[PDF] Untitled Différentes stratégies permettent

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Les coniques

8QH ŃRQLTXH HVP XQH ŃRXUNH GpILQLH SMU O·LQPHUVHŃPLRQ G·XQ SOMQ HP G·XQH

surface conique. Un lieu géométrique est un ensemble de points ayant une caractéristique . Chaque conique est un lieu géométrique. Les coniques ont été décrites et construites (par Apollonius (-262; -190) à SMUPLU G·XQ Ń{QH GH UpYROXPLRQ ŃRXSp SMU XQ SOMQ :

6L HOOHV RQP SMVVLRQQp OHV VMYMQPV GH O·$QPLTXLPp Ń·HVP MYMQP PRXP SMUŃH TXH

les coniques VRQP PUqV SUpVHQPHV GMQV O·HQYLURQQHPHQPB 9RLŃL TXHOTXHV exemples : Les arènes de Nîmes dont la forme est une ellipse : 3 IH SOMIRQG HOOLSPLTXH GH O·MNNM\H GH OM FOMLVH GLHX HQ +MXPH-Loire qui par XQH SURSULpPp JpRPpPULTXH GH O·HOOLSVH offrait la possibilité aux lépreux de venir se confesser. En se réfléchissant sur le plafond dont la forme est elliptique, les ondes

VRQRUHV VH SURSMJHQP G·XQ IR\HU j O·MXPUHB

Les paraboles connaissent une propriété analogue mise en application pour les fours solaires ou les radars. Les rayons du soleil, tous parallèles, se réfléchissent sur la parabole et convergent tous en un point, le foyer. I·pQHUJLH GXH MX UM\RQ GX VROHLO VH PURXYH ŃRQŃHQPUpH HP SHUPHP GH ŃOMXIIHUB 4

Le cercle :

IH ŃHUŃOH HVP XQ OLHX JpRPpPULTXH ŃMU Ń·HVP XQH OLJQH ŃRXUNH IHUPpH GRQP PRXV OHV SRLQPV VRQP j pJMOH GLVPMQŃH G·XQ PrPH SRLQP MSSHOp . I·pTXMPLRQ ŃMQRQLTXH GX ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH HVP :

Démonstration :

Représentation graphique G·XQ ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH

Il te suffit de connaître le rayon !

Représente graphiquement chacun des cercles suivants :

Cette année, nous verrons

uniquement le cercle centré à

O·RULJLQH !

5

5HŃOHUŃOH GH O·pTXMPLRQ GX ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH

PRXU PURXYHU O·pTXMPLRQ GX ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH VRXV VM IRUPH ŃMQRQLTXH LO suffit de :

¾ Substituer la mesure du dans cette forme

¾ Substituer les coordonnées

pour trouver le rayon.

Exercices :

#1 Parmi les équations suivantes, lesquelles sont représentées dans le plan cartésien par un cercle? Si possible détermine le rayon du cercle. c) ௫మ #2 Déterminez O·pTXMPLRQ ŃMQRQLTXH GX ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH HP GRQP OH rayon mesure 4. #3 8Q ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH SMVVH SMU OH SRLQP 3-5, 12). Quelle est son

équation ?

6 #4 IM GURLPH G·pTXMPLRQ [ ² 4 = 0 est tangente à un cercle cHQPUp j O·RULJLQHB

Quelle est O·pTXMPLRQ GH ŃH ŃHUŃOH "

#5 IHV ŃRRUGRQQpHV G·XQ SRLQP GX ŃHUŃOH ŃHQPUp j O·RULJLQH sont (6, 3). Quelles sont les coordonnées des deux points du ŃHUŃOH GRQP O·MNVŃLVVH HVP 4? #6Le segment reliant les points A (5. ²1) et B (-5, 1) est OH GLMPqPUH G·XQ cercle centré j O·RULJLQHB 4XHOOH HVP O·pTXMPLRQ GH ŃH ŃHUŃOH " 7 #7 Un menuisier doit construire un plafond dans un hangar en forme de demi- cylindre. La largeur totale du hangar est de 10 m. Quelle longueur doit-il donner aux pièces de bois qui soutiendront le plafond si celui-ci doit être à une hauteur de 3,5 mètres?

8 ePMNOLVVH] O·pTXMPLRQ GH ŃOMŃXQ GHV ŃHUŃOHV VXLYMQPV :

8

Régions associées au cercle

Voici les étapes pour représenter la région intérieure ou extérieure à un cercle :

2. Tracer la courbe frontière :

trait plein si trait pointillé si

3. Hachurer : O·LQPpULHXUH GH OM ŃRXUNH VL

O·H[PpULHXU GH OM ŃRXUNH VL

Exercice : Représente graphiquement la région associée à chaque inéquation

Ou prenez un

point témoin !! 9

I·HOOLSVH

8QH HOOLSVH HVP XQ OLHX JpRPpPULTXH GpŃULP SMU O·HQVHPNOH GHV SRLQPV GRQP OM

somme des distances à deux points fixes est . Les deux points fixes sont les . GMQV OM UHSUpVHQPMPLRQ JUMSOLTXH G·XQH HOOLSVH GRQP O·pTXMPLRQ V·pŃULP VRXV OM forme

¾ Les coordonnées du centre sont

¾ IM ORQJXHXU GH O·M[H ORUL]RQPMO ŃRUUHVSRQG j ¾ IM ORQJXHXU GH O·M[H YHUPLŃMO ŃRUUHVSRQG j

¾ La distance entre les foyers correspond à

¾ Les foyers sont toujours situés sur le plus grand des deux axes (aussi nommé axe ) ¾ La relation entre la valeur du paramètre a, celle du paramètre b et celle du paramètre c est donnée par :

¾ Les coordonnées des sommets sont

Ellipse ŃHQPUp j O·RULJLQH

seulement! 10

Exercices : #1 Dans chaque cas, déterminez :

1) La longueur du demi-axe horizontal (paramètre a)

2) La longueur du demi-axe vertical (paramètre b)

3 I·pTXMPLRQ GH O·HOOLSVH VRXV OM IRUPH : ௫మ

11 #2 Dites si les équations suivantes représentent des ellipses : a) ௫మ

5HSUpVHQPMPLRQ JUMSOLTXH G·XQH HOOLSVH ŃHQPUpH j O·RULJLQH

Il te suffit de connaître les sommets !

Exercices 1 5HSUpVHQPH JUMSOLTXHPHQP O·HOOLSVH Mssociée aux O·pTXMPLRQs suivantes : a) ௫మ ଺ସൌͳ b) ௫మ 12 #2 Dans chaque cas, déterminez les coordonnées des sommets et des foyers

GH O·HOOLSVHB

a) ௫మ ଵ଺ଽൌͳ b) ௫మ

3 GMQV ŃOMTXH ŃMV GpPHUPLQH] OHV ŃRRUGRQQpHV GHV 4 VRPPHPV GH O·HOOLSVH :

ସൌͳ b) ௫మ

5HŃOHUŃOH GH O·pTXMPLRQ GH O·HOOLSVH ŃHQPUpH j O·RULJLQH :

1-Connaissant un sommet et un point : Remplace le x et le y par les

ŃRRUGRQQpHV GX SRLQP HP OH SMUMPqPUH ŃRQQX MILQ GH PURXYHU O·MXPUH paramètre. Ex : (0,6) (6,4, -3,6) 13

2-Connaissant le foyer et un paramètre : Utilise Pythagore pour trouver

le paramètre manquant. Ex :

Exercices

1 GpPHUPLQH O·pTXMPLRQ G·XQH HOOLSVH YHUPLŃMOH ŃHQPUpH j O·RULJLQH M\MQP XQ

grand axe de 22 unités et un sommet situé à (-5, 0).

2 GpPHUPLQH O·pTXMPLRQ G·XQH HOOLSVH ŃHQPUpH j O·RULJLQH TXL SMVVH SMU OH SRLQP

(0,3) (-4, 0) 14 #3 Un menuisier fabrique une table de forme elliptique qui possède les caractéristiques suivantes :

La distance entre les deux foyers est de 2m.

La longueur du petit axe est de 1,5 m.

a) ePMNOLVVH] O·pTXMPLRQ GH O·HOOLSVH TXL ŃRUUHVSRQG MX SRXUPRXU GH OM PMNOHB N 4XHOOHV VRQP OHV GLPHQVLRQV PLQLPMOHV G·XQH SOMQŃOH UHŃPMQJXOMLUH GMQV OMTXHOOH RQ SHXP \ GpŃRXSHU OM PMNOH G·XQ VHXO PRUŃHMX " #4 IH JUMQG M[H G·XQH HOOLSVH ŃHQPUpH j O·RULJLQH PHsure 12 unités et le petit axe PHVXUH 4 XQLPpVB GpPHUPLQH O·pTXMPLRQ GH O·HOOLSVH HP TXHOOHV VRQP OHV ŃRRUGRQQpHV GHV VRPPHPV HP GHV IR\HUV VL O·M[H PUMQVYHUVMO HVP O·M[H GHV [B 15 #5 7URXYH O·pTXMPLRQ GH O·HOOLSVH

P (4,5)

S(5,0)

#67URXYH O·pTXMPLRQ GX OLHX JpRPpPULTXH GRQP OM VRPme des distances à deux points fixes dont les coordonnées sont (0,5) et (0,-5) est égale à 26. #7 Une piste de course est de forme elliptique. La longueur du grand axe est de 80 cm et la distance focale est de 64 cm. Quelle est la longueur du petit axe? 16

5pJLRQV MVVRŃLpHV j O·HOOLSVH

Voici les étapes pour représenter la région intérieure ou extérieure à une ellipse :

1. 7UMQVIRUPHU O·LQpTXMPLRQ HQ pTXMPLRQ VRXV OM IRUPH ௫మ

2. Tracer la courbe frontière :

trait plein si trait pointillé si

3. Hachurer : O·LQPpULHXUH GH OM ŃRXUNH VL

O·H[PpULHXU GH OM ŃRXUNH VL

Exercice : Représente graphiquement la région associée à chaque inéquation

Ou prenez un

point témoin !! 17

I·O\SHUNROH ŃHQPUpH j O·RULJLQH AAA

ILHX JpRPpPULTXH GpŃULP SMU O·HQVHPNOHV GHV SRLQPV GRQP OM YMOHXU MNVROXH GH la différence des distances à deux points fixe est . Ces GHX[ SRLQPV IL[HV VRQP OHV IR\HUV GH O·O\SHUNROHB

Axe transverse horizontal Axe transverse vertical

Graphique :

Équation sous la

forme canonique :

Équations des

asymptotes :

Coordonnées des

foyers :

Coordonnées des

sommets : IHV SMUMPqPUHV M N HP Ń YpULILHQP O·pTXMPLRQ VXLYMQPH : 18

5HSUpVHQPMPLRQ JUMSOLTXH G·XQH O\SHUNROH ŃHQPUpH j O·RULJLQH

Étapes :

1 GpPHUPLQH O·RXYHUPXUH GH O·O\SHUNROH

2) Détermine et trace les asymptotes

3) Détermine et place les sommets et les foyers

Exercices

#1Dans chaque cas, détermine les coordonnées des sommets et des foyers

GH O·O\SHUNROHB

a) ௫మ ଵସସൌെͳ b) ௫మ #2 Représente graphiquement les hyperboles suivantes : a) ௫మ 19

5HŃOHUŃOH GH O·pTXMPLRQ GH O·O\SHUNROH ŃHQPUpH j O·RULJLQH

9R\RQV ŃRPPHQP PURXYHU O·pTXMPLRQ G·XQH O\SHUNROH ŃHQPUpH j O·RULJLQH j O·MLGH

des deux exemples suivants : 1) 2)

1 GpGXLUH OM IRUPH UHŃOHUŃOpH G·MSUqV

O·RULHQPMPLRQ GH OM ŃRXUNH :

2 7URXYHU O·pTXMPLRQ G·XQH MV\PSPRPH :

3 O·MLGH GX VRPPHP HP GH O·pTXMPLRQ GH

O·MV\PSPRPH GpGXLUH OH SMUMPqPUH b :

1 GpGXLUH OM IRUPH UHŃOHUŃOpH G·MSUqV

O·RULHQPMPLRQ GH OM ŃRXUNH :

2) Trouver le paramètre a j O·MLGH GH 3\POMJRUH :

20

Exercices

#1 ePMNOLVVH] O·pTXMPLRQ GH ŃOMŃXQH GHV ŃRQLTXHV LOOXVPUpHV ŃL-dessous. a) b) 21
#2 Dans chaque cas, déterminez

1) les équations des asymptotes

2 OHV ŃRRUGRQQpHV GHV IR\HUV GH O·O\SHUNROH

3 O·pTXMPLRQ GH O·O\SHUNROH

a) b) 22

5pJLRQV MVVRŃLpHV j O·O\SHUNROH

Voici les étapes pour représenter la région intérieure ou extérieure à

O·O\SHUNROH :

1. 7UMQVIRUPHU O·LQpTXMPLRQ HQ pTXMPLRQ VRXV OM IRUPH ௫మ

2. Tracer la courbe frontière :

trait plein si trait pointillé si

3. Utiliser un point témoin pour trouver la région à hachurer.

Exercice : représentez graphiquement la région associée à chaque inéquation a) ௫మ ଷ଺൑ͳ b) ௫మ c) ௫మ 23

La parabole (translatée cette fois !!)

ILHX JpRPpPULTXH GRQP PRXV OHV SRLQPV VRQP VLPXpV j pJMOH GLVPMQŃH G·XQH droite fixe, appelée HP G·XQ SRLQP IL[H MSSHOp IR\HUB Axe de symétrie verticale Axe de symétrie horizontal

Graphique

Équation sous la

forme canonique :

Coordonnées du

sommet :

Coordonnées du

foyer : eTXMPLRQ GH O·M[H GH symétrie :

Équation de la

directrice :

Ouverture de la

parabole si ܿ

Ouverture de la

parabole si ܿ

Distance entre foyer

et directrice foyer

Sommet

Axe de symétrie

Droite directrice

Droite directrice

Axe de symétrie

foyer Sommet 24
Représentation graphique de la parabole translatée :

Étapes :

1. Détermine son ouverture : droite-gauche ou haut-bas ?

2. Détermine son sommet et son foyer

3. Trace également sa droite directrice

Exercices :

#1 Dans chaque cas, détermine les coordonnées de sommet et du foyer de la parabole : 25
#2 Représente graphiquement les paraboles suivantes :

5HŃOHUŃOH GH O·pTXMPLRQ GH OM SMUMNROH

Étapes :

1 G·MSUqV O·RULHQPMPLRQ GH OM ŃRXUNH déterminer la forme recherchée :

2) Déduire certains renseignements concernant les paramètres c, h et k

Exercices

#1 Dans chaque cas, déterminez

1 O·pTXMPLRQ GH OM GLUHŃPULŃH GH OM SMUMNROH

2) Les coordonnées du foyer de la parabole

3 I·pTXMPLRQ GH la parabole

26
a) b) c)

1) Directrice :

2) Foyer :

3) Équation :

1) Directrice :

2) Foyer :

3) Équation :

1) Directrice :

2) Foyer :

3) Équation :

27
#2 7URXYHU O·pTXMPLRQ GH OM SMUMNROH GRQP OHV ŃRRUGRQQpHV GX VRPPHP sont (-2,3) et le celles du foyer sont (-5,3). #3 7URXYH O·pTXMPLRQ GH OM SMUMNROH TXL SMVVH SMU OH VRPPHP -4,6) et dont O·pTXMPLRQ GH OM GLUHŃPULŃH HVP ݕൌെଵହ #4 Trouver O·pTXMPLRQ GH OM SMUMNROH TXL SMVVH SMU OH VRPPHP -3,1) et par le point (-2,3). 28
#5 IH IR\HU G·XQH SMUMNROH VH VLPXH MX SRLQP -4,5) du plan cartésien et la directrice de cette parabole a comme équation y ² 3 = 0B 7URXYH O·pTXMPLRQ de la parabole. #6 IM GURLPH G·pTXMPLRQ x = 4 est la directrice de la parabole de sommet

64B 7URXYH O·pTXMPLRQ GH ŃHPPH SMUMNROHB

Trouve :

1- les coordonnées du sommet

2-O·pTXMPLRQ GH O·M[H GH V\PpPULH

3-les coordonnées du foyer

4-O·pTXMPLRQ GH OM GLUHŃPULŃH

29

Régions associées à la parabole

Voici les étapes pour représenter la région intérieure ou extérieure à la parabole :

1. 7UMQVIRUPHU O·LQpTXMPLRQ HQ équation sous la forme

2. Tracer la courbe frontière :

trait plein si trait pointillé si

3. Utiliser un point témoin pour trouver la région à hachurer.

Exercice :

Représentez graphiquement la région associée à chaque inéquation : 30

3RLQPV G·LQPHUVHŃPLRQ HQPUH XQH GURLPH HP XQH ŃRQLTXH RX HQPUH

une parabole et une autre conique Différentes stratégies permettent de déterminer les coordonnées du ou des SRLQPV G·LQPHUVHŃPLRQ HQPUH XQH GURLPH HP XQH ŃRQLTXH RX HQPUH XQH SMUMNROH et une autre conique.

Représentation graphique

En représentant deux courbes dans un même plan cartésien, il est possible de déterminer GH SRLQPV G·LQPHUVHŃPLRQ HQPUH ŃHV courbes.

Voici différentes situations :

A

Aucun point Deux points Quatre points

G·LQPHUVHŃPLRQ G·LQPHUVHŃPLRQ G·LQPHUVHŃPLRQ

Méthodes algébriques

Les méthodes de comparaison, de substitution et de réduction permettent GH GpPHUPLQHU OHV ŃRRUGRQQpHV GX RX GHV SRLQPV G·LQPHUVHŃPLRQ V·LO RX LOV existent, entre une droite et une conique ou entre une parabole et une autre conique. 31

Exercices

#1 Dans chaque cas, déterminez les coordonnées du ou des points G·LQPHUVHŃPLRQ HQPUH OM GURLPH HP OM ŃRQLTXHB a) 32
b) 33
c) 34
#2 5pVRXV OHV V\VPqPHV G·pTXMPLRQV VXLYMQPV a) ݕଵൌͷݔെ-quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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