[PDF] Chapitre 8 - Fonctions Quadratiques

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GYMNASE DE BURIER

Chapitre 8 - Fonctions Quadratiques

Sarah Degallier Rochat

1. Fonctions quadratiques et paraboles

Une fonction quadratique est une fonction de la forme f(x) =ax2+bx+caveca6= 0.La courbe representative d'une fonction quadratique est uneparabole.O1 1xy

Sia> 0la parabole

estconvexeO1 1xy

Sia< 0la parabole

estconcave Exercice 1.1Les paraboles suivantes sont-elle convexes ou concaves?O1 1xy

ConcaveO1

1xy

Convexe

Exercice 1.2Les fonctions suivantes sont-elles quadratiques? Si oui, la parabole correspondante est-elle convexe ou concave? a)2x2+ 5x21Oui / Concave (a=2<0)b)4x2Oui / Concave (a=1<0)c)15x2+ 2x+ 1Nond)3x+ 1Non e)3x+x2Oui / Convexe (a= 1<0)f)px

2+ 3x2Non

2. Methode du discriminant

L'ensemble des solutions de l'equationax2+bx+c= 0dependent de la valeur de= b24ac(le discriminant) :(1) Si>0, il y a deux solutions : x 1=b+p

2aetx2=bp

2axy (2) Si = 0, il y a une seule solution : x

1=b2axy

(3) Si<0, il n'y a pas solutions. xy

Exemple 2.1Resoudre l'equation suivante

3x2+6x24= 0 On a donca=3,b=6etc=24.

On calcule

= b24ac= (6)

24(3)(24)= 36(288)=324

>0)Il y a deux solutions : x 1=b+p 2a= (6) + p324 23=

6+ 18 6=

126= 2

x 2=bp 2a= (6)p324 23=
6186=

246=4On a doncS=f4;2g

Exercice 2.1Resoudre l'equation suivante

2x2+ 8x=8On met l'equation sous la formeax2+bx+c= 0:

2x2+ 8x=8+ 8

,2x2+ 8x+ 8= 0

On a donca=2,b=8etc=8.On calcule

= b24ac= (8)

24(2)(8)= 6464=0

= 0 )Il y a une solution : x

1=b2a=

(8) 24=
88= 1

On a doncS=f1g.

Exercice 2.2Resoudre l'equation

5x2+ 7 = 0On aa=5,b=0etc=7.On calcule

= b24ac= (0)

24(5)(7)= 0140=140= 140)Il n'y a pas de solution :S=;.

3. Points caracteristiques

Soit la parabole d'equationy=x2+ 4x5. Ses points

caracteristiques sont les suivants.O1 1xy

Axe de symetriex=2SommetS(2;9)-9-2

Ordonnee a l'origineH(0;5)ZeroZ1(1;0)ZeroZ2(5;0)Une fonction quadratique a toujours un sommet et une ordonnee a

l'origine; elle peut avoir 0, 1 ou 2 zeros. Soity=ax2+bx+cl'equation d'une parabole.Coordonnees du sommetS= b2a;4aavec= b24ac.Equation de l'axe de symetriex=b2a(droite verticale passant par le sommet)Exemple 3.1Soit la parabole d'equationy=12 x2x+ 4. Calculer les coordonnees du sommet et l'equation de l'axe de symetrie.On aa=

12,b=1etc=4.

On calcule := (1)2412

4= 1 + 8=9

On remplace :S=

12(12 94(12
1;92

L'equation de l'axe de symetrie est doncx=1.

Exemple 3.2Soitf(x) =ax2+bx+cune fonction quadratique. Calculerf(0).f(0) =a02+b0 +c=cLe pointH(0;c)fait donc partie du graphe de la fonction (i.e, de la parabole).On appelle ce point l'ordonnee a l'origine car il

correspond a la valeur de l'ordonnee (y) lorsquex= 0.Ordonnee a l'origineH= (0;c)Exemple 3.1 (suite)Calculer l'ordonnee a l'origine de la parabole

d'equationy=12 x2x+ 4. Placer ce point ainsi que le sommet et l'axe de symetrie sur le graphique.On aH= (0;c)= (0;4). O1

1xySommetS1;92

Axe de symetriex=1Ordonnee a l'origineH(0;4)

Soitf(x) =ax2+bx+c. Les zeros de la fonctionf(x)

correspondent aux solutions de l'equationax2+bx+c= 0.Zeros (1) Si>0, il y a deux intersections : Z 1 b+p 2a;0! etZ2 bp 2a;0! Z

1(x1;0)Z

2(x2;0)xy

(2) Si = 0, il y a une seule intersection : Z

1b2a;0xy

Z

1(x1;0)(3) Si<0, il n'y a pas intersections.

xy Exemple 3.1 (suite)Calculer les zeros de la fonction f(x) =12 x2x+ 4. Completer le graphique precedent.On resoud l'equation12 x2x+ 4 = 0. 12 x2x+ 4 = 0MEE 12 (x2+ 2x8)= 0SP 12 (x+ 4)(x2)= 0)S=f4;2gIl y a deux solutions, il y aura donc deux zeros : Z

1(4;0)etZ2(2;0)

Remarque 3.1La premiere coordonnee du sommetxSd'une parabole est toujours egale a la moyenne des premieres coordonnees des zerosxZ1etxZ2x

S=xZ1+xZ22

S'il n'y a qu'un zero, on axS=xZ.Exemple 3.2Dans l'exemple precedent, on avait S 1;92 ;Z1(4;0)etZ2(2;0) Verier la formule de la remarque precedente.On axS=1,xZ1=4etxZ2=2.Donc x

S?=xZ1+xZ22) 1?=4 + 22, 1?=1X

4. Calcul avec les coordonnees

Rappel 4.1Un point(x;y)fait partie d'une courbe si ses

coordonnees satisfont l'equation de cette courbe.Exemple 4.1Le point(2;4)fait-il partie de la parabole

y=2x25x+ 1?4

?=2(2)25(2)+1,4?=8+10+1,4?= 3)NonRappel 4.2On appellez eroles valeurs telle sque f(x) = 0.Exemple 4.2Quels sont les zeros de la fonction

f(x) = 2x212x+ 18?On resoud l'equationf(x) = 0:

2x212x+ 18 = 0MEE

,2(x26x+ 9)= 0PR ,2(x3)2= 0)S=f3gLa fonction n'a qu'un zero :x= 3.

Intersection entre une droite et une parabole

Exemple 4.3Calculer les coordonnees des points d'intersection entre la parabole d'equationyf=x22x1et la droite d'equationyg=x1.O1 1xy I

1(0;1)I

2(3;2)On cherche les valeurs de x pour

lesquellesyf=yg:x

22x1=x1x+ 1,x23x= 0CL

,x(x3)= 0)S=f0;3gOn remplace dansygpour trouver la deuxieme coordonnee;x= 0)y=x1=0 1 =1)I1(0;1)x= 3)y=x1=3 1 =2 )I2(3;2)

Lorsque que l'on cherche les points d'intersection entre une droite et une parabole, trois cas sont possibles :O1 1xy

Deux intersectionsO1

1xy

Une intersection

La droite et la para-

bole sont tangentesO1 1xy

Aucune intersection

Intersection entre deux paraboles distinctes

O1 1xy I

1(2;1)Exemple 4.4Calculer les coordonnees

des points d'intersection des para- boles d'equationyf=x2+ 6x+ 9et y g=x22x+ 1.On cherche les valeurs de x pour lesquellesyf=yg:x

2+ 6x+ 9=x22x+ 1+x2+ 2x1,2x2+ 8x+ 8= 0CL

,2(x2+ 4x+ 4)= 0CL

,2(x+ 2)2= 0)S=f2gOn remplace dansyfpour trouver la deuxieme coordonnee;x=2)y=x2+ 6x+ 9= (2)2+ 6(2) + 9= 412 + 9 =1 )I1(2;1)

Lorsque l'on calcule l'intersection entre deux paraboles distinctes, trois cas sont possibles :O1 1xy

Deux intersectionsO1

1xy

Une intersection

Les paraboles sont

tangentesO1 1xy

Aucune intersection

5. Application pratique

Exemple 5.1Une balle est tiree en l'air a partir du sol. La hauteur h(en metres) de la balle en fonction du tempst(en secondes) est donnee parh(t) =4t2+28 t.O10

1t [s]h [m]

S(3.5; 49)a) Calculer la hauteur maximale at-

teinte par la balle.La hauteur maximale de la balle cor- respond au sommet de la pa rabole.On calcule donc les coordonnees du sommetSb2a;4a.La balle atteindra le sommet au temps t=b2a=282(4)=288=3 :5s. Pour trouver la hauteur, on peut remplacert= 3:5dans l'equation h(t):h(3:5) =4(3:5)2+28 3:5=49 La hauteur maximale de la balle (atteinte apres 3.5 secondes) sera donc de49metres. b) Calculer le temps que met la balle pour retomber au sol. Nous devons calculer pour quelles valeurs detl'on a h(t) =4t2+28 t= 0.On calcule: =b24ac=28

24(4)0= 784>0On a donc deux solutions :

x 1=b+p 2a=

28+ 28 2(4)=0

x 2=bp 2a=

28282(4)=

568=7
La balle met donc7secondespour retomber sur le sol.

6. Optimisation

Exemple 6.1Robert veut faire un parc rectangulaire pour son chien. Il a 10 metres de barriere. De quelle taille doivent ^etre la longueurLet lala rgeurxdu parc pour maximiser son aireA? Exprimer l'aire en fonction dexet tracer le graphe de la fonction.L=2-xL=2-x xxSoitx la la rgeurdu pa rcet L sa lon- gueur .Le perimetre du parc vaut P= 2x+ 2L= 10:On cherche a maximiser l'aireA=xL.On exprimeLen fonction dex:

2x+ 2L= 10)2L= 102x)L= 5xL'aire du parc sera donc de

A=xL=x(5x)= 5xx2=x2+ 5x

O1 1xA Z

1(0;0)Z

2(5;0)S(2:5;6:25)Tracons le graphe de la fonc-

tion. Pour cela, calculons les co- ordonnees des zeros et du som- met.x2+ 5x= 0MEE , x(x5)= 0

On a S=f0;5get doncZ1(0;0)

etZ2(5;0).On calcule ensuite les coordonnees du sommet S( b2a;4a) : b2a=52= 2:5

4a=524(1)04(1)=

154
=6:25L'aire est maximale quand la largeur vautx= 2:5met la longueury= 5x= 52:5 = 2:5m.Le parc doit donc ^etre carre pour que l'aire soit maximale!quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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