Sommes de puissances dentiers
et de la somme des n premiers nombres impairs. 1 + 3 + 5 + ··· + (2n ? 1). Une troisième méthode consiste en ce que l'on appelle une preuve.
Sommes dentiers élevés à une puissance quelconque
Numericarum Summa (Sommation des puissances numériques1) qui fait partie d'un ensemble de Sk = Sk(n) est la somme des puissances k des nombres de.
Calcul Algébrique
Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances de 2 de et par le nombre de permutations des n ? k objets qui ne l'ont pas été.
PUISSANCES Cours 1) Puissance dexposant positif Définition
Règle de calcul : Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et a un nombre relatif. an × ap = an + p. On somme les deux exposants.
Sommes et produits
Pour q = 1 fixé la somme des puissances de q a été vue au lycée : Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au.
Trigonométrie. Recherches sur les sommes de puissances
Recherches sur les sommes de puissances semblables SOMMES DE PUISSANCES DES SINUS ET COSINUS. ... k étant un nombre entier positif quelconque on a.
Sur la décomposition dun entier en une somme de puissances
puissances huitièmes d'entiers (Problème de Waring). Bulletin de la S. M. F. n'est pas
Sommes des puissances A. Premiers résultats premières preuves.
générale pour la somme des nombres entiers de 1 à n
Chapitre 1 - Calculs de sommes
1.2 Somme des n premiers nombres impairs. Cette somme intervient fréquemment dans les exercices d'Olympiades académiques; il s'agit de donner une formule
Les calculs sans calculatrice avec des puissances de dix (leçon)
Rappel : on appelle puissance de dix un nombre écrit sous la forme 10a où a est un nombre réel appelé l'exposant est la somme des deux exposants :.
I- PUISSANCES D’UN NOMBRE - Guide des auteurs des sites de
Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 = Règles de calcul : Soient n et p deux entiers Règle Exemples Produit 10 n × 10 p = 10 10 3 × 10 4 = 10-6 × 10 4 = Quotient 10 n 10 p = 10 10 7 10 3 = 10-5 10 8 = Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 =
somme des puissances - villemingerardfreefr
et de ses généralisations à la somme des puissances p-ièmes de n premiers nombres entiers Fp(n)= Xn k=1 kp =1p +2p + +np A Premiers résultats premières preuves Somme des entiers Comme le dit l’anecdote concernant Gauss la formule exprimant F1(n)= Xn k=1 k peut se dé-montrer simplement en regroupant les termes deux à deux 1 2 49
Théorèmes sur les puissances des nombres
la somme de deux quatrièmes puissances ne peut être un carré est indépendante du théorème de Fermât sur l'impos-sibilité de trouver une puissance de nom quelconque la se-conde exceptée égale à la somme de deux puissances do même nom JI Théorème y*n x = "2zn est une équation impos-sible en nombres rationnels pour n > 1
Fiche n°3 Puissances et écritures scientifiques - Prof-launay
Dans un calcul sans parenthèses avec des puissances on effectue les puissances avant d’appliquer les autres règles de priorité EXERCICE TYPE 1 Calculer et donner une valeur exacte sous forme fractionnaire ou décimale : A = (–4)2; B = –42; C = 10?3; D = (–5)–4; E = (–2)4 + 7 × 32; F = 1 3 – 3–2 Solution :
Sommes d'entiers élevés à une puissance quelconque
sont des nombres quelconques (éventuellement des entiers) et faisons la somme de ses termes portés chacun à la puissance k Le terme courant de cette somme est : (a+ bm) k= Xk p=0 k p! a pb mk p En additionnant ce terme de m = 1 à m = n on trouve : Xn m=0 (a+ bm)k = ak + k p=0 k p! a pbk S k p; qui donne le résultat une fois connues les
Comment calculer la somme des puissances successives de 2 ?
Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un. n = 5 => S = 5,53… n = 10 => S = 5,97… n = 20 => S = 5,999957… n = 5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
Comment calculer la puissance de dix 10 ?
Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10 a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a. Quelques exemples : 10 3 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 10 3 = 1 000. 10 5 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 10 5 = 100 000. Quelle est la signification du symbole == en Python ?
Comment calculer la puissance d'une somme?
Prend pour exemple n = 2 . Tu appelles somme avec n = 2, donc dans somme ton k = 2. Tu boucles s = 1 + puissance (2,p..?) p n'a pas de valeur déjà. Commence déjà par donner une valeur à p en fonction de ce que tu attends de cette variable.
Comment calculer les puissances d'un nombre ?
Le principe consiste à décomposer le nombre en une somme de puissances de 2 (on pourra utiliser un tableur !). Par exemple, 13 = 8 + 4 + 1. Le nombre 13 sera inscrit sur les cartes 1 (qui commence par 1), 3 (qui commence par 4), et 4 (qui commence par 8). De même, 34 = 32 + 2 sera sur les cartes 2 et 6.
Chapitre 1
Calculs de sommes
De nombreux exercices d"Olympiades font intervenir des calculs de sommes. Aussi est-il important, non seulement de connaître les formules permettant de calculer ces sommes (le plus souvent ces formules sont d"ailleurs rappelées dans les sujets propo- sés), mais aussi de savoir les retrouver par des approches différentes.1.1 Somme desnpremiers entiers
On considère, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à1, la somme : S n =1+2+···+(n-1) +n On cherche une formule explicite (ou encore une formule close) pour la sommeS n en fonction den.Nous allons l"établir de plusieurs façons.
Première méthode : par duplication.
On calcule2×S
n en présentant les calculs sur deux lignes : on écrit d"abord les termes de la somme dans l"ordre croissant de1ànsur la première ligne puis les mêmes termes dans l"ordre décroissant denà1sur la deuxième ligne; ensuite on ajoute les deux lignes terme à terme en colonne.On obtient ainsi :
S n =1+2+···+(n-1) +n S n =n+(n-1) +···+2+1 2S n =(n+1) + (n+1)+···+(n+1) + (n+1)2 Chapitre 1. Calculs de sommes
Le membre de droite de la dernière égalité comportentermes indexés de1ànpar les termes de la première ligne.On en déduit2S
n =n×(n+1). Proposition.Pour tout entier natureln≥1,1+2+···+n=n(n+1) 2. Deuxième méthode : par dénombrement sur une grillen×n.Donnons le principe en prenant l"exemple
d"une grille5×5.Au total, la grille compte5
2 =25carrés de côté unité et5carrés forment la grande diagonale. De chaque côté de la grande diagonale, on dé- nombre, en observant les carrés suivant les diago- nales montantes de la grille,1puis2puis3puis4 carrés(sur le dessin ci-contre, les diagonales mon- tantes de2et4carrés apparaissent grisées);onen compte donc1+2+3+4=S 4 Le nombre total de carrés de la grille5×5vaut donc aussi2S 4 +5.Ceci conduit à l"égalité :
5 2 =2S 4 +5soitS 4 =5 2 -52ou encoreS
4 =5×(5-1)2=(4 + 1)×42.
Le même raisonnement appliqué cette fois à une grille(n+1)×(n+1)donne alors S n =n(n+1) 2.Troisième méthode : par emploi d"un domino.
On remarque que pour tout entier naturelknon nul,
2k=(k+1)×k-k×(k-1).
On peut donc écrire :2×1=[(1+1)×1-1×(1-1)]soit2×1=[2×1-1×0]; de même,2×2=[3×2-2×1]puis2×3=[4×3-3×2],2×4=[5×4-4×3], etc., jusqu"à2×n=[(n+1)×n-n×(n-1)].
On en déduit la somme :
2×n+···+2×1=[(n+1)×n
Le membre de droite de l"égalité précédente s"appelleune somme domino.1.1. Somme desnpremiers entiers 3
Quel est le rapport avec le jeu de dominos? Dans la somme, chaque crochet fait penser à un domino et la somme se réduit, après simplification, à la somme des termes extrêmes de la même façon, qu"aux dominos, les dés jouables sont situés aux deux bouts de la chaîne.Par exemple:
[5×4-4×3]+[4×3? ffi =0 -3×2]+[3×2? ffi =0 -2×1]+[2×1? ffi =0 -1×0]=[5×4-1×0]Finalement, on obtient :
2×n+···+2×2+2×1=[(n+1)×n-1×0](principe des dominos)
Après factorisation par2du membre de gauche :
n =(n+1)×net on retrouve : S n =n(n+1) 2. Au passage, on a obtenu une formule pour la somme desnpremiers entiers naturels pairs :2+4+6+···+(2n-2) + 2n=[(n+1)×n-1×0] =n(n+1).
Le symbole de sommation?
Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers, on écrit :1+2+···+n=
n k=1 k(prononcer " somme deskpourkallant de1àn»). Plus généralement,f(1)+f(2)+···+f(n)= n k=1 f(k)(prononcer " somme desf(k) pourkallant de1àn»).On écrira donc par la suite
n k=1 k=n(n+1) 2. La variablekest appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre icomme variable d"indice. D"un point de vue algorithmique, la variablekjoue le rôle de la variablekd"une boucle itérative Pour - Fin pour.Observer l"analogie avec le programme suivant :
Traitement
AffecteràSla valeur0
Pourkallant de1jusqu"ànfaire
AffecteràSla valeurS+k
Fin pour
Sortie
AfficherS.
Si on exécute ce programme, il retourne, pour la valeur denchoisie, la somme des entiers de1àn.4 Chapitre 1. Calculs de sommes
Signalons aussi qu"une propriété importante du symbole?est sa linéarité : n k=1 (f(k)+g(k)) = n k=1 f(k)+ n k=1 g(k)et, pour tout réela, n k=1 (af(k)) =a n k=1 f(k). Nous avons rencontré la deuxième propriété avec la somme desnpremiers entiers naturels pairs : n k=1 (2k)=2 n k=1 k=2×n(n+1)2=n(n+1).
La première propriété peut être vue comme un réarrangement des termes de la somme initiale.1.2 Somme desnpremiers nombres impairs
Cette somme intervient fréquemment dans les exercices d"Olympiades académiques; il s"agit de donner une formule, en fonction den, de la somme :1+3+5+···+(2n-1) =
n k=1 (2k-1) Il est intéressant de calculer cette somme de plusieurs façons.Première méthode : par duplication.
On calcule le double de la somme :
S n =1+3+···+(2n-3) + (2n-1) S n =(2n-1) + (2n-3) +···+3+1 2S n =2n+2n+···+2n+2nOn en déduit2S
n =(2n)×nsoit après simplification par2:S n =n 2 Proposition.Pour tout entiern≥1,1+3+5+···+(2n-1) =n 21.3. Somme desnpremiers cubes 5
Deuxième méthode : par dénombrement sur une grille.Donnons le principe en prenant l"exemple
d"une grille5×5.Au total, la grille compte5
2 =25carrés de côté unité. Sur la grille, les " chevrons » alternativement grisés et clairs contiennent un nombre impair de carrés. Par conséquent,25s"obtient comme une somme de nombres impairs : 5 2 =25=1+3+5+7+9. On remarque que9=2×5-1. Sur une grillen×n, le raisonnement précédent conduit à l"égalité : n×n=n 2 =1+3+5+···+(2n-1).Troisième méthode : par emploi d"un domino.
L"identité remarquable :(k+1)
2 =k 2 +2k+1permet d"écrire un nombre impair comme différence de deux carrés consécutifs :2k+1=(k+1) 2 -k 2On obtient ainsi le domino?
(k+1) 2 -k 2 et S n n 2 -(n-1) 2 (n-1) 2 -(n-2) 2 +···+?1 2 -0 2 ?=n 21.3 Somme desnpremiers cubes
On s"intéresse dans cette section à la somme des premiers cubes : 1 3 +2 3 +···+n 3 n k=1 k 3 Il est remarquable que cette somme soit égale au carré de la somme desnpremiers entiers :Proposition.Pour tout entiern≥1,1
3 +2 3 +···+n 3 =(1+2+···+n) 2Démontrons-le avec le principe des dominos :
?k(k+1) 2? 2 -?k(k-1) 2? 2 =?k(k+1)2+k(k-1)2?
×?k(k+1)2-k(k-1)2?
k(k+1) 2? 2 -?k(k-1) 2? 2 =k 2×k=k
3Le principe des dominos donne alors :
n k=1 k 3 =?n(n+1) 2? 2 -?1(1-1) 2? 2 =?n(n+1) 2? 2 On peut retrouver ce résultat géométriquement à l"aide d"une grille carrée.6 Chapitre 1. Calculs de sommes
Sur la figure ci-dessus, on observe que la taille des carrés varie de1à5sur une grille15×15où15=1+2+3+4+5.
Regardons pour commencer les carrés de côtés impairs, disposés en " chevrons » sur la grille, et coloriés par de petits points; les carrés de taille3sont au nombre de3, ceux de taille5au nombre de5donc le " chevron de taille3» représente3×3×3=3 3 petits carrés de la grille, et celui de taille5représente le cube5 3 Observons maintenant les carrés de côtés pairs, de tailles2et4, coloriés en gris clair. Ces carrés, au nombre de2et4respectivement, ne forment pas tout à fait un " chevron » parce que deux d"entre eux se recouvrent et laissent une partie de la grille apparente; il suffit alors de remarquer que le chevauchement des carrés a la même aire que la partie de la grille apparente (cette aire vaut le quart d"un carré). De plus, les carrés de côtés2et4représentent respectivement2×2×2=2 3 et4×4×4=4 3 petits carrés de la grille. Il ne reste plus qu"à exprimer le nombre total de petits carrés de la grille de deux façons différentes :15×15 = 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 ce qui donne bien : (1+2+3+4+5) 2 =1 3 +2 3 +3quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] connaitre la taille d'une image en pixel
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