STATISTIQUES
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STATISTIQUES - maths et tiques
Une équation de la droite d’ajustement est : y=21x+11 Pour tracer la droite il suffit de calculer les coordonnées de deux points de la droite d’ajustement : - Si x=0 alors y =21×0+ donc le point de coordonnées (0 ; 11) appartient à la droite d’ajustement - Si x=10 alors y =2 1×10+22 donc le point de coordonnées (10 ; 221)
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ajustement affine Table des matières
1 ajustement par les points extrême2
1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2
1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3
1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4
2 ajustement par les points moyens5
2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5
2.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 6
2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8
3 ajustement par les moindres carrés9
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9
3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10
3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 14
3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15
4 ajustement avec changement de variable19
4.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19
4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 19
4.1.2 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 20
4.1.3 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 21
4.1.4 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22
5 exercices23
5.1 exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 23
5.2 corrigé exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 24
5.3 exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 25
5.4 corrigé exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 26
5.5 exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 27
5.6 corrigé exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28
11 ajustement par les points extrême1.1 activité
ai= année1978198419921994200020042010? xi= année - 197081422243034?? yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,8?21. Construire le graphique associé à la série(xi;yi).
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y
i x i2. Déterminer l"équation de la droite des points extrêmes (M1M6) oùM1etM6sont les premiers et
derniers points associés du tableau ci dessus. Les coefficients seront donnés à 0,01 près
3. Donner une estimation graphique puis par calcul de la partdu logement dans le budget en 2010.
les résultats obtenus sont-ils en accord?4. Estimer graphiquement puis par calcul, l"année à partir de laquelle la part du logement dans le budget
passera sous 2%. les résultats obtenus sont-ils en accord?5. A partir de quelle année le modèle d"ajustement affine n"est-il manifestement plus valable?
à retenir :
détermination de l"équation de la droite(AB)avecxA=xBA(xA;yA)etB(xB;yB)
l"équation de la droite (AB) est de la forme????y=ax+b avec :? a=yB?yAxB?xAet????b=yA?axA1.2 corrigé activité
ai= année197819841992199420002004 xi= année - 197081422243034 yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,81. graphique associé à la série(xi;yi).
0123456
0 10 20 30 40 50
yi xi M1 M 62. équation de la droite des points extrême (M1M6)
y=ax+b a=yM6?yM1 xM6?xM1=2,8?4,434?8 ?0,06à 0,01 près yM6=axM6+b=2,8 =?0,0634 +b=b= 2,8 + 0,0634 = 4,84
???y=?0,06x+ 4,843. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,4% (voir tracés)?
???la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,44% à 0,01 près
calculs : x= 2010?1970 = 40 y=?0,0640 + 4,84 = 2,44 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.4. graphiquement, la part du logement dans le budget passerasous les 2% à partir de 1970 + 47 = 2017
par calcul,? ???la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partirde 1970 + 47 = 2017 calculs : ?0,06x+ 4,842 x2?4,84 ?0,06 x47,33 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.5. un pourcentage est positif ou nul
le modèle d"ajustement affine n"est plus valable dès que :?0,06x+ 4,840 c"est à dire pour :x?4,84 ?0,0680,66soit :1970 + 81 = 20511.3 à retenir
détermination de l"équation de la droite(AB)avecxA=xBA(xA;yA)etB(xB;yB)
l"équation de la droite (AB) est de la forme????y=ax+b avec :? a=yB?yAxB?xAet????b=yA?axA2 ajustement par les points moyens2.1 activité
énoncé :
ai= année197819841992199420002004 xi= année - 197081422243034 yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,81. compléter la légende du graphique associé à la série(xi;yi).
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y
i x i2. Calcul des coordonnées des points moyens à 0,01 près.
a. calculer les coordonnées du point moyen G( x;y) de l"ensemble des 6 points et placerG b. coordonnées du point moyenG1( x1;y1) de l"ensemble des 3 premiers points puis placerG1. c. coordonnées du point moyenG2( x2;y2) de l"ensemble des 3 derniers points puis placerG2.3. Déterminer une équation de la droite des points points moyens (G1G2) à 0,1 près.
4. Grâce à cette droite, estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget
2010.y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement?
5. Estimer de même graphiquement et algébriquement l"annéepour laquelle la part du logement dans le
budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement?
6. A partir de quelle année le modèle d"ajustement affine n"est-il manifestement plus valable?
à retenir
le point moyenGd"un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L" ensemble des p pointsM1(x1;y1),M2(x2;y2), ...,Mp(xp;yp)a pour point moyen G(x;y) avec :? x=x1+x2+...+xppet???? y=y1+y2+...+ypp2.2 corrigé activité
ai= année197819841992199420002004 xi= année - 197081422243034 yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,81. graphique associé à la série(xi;yi).
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0 10 20 30 40 50
yi xi M1 M 6 G G1 G22. coordonnées de points moyens
a. coordonnées du point moyen G( x;y) de l"ensemble des 6 points x=8 + 14 + 22 + 24 + 30 + 346= 22 y=4,4 + 5,2 + 4,3 + 3,2 + 3,3 + 2,86=23,263,87à 0,01 près donc ???G(22;3,87) b. coordonnées du point moyenG1( x1;y1) de l"ensemble des 3 premiers points x1=8 + 14 + 223=44314,67 y1=4,4 + 5,2 + 4,33=13,934,63à 0,01 près donc ???G1(14,67 ; 4,63) c. coordonnées du point moyenG2( x2;y2) de l"ensemble des 3 derniers points de même on trouve ???G2(29,33 ; 3,1)3. équation de la droite des points points moyens (G1G2)
y=ax+b a=yG2?yG1 xG2?xG13,1?4,6329,33?14,67 ?0,1à 0,01 près y G2=axG2+b=4,63 =?0,114,67 +b=b= 4,63 + 0,114,67 = 6,1 ???y=?0,1x+ 6,14. la part du logement dans le budget 2010 est estimée graphiquement à 2,1%?
???la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,1% car : x= 2010?1970 = 40 y=?0,140 + 6,1 = 2,1 il y a bien cohérence pour les résultats trouvés.5. graphiquement, la part du logement dans le budget passerasous les 2% à partir de 1970 + 41 = 2011
par calcul,? ???la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partirde 1970 + 41 = 2011 calculs : ?0,1x+ 6,12 x2?6,1 ?0,1 x41 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.2.3 à retenir
le point moyenGd"un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L" ensemble des p pointsM1(x1;y1),M2(x2;y2), ...,Mp(xp;yp)a pour point moyen G(x;y) avec :? x=x1+x2+...+xppet???? y=y1+y2+...+ypp3 ajustement par les moindres carrés3.1 activité
ai= année197819841992199420002004 xi= année - 197081422243034 yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,81. compléter la légende du graphique associé à la série(xi;yi).
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y
i x i2. Déterminer l"équation de la droite de régression (des moindres carrés) (AB) grâce à la calculatrice à
0,01 près.
3. Construire la droite (AB) dans le repère précédent en précisant les points A et B utilisés.
4. Estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 2010. y a t-il cohérence
entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement?5. Estimer de même, graphiquement et algébriquement l"année pour laquelle la part du logement dans le
budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement?
6. Estimer l"année de fin de validité du modèle
à retenir
pour l" ensemble des n pointsM1(x1;y1),M2(x2;y2), ...,Mn(xn;yn) il existe une unique droite d"ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus? ???S=M1P21+M2P22+...+MnP2n oùPiest le projeté deMisur la droite d"ajustement parallèlement à l"axe (Oy)cette droite est appelée ladroite de régression linéairede y en x oudroite des moindres carrés
l"équation de cette droite est donnéepar les calculatrices scientifiquesou encore par :????y=ax+b
avec? a=1ni=n? i=1x iyi?xy 1 ni=n? i=1x2i?x2et? ???b=y?ax3.2 corrigé activité
ai= année197819841992199420002004 xi= année - 197081422243034 yi= part du budget consacré au logement (%)4,45,24,33,23,32,81. graphique associé à la série(xi;yi).
0123456
0 10 20 30 40 50y
i x i A B2. équation de la droite des moindres carrés (AB)
y=ax+b la calculatrice donne :a ?0,08etb5,58à 0,01 près ???y=?0,08x+ 5,583. construction de la droite (AB)
y=?0,08x+ 5,58 par exempleA(0;?0,080 + 5,58 = 5,58) etB(40;?0,0840 + 5,58 = 2,38) soit : pointAB x040 y5,582,384. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,3%?
???la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,38% : calculs : x= 2010?1970 = 40 y=?0,0840 + 5,58 = 2,385. graphiquement, la part du logement dans le budget passerasous les 2% à partir de 1970 + 441 = 2014
par calcul,? ???la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partirde 1970 + 44 = 2014 calculs : ?0,08x+ 5,582 x2?5,58 ?0,08 x44,75quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] imc normes oms
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