Sommes de puissances dentiers
et de la somme des n premiers nombres impairs. 1 + 3 + 5 + ··· + (2n ? 1). Une troisième méthode consiste en ce que l'on appelle une preuve.
Sommes dentiers élevés à une puissance quelconque
Numericarum Summa (Sommation des puissances numériques1) qui fait partie d'un ensemble de Sk = Sk(n) est la somme des puissances k des nombres de.
Calcul Algébrique
Voici un enchaînement d'égalités montrant que la somme des puissances de 2 de et par le nombre de permutations des n ? k objets qui ne l'ont pas été.
PUISSANCES Cours 1) Puissance dexposant positif Définition
Règle de calcul : Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et a un nombre relatif. an × ap = an + p. On somme les deux exposants.
Sommes et produits
Pour q = 1 fixé la somme des puissances de q a été vue au lycée : Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au.
Trigonométrie. Recherches sur les sommes de puissances
Recherches sur les sommes de puissances semblables SOMMES DE PUISSANCES DES SINUS ET COSINUS. ... k étant un nombre entier positif quelconque on a.
Sur la décomposition dun entier en une somme de puissances
puissances huitièmes d'entiers (Problème de Waring). Bulletin de la S. M. F. n'est pas
Sommes des puissances A. Premiers résultats premières preuves.
générale pour la somme des nombres entiers de 1 à n
Chapitre 1 - Calculs de sommes
1.2 Somme des n premiers nombres impairs. Cette somme intervient fréquemment dans les exercices d'Olympiades académiques; il s'agit de donner une formule
Les calculs sans calculatrice avec des puissances de dix (leçon)
Rappel : on appelle puissance de dix un nombre écrit sous la forme 10a où a est un nombre réel appelé l'exposant est la somme des deux exposants :.
I- PUISSANCES D’UN NOMBRE - Guide des auteurs des sites de
Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 = Règles de calcul : Soient n et p deux entiers Règle Exemples Produit 10 n × 10 p = 10 10 3 × 10 4 = 10-6 × 10 4 = Quotient 10 n 10 p = 10 10 7 10 3 = 10-5 10 8 = Puissance de puissance (10 n)p = 10 (10 5)2 = (10 3)-4 =
somme des puissances - villemingerardfreefr
et de ses généralisations à la somme des puissances p-ièmes de n premiers nombres entiers Fp(n)= Xn k=1 kp =1p +2p + +np A Premiers résultats premières preuves Somme des entiers Comme le dit l’anecdote concernant Gauss la formule exprimant F1(n)= Xn k=1 k peut se dé-montrer simplement en regroupant les termes deux à deux 1 2 49
Théorèmes sur les puissances des nombres
la somme de deux quatrièmes puissances ne peut être un carré est indépendante du théorème de Fermât sur l'impos-sibilité de trouver une puissance de nom quelconque la se-conde exceptée égale à la somme de deux puissances do même nom JI Théorème y*n x = "2zn est une équation impos-sible en nombres rationnels pour n > 1
Fiche n°3 Puissances et écritures scientifiques - Prof-launay
Dans un calcul sans parenthèses avec des puissances on effectue les puissances avant d’appliquer les autres règles de priorité EXERCICE TYPE 1 Calculer et donner une valeur exacte sous forme fractionnaire ou décimale : A = (–4)2; B = –42; C = 10?3; D = (–5)–4; E = (–2)4 + 7 × 32; F = 1 3 – 3–2 Solution :
Sommes d'entiers élevés à une puissance quelconque
sont des nombres quelconques (éventuellement des entiers) et faisons la somme de ses termes portés chacun à la puissance k Le terme courant de cette somme est : (a+ bm) k= Xk p=0 k p! a pb mk p En additionnant ce terme de m = 1 à m = n on trouve : Xn m=0 (a+ bm)k = ak + k p=0 k p! a pbk S k p; qui donne le résultat une fois connues les
Comment calculer la somme des puissances successives de 2 ?
Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un. n = 5 => S = 5,53… n = 10 => S = 5,97… n = 20 => S = 5,999957… n = 5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
Comment calculer la puissance de dix 10 ?
Lorsque l'exposant (a) est positif, alors la puissance de dix 10 a correspond au nombre 1 suivi d'un nombre de zéros correspondant au chiffre a. Quelques exemples : 10 3 correspond au nombre 1 suivi de 3 zéros donc 10 3 = 1 000. 10 5 correspond au nombre 1 suivi de 5 zéros donc 10 5 = 100 000. Quelle est la signification du symbole == en Python ?
Comment calculer la puissance d'une somme?
Prend pour exemple n = 2 . Tu appelles somme avec n = 2, donc dans somme ton k = 2. Tu boucles s = 1 + puissance (2,p..?) p n'a pas de valeur déjà. Commence déjà par donner une valeur à p en fonction de ce que tu attends de cette variable.
Comment calculer les puissances d'un nombre ?
Le principe consiste à décomposer le nombre en une somme de puissances de 2 (on pourra utiliser un tableur !). Par exemple, 13 = 8 + 4 + 1. Le nombre 13 sera inscrit sur les cartes 1 (qui commence par 1), 3 (qui commence par 4), et 4 (qui commence par 8). De même, 34 = 32 + 2 sera sur les cartes 2 et 6.
Maxime Bourrigan Culture Math
Sommes des puissances
" Dans les années 1780, un instituteur allemand de province donna à sa classe la tâche fasti-
dieuse d"additionner les 100 premiers entiers. Le but de cet enseignant était d"obtenir le silence
pendant une demi-heure, mais un jeune élève donna presque immédiatement une réponse :1+2+3++98+99+100=5050. Le monsieur je-sais-tout était Carl Friedrich Gauss, qui
deviendrait plus tard un des plus sérieux candidats au titre de plus grand mathématicien de tous
les temps. Gauss n"était pas seulement un calculateur prodige et n"avait pas simplement fait cette
addition de tête. Il avait eu une idée plus profonde : si vous " pliez » la suite des cent premiers
nombres et que vous en faites la somme deux par deux (1+100, 2+99, 3+98, etc.), toutes ces sommes font 101. Il y a 50 telles sommes, donc le total est simplement 50101. La formule générale, pour la somme des nombres entiers de 1 àn, estn(n+1)2Bien que probablement apocryphe, cette anecdote
1est probablement une des histoires les
plus connues concernant un mathématicien. L"une des raisons en est sans doute qu"elle illustre de façon frappante une preuve très élégante d"une formule elle-même très connue. Le but de cet article est de discuter de cette formule : n X k=1k=1+2++n=n(n+1)2 et de ses généralisations à la somme des puissancesp-ièmes denpremiers nombres entiers F p(n) =n X k=1k p=1p+2p++np.A. Premiers résultats, premières preuves.
Somme des entiers
Comme le dit l"anecdote concernant Gauss, la formule exprimant F1(n) =n
X k=1kpeut se dé- montrer simplement, en regroupant les termes deux à deux.1249505152991001. La version citée ici est (ma propre traduction de) celle utilisée dans l"article " Gauss"s Day of Reckoning » de
Brian Hayes, dans laquelle l"auteur revient sur les origines historiques de cette anecdote. Cette autre page recense
plus d"une centaine de versions de ladite anecdote. 1124950
515299100
101101101101)5050
On peut également donner une représentation géométrique de cette preuve. nnn n nn+n n= n+1nSomme des carrés
On apprend souvent aussi (mais sans doute un peu plus tard) les compagnons de cette for- mule : F2(n) =12+22+32++(n1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6
F3(n) =13+23+33++(n1)3+n3=n2(n+1)24
Pour ces formules, aucune preuve n"est aussi lumineuse que celle attribuée à Gauss par lacélèbre anecdote. Mais il existe quand même des preuves éclairantes. Par exemple, on trouve
dans le formidable livreProofs without words2l"image suivante :2. Roger B. Nelsen,Proofs without words : Exercises in visual thinking, Mathematical Association of America, 1993.
Dans ce livre, la preuve précédente est attribuée à Man-Keung Siu et la prochaine à Sidney H. Kung.
2Une autre preuve " géométrique » donnée dans le même livre mérite sans doute un peu
d"explication.123...n23...n3...n...nn nnnnn............333221123...n23...n3...n...nn
=2n+1Dans ces dessins, on a inscrit des entiers dans un triangle, à la manière du triangle de Pascal.
Les trois triangles qui sont " ajoutés » sont en fait les mêmes, à une rotation près. Dans celui du
milieu, on voit qu"il y a un " 1 » dans la première ligne, deux " 2 » dans la deuxième, etc. La
somme des entiers présents dans le triangle vaut donc 11+22++nn=F2(n). Or, on voit que la somme des trois triangles n"affiche qu"une seule valeur : 2n+1. On a donc l"égalité 3F2(n) = (n+1)C,
3 où C est le nombre de cases du triangle. Mais cet entier vaut exactement 1+2++n=n(n+1)2 et on obtient donc bien F2(n) =n(n+1)(2n+1)6
On trouvera encore d"autres preuves de cette égalité sur le fil de discussion consacré à cette
question sur le site Mathematics Stack Exchange.3Il ne tient qu"à vous d"en rajouter!
Somme des cubes
Une assez belle preuve de la formule
F3(n) =13+23+33++(n1)3+n3=n2(n+1)24
=F1(n)2 date de 1854 et est due à Charles Wheatstone4. Elle part de la figure où l"on inscrit les premiers
nombres impairs dans un triangle de taillen.1 357911
13151719
2123252729!11=13!24=23!39=33!416=43!525=53On observe alors que lak-ième ligne du triangle porteknombres, dont la moyenne est préci-
sémentk2. Ainsi, la somme de ces valeurs estk3, et la somme des valeurs du triangle vaut F3(n).Comme le triangle a F
1(n) =n(n+1)2
cases, on a bien F3(n) =F
1(n)X k=1(2k1) =2F1(n)X
k=1k! F1(n) =2F1(F1(n))F1(n) =F1(n)2+F1(n)F1(n) =F1(n)2. Avant de passer à la suite, remarquons qu"une fois que l"on connaît ces trois formules, lesdémontrer par récurrence est facile. Ce qui l"est moins, c"est de retrouver la formule quand on l"a
oubliée!3. "Proof that n X k=1k2=n(n+1)(2n+1)6
4. Charles Wheatstone,On the Formation of Powers from Arithmetical Progressions, Proceedings of the Royal
Society of London7(1854), p. 145-151.
4B. Il existe une formule...
Les trois formules pour F
1(n), F2(n)et F3(n)soulèvent naturellement la question de savoir si
une formule existe plus généralement pour les F p(n). Contentons-nous pour l"instant de montrer qu"il existe une telle formule et de donner quelques renseignements sur elle, sans véritablement l"exhiber. Théorème.Fp(n)est un polynôme de degrép+1 enn. On va en fait donner deux preuves différentes de ce résultat.Preuve par les sommes télescopiques
On a déjà vu des cas particuliers de ce théorème pourp=1, 2 ou 3 (ou même pourp=0, où F0(n) =n, si on aime la zérologie). Cela permet d"envisager une preuve par récurrence.
Supposons donc le résultat démontré pour tous les polynômes F q(n), avecqPreuve par intégration discrète
Une autre manière de démontrer cette formule est de constater que l"opération permettant de passer denpà Fp(n)s"apparente à la prise d"une primitive. Détaillons cela.Pour les suites ou les fonctions définies sur les entiers, l"opération de dérivation a une cousine,
que l"on appelle parfoisdérivée discrèteouopérateur aux différences finies. Sifest une
fonction, on définit simplementfpar la formule(f)(n) =f(n+1)f(n). D"une certainefaçon, on a " discrétisé » la dérivée : au lieu de regarder ce que fait le quotient
f(x+")f(x)" quand"!0, on a simplement remplacé"par 1. 5Cet opérateur garde certaines des propriétés de la différentiation des fonctions, et une ha-
bitude en mathématiques discrètes est de filer cette métaphore. Par exemple,abaisse stric- tement le degré des polynômes : à cause du binôme de Newton, les termes de degrémde xm= (x+1)mxms"annulent, donc deg(xm)P=0 sont les polynômes constants (un polynôme périodique est nécessairement constant). On
a donc dimker(m) =1, ce qui entraîneAinsi, tout polynôme de degrépa une " primitive discrète » de degrép+1, unique à l"addition
près d"une constante. Cela démontre le théorème, car par définition,Fp(n) = (n+1)p.Les formules!
Une fois que l"on a démontré le résultat, on peut facilement obtenir les formules, à condition
d"avoir du courage ou un ordinateur sous la main! Pour s"en convaincre, déterminons la formule pour F4(n). On sait qu"il s"agit d"un polynômea5n5+a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0de degré 5 tel
que les six premières valeurs F5(1), F5(2), ..., F5(6)sont les sommes des premières puissances
quatrièmes, c"est-à-dire 1, 17, 98, 354, 979 et 2275, respectivement. Comme six valeurs déter-
minent uniquement un polynôme de degré 5, il n"y a plus qu"à résoudre un système linéaire (un
peu pénible5) pour obtenir la formule.F
4(n) =15
n5+12 n4+13 n3130 n. On peut ainsi obtenir les premières formules pour les F n. Notons que les deux preuves quel"on a données permettent également de trouver ces formules : dans le premier cas, on a obtenu5. Il est en fait possible d"être un peu plus malin et de prolonger F
psur les nombres négatifs ou nuls pour pouvoir utiliser des équations avec des coefficients moins élevés (tels que F p(0)). Pour cela, il faut que les preuves précédentes s"appliquent, c"est-à-dire qu"il faut prolonger F pde telle sorte que8n2Z,Fp(n+1)Fp(n) = (n+1)p. Mais cette astuce n"empêche pas les systèmes linéaires de devenir très vite pénibles. 6 une formule de récurrence exprimant F pen fonction des Fq,q1(n) =12
n2+12 n F2(n) =13
n3+12 n2+16 n F3(n) =14
n4+12 n3+14 n2 F4(n) =15
n5+12 n4+13 n3130 n F5(n) =16
n6+12 n5+512 n4112 n2 F6(n) =17
n7+12 n6+12 n516 n3+142 n F7(n) =18
n8+12 n7+712 n6724 n4+112 n2 F8(n) =19
n9+12 n8+23 n7715 n5+29 n3130 n F9(n) =110
n10+12 n9+34 n8710 n6+12 n4320 n2 F10(n) =111
n11+12 n10+56 n9n7+n512 n3+566 n.Nous allons voir dans la section suivante qu"il existe en fait une formule générale pour expri-
mer la somme F p(n) =1p+2p++np, mettant en jeu une famille de nombres remarquables.C. Formule de Bernoulli
Énoncé
Les formules que nous venons d"indiquer présentent beaucoup de phénomènes réguliers : F p(n)est un polynôme dont le terme dominant est1p+1np+1, on l"a vu, mais c"est loin d"être la seule chose à remarquer :Il n"y a jamais de terme constant.
Le coefficient en xpest toujours12
Les coefficients devant xp2,xp4,xp6, etc. sont tous nuls. À partir de xp1, le signe des coefficients (non nuls) alterne.Le coefficient devant xp1vaut toujoursp12
En fait, toutes ces expressions sont des manifestations d"une unique formule, que l"on peuténoncer comme suit.6. La " star » dans ce domaine est la fonctionxm=x(x1)(xm+1). Cette fonction vérifiexm=mxm1et joue donc pour l"opérateurun rôle similaire à celui que jouent les fonctions puissances dans le calcul différentiel
classique. D"une certaine façon, travailler avec l"opérateurrevient dans une large mesure à travailler dans la base
(xm) m2NdeR[X]plutôt que dans la base canonique. 7Théorème.Pour toutp, on a
F p(n) =n X k=1n k=1p+1p X q=0 p+1 q B qnp+1k, où les nombres B q, appelésnombres de Bernoulli, sont définis par B0=1 et la relation de récurrence m X i=0(1)im i B i=0 pour toutm>0. Cette formule a été en substance énoncée par Jakob Bernoulli dans son ouvrageArs Conjec- tandi. Bernoulli y donne en particulier les formules pour les Fnque nous avons données à lasection précédente. Il affirme d"ailleurs avoir été capable de calculer la somme des mille pre-
mières puissances dixièmesintra semi-quadrantem horae, c"est-à-dire en moins d"un demi-quart
d"heure. Comme on le voit sur ces images, il donne même la valeur...Vérifions les premiers cas de la formule de Bernoulli :
La première relation s"écrit 2
0 B 02 1 B1=0, c"est-à-dire 12B1=0, ce qui donne
B 1=12 . On a donc F1(n) =12
2 0 B 0n2+2 1 B 1n1 =12n2+n.
La seconde relation s"écrit
3 0 B 03 1 B 1+3 2 B2=0, c"est-à-dire12
+3B2=0, d"où 8 B 2=16 . On a donc F2(n) =13
3 0 B 0n3+3 1 B 1n2+3 2 B 2n1 13 n 3+32 n2+12 n =13 n3+12 n2+16 n.La troisième relation s"écrit
4 0 B 04 1 B 1+4 2 B 243 B
3=0, ce qui donne 4B3=0
et B3=0. On obtient alors sans peine la formule donnée plus haut pour F3.
De manière générale, on voit que B
nest le coefficient devantndans l"expression de Fn. À partir de B3, tous les nombres de Bernoulli impairs sont nuls et les signes des pairs alternent, ce
qui explique une bonne partie de nos remarques sur les expressions de F n. Les premiers nombres7 de Bernoulli non nuls sont donnés dans le tableau suivant.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] connaitre la taille d'une image en pixel
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