[PDF] ROC : Restitution organisées des connaissances





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Lois continues

01?/03?/2014 Exercice : ROC : Espérance de la loi exponentielle . ... t s. Indices : On pourra expliciter la probabilité conditionnelle.



ROC : Restitution organisées des connaissances

18?/06?/2014 4.3 Expérance d'une loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 4.4 Loi normale - Probabilité d'intervalle centré en 0 .



DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S

Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ? . Alors : E(X) = 1 ? . D13 - Démonstration au programme (exigible BAC) 



Question de cours en terminale S Préambule I- Les suites

P2 : Loi exponentielle ou loi à durée de vie sans vieillissement Les démonstrations au BAC ou ROC ( Restitution Organisée de Connaissances) sont ...



Terminale S

3 Fonction exponentielle et équation différentielle 11 Dénombrement et lois de probabilité ... ROC 2 : limite d'une suite décroissante non minorée.



Précisions sur lépreuve de mathématiques au bac 2013

06?/10?/2011 Les démonstrations exigibles en Terminale S. Nouveau programme 2013. ... d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de.



Fonction Exponentielle

ROC : Démonstration de l'unicité de la fonction exponentielle 12 On remarque cette forme particulière en cloche qui n'est pas sans rappeler la loi.



Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S.

On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u?v ainsi que ses conditions d'utilisation.



Probabilités continues et lois à densité

(AP) Méthode de Monte-Carlo. 1ère partie ?. Lois exponentielles. Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle 



Evaluation des outils pronostiques

La courbe ROC est évaluée par son aire sous la Le marqueur est généré selon une loi uniforme entre 0 et 1 ... exponentielle de paramètre le marqueur.



Clamathsfr Les Roc en Terminale S

ROC 8 – ESPERANCE DE LA LOI EXPONENTIELLE Démontrer que l’espérane d’une variale aléatoire ???? suivant une loi exponentielle de paramètre ???? est : (????)= 1 ???? Pré-requis : La densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre ???? est ( T)= ???? ? ???????? L’espérane est (: ????)=lim ? ( T) ???? 0



Loi exponentielle : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths

forcément une loi exponentielle Il existe par contre des variables discrètes (= qui ne prennent qu'un nombre fini de valeurs) sans vieillissement Finalement parmi les variables aléatoires à densité les seules qui sont sans vieillissement sont celles qui suivent une loi exponentielle III Espérance d'une v a qui suit une loi exponentielle



Restitution organisée de connaissances TS3 ROC n°1 : Chapitre

ROC n°1 : Chapitre 3 – Fonction exponentielle THÉORÈME Il existe une unique fonction définie et dérivable sur ? de dérivée ? égale à )et telle que (0=1 Remarque : Seule la démonstration de l’uni ité est à onnaître (pas la démonstration de l’existence)



Terminale S - Loi uniforme Loi exponentielle - Parfenoff org

II) Loi exponentielle 1) Définition Soit ? un réel strictement positif Une variable aléatoire ???? suit une loi exponentielle de paramètre ? lorsque sa densité de probabilité est la fonction ???? la fonction définie sur [ 0 ; + ? [ par : ???? ( ???? ) = ? ?????????? Remarque :



Rappels sur le chapitre précédent : TS Loi exponentielle

TS Loi exponentielle On a procédé à une ouverture permettant de relier les calculs précédents aux intégrales (ce qui peu Plan du chapitre : I Fonction de densité sur l’intervalle [0 ; + [ II Définition et premières propriétés de la loi exponentielle III Exercice-type rédigé IV Application à la physique

Qu'est-ce que la loi exponentielle ?

La loi exponentielle est une des lois de probabilité continue qui a de nombreuses applications. Découvrons ensemble cette loi de probabilité ! La loi exponentielle est une loi de probabilité continue définie par un paramètre noté ?. Elle a pour univers l’ensemble des réels positifs ou nuls. La loi exponentielle de paramètre ? est notée exp ( ? ).

Comment calculer la loi de décroissance exponentielle ?

Si on part de la relation de proportionnalité établie plus haut, que l'on fait tendre l'intervalle de temps ?t vers 0 et que l'on utilise des outils mathématiques, on arrive à la loi de décroissance exponentielle.

Quelle est la densité de probabilité d'une loi exponentielle?

Si l'espérance de vie du phénomène est E (X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité : pour tout t ? 0. De façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante:

Quels sont les domaines privilégiés de la loi exponentielle ?

Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité ( Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre ? s'appelle alors la constante de désintégration. La durée de vie moyenne s'appelle le temps caractéristique.

ROC : Restitution organisées des connaissances

DERNIÈRE IMPRESSION LE18 juin 2014 à 9:22

ROC : Restitution organisées des

connaissances Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en ce qui concerne les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.

Table des matières

1 Suites2

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Inégalité de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Suite croissante non majorée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analyse7

2.1 Unicité de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Limites de référence de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Logarithme du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . 12

2.7 Croissance comparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . 14

2.9 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Les nombres complexes17

3.1 Propriétés des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Propriétés des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Probabilité. Statistique19

4.1 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Expérance d"une loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Loi normale - Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . 22

4.5 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Statistique - Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Géométrie dans l"espace25

5.1 Le théorème du toit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Droite orthogonale à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Suites

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique

Théorème 1 :Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0. La sommeSndes(n+1)premier termes est égale à : S n=u0+u1+···+un=u01-qn+1 1-q

Démonstration :on a :

S n=u0+u1+u2+···+un =u0+ (q×u0) + (q2×u0) +···+ (qn×u0) =u0(1+q+q2+···+qn)

On pose :An=1+q+q2+···+qn-1+qn

En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : A n=1+q+q2+···+qn-1+qn q×An=q+q2+···+qn-1+qn+qn+1

An-q×An=1-qn+1

On obtient alors :An=1-qn+1

1-q

Conclusion :On a doncSn=u01-qn+1

1-q

PAULMILAN2 TERMINALES

1. SUITES

1.2 Inégalité de Bernoulli

Théorème 2 :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

Démonstration :Par récurrence

•P(0)est vraie puisque(1+a)0?1+0apour touta?R+.

•Montrons que, pour toutn?N:

P(n)? P(n+1)

Soitn?N, supposons queP(n)est vraie donc :

(1+a)n?1+na Or, 1+a>0, donc en multipliant l"inégalité ci-dessus par(1+a), on obtient : (1+a)n+1?(1+na)(1+a) Or (1+na)(1+a) =1+a+na+na2=1+ (n+1)a+na2 et commena2?0 : (1+na)(1+a)?1+ (n+1)a

D"où

(1+a)n+1?1+ (n+1)a

P(n+1)est vrai.

Conclusion: on a :?P(0)

?n?N,P(n)? P(n+1)

Donc :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.3 Théorèmes de comparaison

Théorème 3 :Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :

1)Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"

v n?un?wnet si limn→+∞vn=?et limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?

2)Théorème de comparaison

•un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ •un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Pré-requis :Définition de la limite infinie d"une suite Démonstration :Seule la preuve du théorème de comparaison en+∞est exigible. On sait que : limn→+∞vn= +∞, donc pour tout réelA, il existe un entierNtel que sin>Nalorsvn?]A;+∞[ Commeun>vnà partir du rangpdonc sin>max(N,p)alorsun?]A;+∞[

On a donc bien : lim

n→+∞un= +∞

PAULMILAN4 TERMINALES

1. SUITES

1.4 Limite d"une suite géométrique

Théorème 4 :Soitqun réel. On a les limites suivantes :

•Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞

•Si-1

•Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas

Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigible

D"après l"inégalité de Bernoulli, on a :

?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient : q n?1+na

Commea>0 on a : limn→+∞1+na= +∞

D"après le théorème de comparaison on a : lim n→+∞qn= +∞ Remarque :Pour démontrer la deuxième limite, on peut poserQ=1 |q|, avec

0<|q|<1 doncQ>1 . On revient alors à la première limite et l"on conclut avec

le quotient sur les limites.

PAULMILAN5 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.5 Suite croissante non majorée

Théorème 5 :Divergence

•Si une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un)diverge vers •Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite(un)diverge vers-∞. Pré-requis :Définition d"une suite non majorée. Démonstration :Seule la preuve de la première propriété est exigible. Soit donc une suite(un)croissante et non majorée. (un)n"est pas majorée, donc pour tout intervalle]A;+∞[, ?N?Ntel que :uN?]A;+∞[

Comme(un)est croissante, on a :

?n>Nalorsun>uN

Donc :

?n>Nalorsun?]A;+∞[ donc à partir d"un certain rang tous les termes de la suite sont dans l"intervalle ]A;+∞[. La suite(un)diverge vers+∞.

PAULMILAN6 TERMINALES

2. ANALYSE

2 Analyse

2.1 Unicité de la fonction exponentielle

Théorème 6 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp Démonstration :L"existence de cette fonction est admise.

Démontrons l"unicité.

•La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x)

Commef?=f, on a :

=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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