Sommes de puissances dentiers
et de la somme des n premiers nombres impairs. 1 + 3 + 5 + ··· + (2n ? 1). Une troisième méthode consiste en ce que l'on appelle une preuve.
Sommes dentiers élevés à une puissance quelconque
Numericarum Summa (Sommation des puissances numériques1) qui fait partie d'un ensemble de Sk = Sk(n) est la somme des puissances k des nombres de.
Calcul Algébrique
Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances de 2 de et par le nombre de permutations des n ? k objets qui ne l'ont pas été.
PUISSANCES Cours 1) Puissance dexposant positif Définition
Règle de calcul : Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et a un nombre relatif. an × ap = an + p. On somme les deux exposants.
Sommes et produits
Pour q = 1 fixé la somme des puissances de q a été vue au lycée : Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au.
Trigonométrie. Recherches sur les sommes de puissances
Recherches sur les sommes de puissances semblables SOMMES DE PUISSANCES DES SINUS ET COSINUS. ... k étant un nombre entier positif quelconque on a.
Sur la décomposition dun entier en une somme de puissances
puissances huitièmes d'entiers (Problème de Waring). Bulletin de la S. M. F. n'est pas
Sommes des puissances A. Premiers résultats premières preuves.
générale pour la somme des nombres entiers de 1 à n
Chapitre 1 - Calculs de sommes
1.2 Somme des n premiers nombres impairs. Cette somme intervient fréquemment dans les exercices d'Olympiades académiques; il s'agit de donner une formule
Les calculs sans calculatrice avec des puissances de dix (leçon)
Rappel : on appelle puissance de dix un nombre écrit sous la forme 10a où a est un nombre réel appelé l'exposant est la somme des deux exposants :.
I- PUISSANCES D’UN NOMBRE - Guide des auteurs des sites de
Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 = Règles de calcul : Soient n et p deux entiers Règle Exemples Produit 10 n × 10 p = 10 10 3 × 10 4 = 10-6 × 10 4 = Quotient 10 n 10 p = 10 10 7 10 3 = 10-5 10 8 = Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 =
somme des puissances - villemingerardfreefr
et de ses généralisations à la somme des puissances p-ièmes de n premiers nombres entiers Fp(n)= Xn k=1 kp =1p +2p + +np A Premiers résultats premières preuves Somme des entiers Comme le dit l’anecdote concernant Gauss la formule exprimant F1(n)= Xn k=1 k peut se dé-montrer simplement en regroupant les termes deux à deux 1 2 49
Théorèmes sur les puissances des nombres
la somme de deux quatrièmes puissances ne peut être un carré est indépendante du théorème de Fermât sur l'impos-sibilité de trouver une puissance de nom quelconque la se-conde exceptée égale à la somme de deux puissances do même nom JI Théorème y*n x = "2zn est une équation impos-sible en nombres rationnels pour n > 1
Fiche n°3 Puissances et écritures scientifiques - Prof-launay
Dans un calcul sans parenthèses avec des puissances on effectue les puissances avant d’appliquer les autres règles de priorité EXERCICE TYPE 1 Calculer et donner une valeur exacte sous forme fractionnaire ou décimale : A = (–4)2; B = –42; C = 10?3; D = (–5)–4; E = (–2)4 + 7 × 32; F = 1 3 – 3–2 Solution :
Sommes d'entiers élevés à une puissance quelconque
sont des nombres quelconques (éventuellement des entiers) et faisons la somme de ses termes portés chacun à la puissance k Le terme courant de cette somme est : (a+ bm) k= Xk p=0 k p! a pb mk p En additionnant ce terme de m = 1 à m = n on trouve : Xn m=0 (a+ bm)k = ak + k p=0 k p! a pbk S k p; qui donne le résultat une fois connues les
Comment calculer la somme des puissances successives de 2 ?
Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un. n = 5 => S = 5,53… n = 10 => S = 5,97… n = 20 => S = 5,999957… n = 5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
Comment calculer la puissance de dix 10 ?
Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10 a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a. Quelques exemples : 10 3 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 10 3 = 1 000. 10 5 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 10 5 = 100 000. Quelle est la signification du symbole == en Python ?
Comment calculer la puissance d'une somme?
Prend pour exemple n = 2 . Tu appelles somme avec n = 2, donc dans somme ton k = 2. Tu boucles s = 1 + puissance (2,p..?) p n'a pas de valeur déjà. Commence déjà par donner une valeur à p en fonction de ce que tu attends de cette variable.
Comment calculer les puissances d'un nombre ?
Le principe consiste à décomposer le nombre en une somme de puissances de 2 (on pourra utiliser un tableur !). Par exemple, 13 = 8 + 4 + 1. Le nombre 13 sera inscrit sur les cartes 1 (qui commence par 1), 3 (qui commence par 4), et 4 (qui commence par 8). De même, 34 = 32 + 2 sera sur les cartes 2 et 6.
Université Joseph Fourier, Grenoble I
Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1eannéeCalcul AlgébriqueEric Dumas, Emmanuel Peyre, Bernard Ycart
Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques, constituées de variables formelles, de réels ou de complexes. L"objectif est essentiellement pratique : " savoir calculer ». La seule nouveauté réside dans la manipulation de formules avec indices, utilisant les symboles?(somme) et?(produit). Pour le reste, vous aurez simplement à réviser votre cours de terminale sur les nombres complexes.Table des matières
1 Cours 2
1.1 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Trois formules à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Formes trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Géométrie du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Entraînement 17
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Compléments 37
3.1 Les formules de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Le Rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Si non è vero, è bene trovato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 La marquise de Tencin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Equations résolubles par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Maths en L
1gneCalcul AlgébriqueUJF Grenoble1 Cours
1.1 Sommes et produits
Nous commençons par les sommes.
L"écriture
5? k=02k se lit "somme pourkallant de zéro à cinq de deux puissancek». C"est une notation abrégée pour : 20+ 21+ 22+ 23+ 24+ 25.
La lettrekest l"indice de sommation. On la remplace successivement par toutes les valeurs entières comprises entre les deuxbornes, qui sont0et5dans notre exemple. La première borne, celle qui est écrite au-dessous du signe somme, sera toujours inférieure ou égale à celle qui est au-dessus. Les bornes peuvent elles-mêmes être des variables, mais elles sont nécessairement différentes de l"indice de sommation. Par exemple, pour tout entier natureln:n? k=02k désigne la somme 20+ 21+ 22+ 23+···+ 2n-1+ 2n.
Rappelons que, par convention,a0= 1pour tout nombre réela. Prenez l"habitude d"écrire les sommes sous forme développée quitte à introduire des points de suspension entre les premiers termes et les derniers. Voici quelques exemples d"égalités illustrant la manipulation des indices et des bornes. Nous donnons sous chaque exemple uneécriture sous forme développée.
n k=12k=n-1? h=02h+1 21+···+ 2n= 20+1+···+ 2n-1+1.
L"indice de sommation peut être remplacé par n"importe quel autre : on dit que c"est unevariable muette. n k=02k+n h=12n+h=2n? k=02k (20+···+ 2n) + (2n+1+···+ 22n) = 20+···+ 22n.
Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. n k=02n= (n+ 1)2n 2 n+···+ 2n= (n+ 1)2n. 2Maths en L
1gneCalcul AlgébriqueUJF GrenobleDans cet exemple la quantité à sommer ne dépend pas de l"indice de sommation : celle-
ci a pour seul effet de compter les termes. Attention, pourm6n, il y an-m+ 1 termes dans la somme demàn. n k=01 h=02k+h=1 h=0n k=02k+h (20+ 21) +···+ (2n+ 2n+1) = (20+···+ 2n) + (21+···+ 2n+1).
Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux. Voici un enchaînement d"égalités, montrant que la somme des puissances de2de20 jusqu"à2nvaut(2n+1-1)(c"est un cas particulier d"une formule à connaître que nous verrons plus loin). Pour chaque ligne de calcul, nous donnons à droite l"écriture sous forme développée. On rappelle que20= 1. n k=02k= 2? n? k=02k? n? k=02k?= 2(20+···+ 2n)-(20+···+ 2n)
n? k=02k+1? n? k=02k?= (21+···+ 2n+1)-(20+···+ 2n)
n+1? h=12h? n? k=02k?= (21+···+ 2n+1)-(20+···+ 2n)
= 2 n+1-20= 2 n+1-1. Ce que nous venons de voir pour les sommes s"applique aussi aux produits. Le produit des entiers de1ànintervient dans de nombreuses formules. C"est lafactorielle den. Elle se note "n!». n! =n k=1k= 1 2 3···(n-2) (n-1)n . Il est souvent utile d"étendre la définition de la factorielle en convenant que0! = 1. Voici les premières valeurs.n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n!1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Sinest un entier positif, unn-upletdésigne une liste ordonnée denobjets. On appellepermutation des nombres de1ànunn-uplet d"entiers(u1,...,un)dans lequel chaque entier entre1etnapparaît une et une seule fois. Par exemple(5,3,2,4,1)est une permutation des nombres de1à5. Théorème 1.Le nombre de permutations des nombres de1ànestn!. Démonstration: On montre le théorème par récurrence surn. 3Maths en L
1gneCalcul AlgébriqueUJF GrenobleSin= 1, la seule permutation des entiers de1à1est(1).
On suppose donc que le résultat est vrai pour l"entiern. Montrons-le pour l"entier n+1. Soitkun entier tel que16k6n+1et comptons le nombreAkde permutations (u1,...,un+1) telles queuk=n+ 1. À une telle permutation, associons len-uplet : (u1,...,uk-1,uk+1,...,un+1). C"est une permutation des nombres de1àn. Inversement étant donnée une permutation (v1,...,vn)des entiers de1àn, alors (v1,...,vk-1,n+ 1,vk+1,...,vn) est une permutation des entiers de1àn+ 1dont lek-ième terme estn+ 1. En appliquant l"hypothèse de récurrence, on obtient queAk=n!. Donc le nombre total de permutations des nombres de1àn+ 1est : n+1? k=1A k=n+1? k=1n! = (n+ 1)n! = (n+ 1)!. ce qui montre le résultat pourn+ 1. Pour ordonnernobjets, il faut associer à chacun un nombre entre1etnde sorte que chaque nombre renvoie à un objet et un seul. Il y a autant de manières de le faire que de permutations desnpremiers entiers :n!. Au tiercé, il y a5! = 120manières d"ordonner les 5 premiers chevaux. Une seule donne l"ordre d"arrivée, soit le quinté dans l"ordre, et il y a119quintés dans le désordre. Lenombre de combinaisonsdekobjets parminest le nombre de manières de choisir kobjets parmin, sans distinguer leur ordre. ?n k? =n!k!(n-k)!.(1)La notation
?n k?que nous utilisons ici, de préférence à l"ancienne notationCkn, est conforme aux programmes en vigueur et à l"usage international. Nous conseillons de la lire " denchoisirk». La formule (1) correspond au raisonnement suivant. Pour choisirkobjets, on peut se donner une permutation desnobjets, et décider d"en retenir leskpremiers. Parmi les permutations, toutes celles qui auront en commun leurskpremiers nombres conduiront au même choix. Il faut donc diviser par le nombre de permutations deskobjets choisis, et par le nombre de permutations desn-kobjets qui ne l"ont pas été. Observez que (1) ne change pas si on remplacekparn-k. ?n k? =?n n-k? 4Maths en L
1gneCalcul AlgébriqueUJF GrenobleChoisirkobjets parmin(ceux que l"on garde) revient à en choisirn-k(ceux que l"on
laisse).Voici une autre expression de?n
k?. ?n k? =1k!k-1? h=0(n-h) =n(n-1)···(n-k+ 1)1 2···k.(2) Notez qu"il y akfacteurs au numérateur, comme au dénominateur. On obtient cette formule en simplifiant le quotientn!/(n-k)!dans (1). On peut aussi raisonner comme suit. Il y anfaçons de choisir le premier objet, puisn-1de choisir le second (puisqu"un objet a déjà été choisi), etc. Pour choisir le k-ième objet, il resten-(k-1)possibilités. Ceci correspond au numérateur de (2). Cette manière de procéder retourne une liste ordonnée. Il faut donc diviser par le nombre d"ordres possibles deskobjets choisis, qui estk!. Observez les relations suivantes, faciles à déduire de (1) ou (2) et de la définition de la factorielle. ?n k? =nk n-1 k-1? =n-k+ 1k n k-1?Pour calculer
?n k?en pratique, on n"utilise ni (1) ni (2). Le calcul récursif par la formule dutriangle de Pascal(connue des chinois bien avant Pascal) est beaucoup plus rapide.?n k? =?n-1 k? +?n-1 k-1? .(3) Nous conseillons au lecteur de démontrer cette formule à partir des expressions (1) et (2). Voici la justification combinatoire. Supposons que parmi lesnobjets dontk doivent être choisis, l"un d"entre eux soit distingué (disons qu"il est rouge). Parmi les choix possibles dekobjets, certains ne contiennent pas l"objet rouge, d"autres le contiennent. Les premiers sont au nombre de?n-1 k?, car leskobjets sont choisis parmi lesn-1différents de l"objet rouge. Les choix contenant l"objet rouge sont au nombre de?n-1 k-1?car l"objet rouge ayant été retenu, il restek-1objets à choisir parmi lesn-1 autres. Voici, disposées en triangle, les valeurs de?n k?pournallant de0à6. n\k0 1 2 3 4 5 6 01 11 121 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1
Chaque valeur est la somme de celle qui est au-dessus, et de celle qui est à gauche de celle qui est au-dessus. S"il n"est pas indispensable de connaître ce tableau par coeur, il est souvent utile de savoir le réécrire rapidement. 5Maths en L
1gneCalcul AlgébriqueUJF Grenoble1.2 Trois formules à connaître
Les formules données par les trois théorèmes qui suivent vous seront souvent utiles. Théorème 2.Pour tout entiern>1, la somme desnpremiers entiers vautquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] connaitre la taille d'une image en pixel
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