de la loi binomiale [Solution n°26 p 57] XIndice :
On considère l'épreuve de Bernoulli dont le succès est l'obtention de la face 1 contre la table.
[Solution n°27 p 57] XIndice :
Appliquer simplement le résultat du cours
[Solution n°28 p 58] X Associer à chacune de ces lois sa représentation en diagramme en bâtons.Méthode : Sur TI
binomcf(Méthode : Sur Casio
BcdData :
Variable
Complément
Fondamental : Propriété admise
np X rappelle - p.45L'écart type
Simulation
n n n centrer n n Z nFondamental : Du discret au continu
n courbe en clocheAttention
Définition : Gaussienne
[Solution n°29 p 59] X [Solution n°30 p 59]Indice :
Si X prend ses valeurs entre 45 et 55, entre quels nombres Z prendra t-il ses valeurs ? [Solution n°31 p 60]Indice :
On remarquera que 100 est un nombre assez grand... [Solution n°32 p 61]Indice :
On révisera l'utilisation de la calculatrice pour la et pour le loi binomiale* - p.47calcul des intégrales*
.- p.49Définition
loi normale centrée réduite fFondamental : Propriétés
Complément : Démonstration de l'espérance nulle [Solution n°33 p 62]Indice :
On pourra utiliser la fonction intégrale de la calculatrice ou la fonction "loi normale". [Solution n°34 p 63]Indice :
Ne pouvant mettre comme borne inférieure, on pourra remarquer que grâce à la relation deChasles,
[Solution n°35 p 63]Indice :
Ne pouvant indiquer comme borne supérieure, on remarquera queFondamental
[Solution n°36 p 64]Indice :
On pourra étudier la fonction .
Simulation
Méthode : Détermination de u alpha à la calculatriceInvNormx
InvNorm
invNorm iNorm iNorm tail5 :Probabilités5 : Distributions3 :
Inverse Normale
Fondamental
Définition
Fondamental : Espérance et écart-type
Attention
Complément
Méthode : Utilisation de la calculatrice pour calculer P(aRemarque
[Solution n°37 p 64] [Solution n°38 p 65]Indice :
On utilise la fonction loi normale inverse de la calculatrice. [Solution n°39 p 65]Indices :
On pourra essayer de se ramener à une loi centrée réduite en posantOn sait que .
On utilisera la fonction Inverse Normal de la calculatrice pour trouver le nombre s tel que
Laquelle des fonctions données ci-dessous est une fonction de densité sur [1 ;e] ?f Si la variable aléatoire suit la loi uniforme sur l'intervalle [1 ;10], alors :X X On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [14 ;20]. La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 15 est : La probabilité qu'un tel composant tombe en panne avant l'instant est :t La probabilité qu'un tel composant ait une durée de vie supérieure à 1000 heures est : La durée de vie moyenne d'un tel composant, exprimée en heure, est :La fonction densité de la loi normale est :
La variable aléatoire suit la loi normale . Alors :X La variable aléatoire suit la loi normale . Alors :XLa variable aléatoire suit la loi normale .X
Alors l'aire coloriée en marron, en unité d'aire, estégale à :
Donner la valeur de , arrondie à près
La variable aléatoire suit la loi normale . Alors :X La variable aléatoire suit la loi normale . Alors :XLa variable aléatoire suit la loi normale .X
On a représenté ci-contre la probabilité .Alors :
Rappel : Variable aléatoire discrète et loi de probabilité discrète kExemple : Un dé à 6 faces
X X XExemple : Un nombre aléatoire entre 0 et 6
Y continuediscrète Y Y Y Complément : Une conséquence étonnante des lois continues n Remarque : De la difficulté de simuler une loi continue avec une machine Y Y Y fSimulation
Définition : Espérance
espérance mathématiqueExemple : Reprenons l'exemple précédent...
Complément : Interprétation
N NDéfinition
Exemple : Reprenons encore une fois l'exemple précédent... - p.48casio - p.47 ti - p.47Simulation
Fondamental : Propriété admise
Exemple
Fondamental : Propriété admise : la variance de la loi binomiale Fondamental : Primitive d'une fonction continue (admis dans le cas général)Complément : Démonstration ROC
Attention
Fondamental : Existence et unicité de la fonction exponentielle f fonction exponentielleexpComplément
Méthode : Sur TI
binomcf(Méthode : Sur Casio
BcdData : Variable
Complément
Fondamental : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Propriété admise. fI ab kTVI cas non monotone
Complément : Cas où f est monotone
TVI cas monotone
I Attention : La continuité est une hypothèse essentielle du théorèmeContre exemple
activité - p.44Méthode
fnInt(Méthode
Exercice p. 14
Exercice p. 14
Exercice p. 11
Exercice p. 11
Exercice p. 11
Exercice p. 9
kExercice p. 17
Exercice p. 15
Exercice p. 15
Exercice p. 15
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] tp extraction de l'huile essentielle d'orange
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