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Comparaison locale de fonctions

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Motivations

Problématique

Outil de comparaison

2Négligeabilité d"une fonction devant une autre

Définition et caractérisation

Propriétés

3Équivalence de fonctions

Définition et caractérisation

Propriétés

Équivalents usuels

Cas particulier de la somme

Composition d"équivalents

Sommaire

1Motivations

Problématique

Outil de comparaison

2Négligeabilité d"une fonction devant une autre

3Équivalence de fonctions

1. Motivationa) Problématique

Problématique

Comparaison d""ordre de grandeur»de deux fonctions au voisinage d"un point.1Exemple 1 :comparaison des fonctionsidentitéetcarré

x2est"beaucoup plus grand»quex lorsquexest"grand»;•x2est"beaucoup plus petit»quex lorsquexest"petit».xy y=xy=x2O

2Exemple 2 :comparaison des fonctionscosinusetsinus

Dans le triangle ci-contre, lorsque l"anglexest"petit» :

•les trois côtés sont"petits»,•le côté vertical (sinx) et l"hypothénuse (2sinx2

sont du"même ordre de grandeur»,•alors que le côté horizontal (1-cosx) est "beaucoup plus petit».xsinx1cosx2sin x2 1

1. Motivationb) Outil de comparaison

Outil de comparaison

Un outil mathématique pour comparer les"ordres de grandeur»de deux fonctions fetgau voisinage d"un pointx0?Rest la limite du rapport defparg. Trois cas de figure se présentent :1soit la limite de fg enx0estfinie non nulle,c"est donc un réelnon nul?.

Dans ce cas, la limite de

f?genx0vaut 1;2soit la limite de fg enx0estinfinieounulle.

Lorsqu"elle estinfinie,la limite degf

enx0est alorsnulle;3soit la limite de fg enx0n"existe pas.(Cette situation ne sera pas considérée ici.) Les deux premiers cas conduisent à deux situations génériques : on va développer deux notions de comparaisons associées aux cas où la limite defg enx0vaut0 ou 1.

Formellement :

lorsquelimx0fg lorsquelim x0fg =1,onintroduirala notiond""équivalencelocale(ouasymptotique)».2

Sommaire

1Motivations

2Négligeabilité d"une fonction devant une autre

Définition et caractérisation

Propriétés

3Équivalence de fonctions

2. Négligeabilitéa) Définition et caractérisation

Définition 2.1 (Négligeabilité)

Soit x

0?R, f et g deux fonctions définies au voisinage de x0.

On dit que f estnégligeable devantgau voisinage dex0lorsqu"il existe une fonctionεdéfinie sur un voisinageVde x0telle que ?x? V\{x0},f(x) =ε(x)g(x)etlimx→x0ε(x) =0.

On note alors f=

x0o(g)ou encore f(x) = x→x0o(g(x))(notation deLandau).

Remarque :il s"agit d"une notation abusive, on devrait noter f?ox0(g).Proposition 2.2 (Formulation simple)

Soit x

0?R, f et g deux fonctions définies au voisinage de x0, gne s"annulant pas

au voisinage de x

0. Alorsf=

x0o(g)??lim x0fg =0.

En particulier : f=

x0o(1)??lim x0f=0.Exemple 2.3 (Croissances comparées)

1Siα > β, alorsxα=

x→0+o(xβ)etxβ=x→+∞o(xα).2Pour tousα >0 etβ >0 :•xα=x→+∞o(eβx)•eβx=x→-∞o?1|x|α?

•(lnx)α= x→+∞o(xβ)• |lnx|α= x→0+o?1xβ? 3

2. Négligeabilitéb) Propriétés

Proposition 2.4 (Opérations)

Soit f , g, h et k quatre fonctions définies au voisinage de x

0.1Transitivité :

f=x0o(g) g= x0o(h)? =?f= x0o(h).2Opérations :

Multiplication par un réel :?α?R,f=

x0o(g) =?αf= x0o(g).

Addition :f=

x0o(h) g= x0o(h)? =?f+g=x0o(h).

Multiplication :f=

x0o(h) g= x0o(k)? =?f×g=x0o(hk).

Puissances :f=

x0o(h) =?? ??α >0,|f|α=x0o(|h|α) ?α <0,|h|α= x0o(|f|α).4

Sommaire

1Motivations

2Négligeabilité d"une fonction devant une autre

3Équivalence de fonctions

Définition et caractérisation

Propriétés

Équivalents usuels

Cas particulier de la somme

Composition d"équivalents

3. Équivalence de fonctionsa) Définition et caractérisation

Définition 3.1 (Équivalence)

Soit x

0?R, f et g deux fonctions définies au voisinage de x0.

On dit que f estéquivalente à g au voisinage dex0lorsqu"il existe une fonction? définie sur un voisinageVde x0telle que ?x? V\{x0},f(x) =?(x)g(x)etlim x→x0?(x) =1.

On note alors f≂

x0g ou encore f(x)≂ x→x0g(x)(notation deLandau).Proposition 3.2 (Formulation simple)

Soit x

0?R, f et g deux fonctions définies au voisinage de x0.1Si gne s"annule pasau voisinage de x0, alors

f≂x0g??limx→x0f(x)g(x)=1.2On a f≂x00??f estnulleau voisinage de x0.Remarque 3.3 f≂ x0gn"implique pas nécessairement l"existence d"une limite enx0pourfetg. Mais si ces limitesexistent,alors elles sontégales.5

3. Équivalence de fonctionsb) Propriétés

Proposition 3.4 (Relation d"équivalence)

Soit f , g et h trois fonctions définies au voisinage de x

0.1Réflexivité :f≂x0f .2Symétrie :f≂x0g??g≂x0f .3Transitivité :

f≂ x0g et g≂ x0h? =?f≂ x0h.Proposition 3.5 (Limites et équivalence) Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x

0.1???R?,limx→x0f(x) =???f≂x0?.2???R?,?

lim x→x0f(x) =?etlim x→x0g(x) =?? =?f≂ x0g.3???R,? f≂ x0g etlim x→x0g(x) =?? =?lim x→x0f(x) =?.Remarque 3.6 Lorsquefadmet une limitenulleouinfinieenx0, la notion d"équivalence est non-triviale... Dans ce cas, un problème intéressant est de rechercher une fonction simplegtel quef≂x0g.6

3. Équivalence de fonctionsb) Propriétés

Proposition 3.7 (Équivalence et négligeabilité)

1f≂

x0g??(f-g) = x0o(g)(et aussi o(f)). On écrit alors g= x0f+o(f).2Si f≂ x0g et g= x0o(h)? ou si[f= x0o(g)et g≂ x0h], alors f= x0o(h).3Si f≂x0g et si g est non nulle au voisinage de x

0, alors f et g sont de même

signe au voisinage de x

0.Remarque 3.8 (Notion relative/absolue)

On fera attention de ne pas confondref≂x0gaveclimx0(f-g) =0. En effet : f≂x0g??f=x0g+o(g)alors quelimx0(f-g) =0??f=x0g+o(1).

Contre-exemple :•x2+x≂

x→+∞x2alors que(x2+x)-x2?-→ x→+∞0. •(x2-x)-→ x→00 alors quex2?≂ x→0x.Proposition 3.9 (Multiplication/division/puissances) Soit f , g, h, k des fonctions définies au voisinage de x

0etα?R.

Si f≂

x0h et g≂ x0k, alors : •f×g≂x0h×k•fg≂x0hk• |f|α≂x0|h|α7

3. Équivalence de fonctionsc) Équivalents usuels

Proposition 3.10 (Dérivabilité et comparaison)

Supposons la fonction fdérivableen x0.1Si f

?(x0)?=0?=0?=0alors :f(x)-f(x0)≂x→x0f?(x0)(x-x0).2Si f ?(x0) =0=0=0alors : f(x)-f(x0) =

x→x0o(x-x0).Ce résultat permet d"établir la plupart des équivalents usuelsà connaître :Exemple 3.11 (Équivalents usuels)

1Fonctionsexponentielle/logarithme/puissance :

•ex-1≂ x→0x•ln(1+x)≂ x→0x•(1+x)α-1≂ x→0αx2Fonctionstrigonométriques : •sinx≂ x→0x•tanx≂ x→0x•cosx-1≂ x→0-x22 •arcsinx≂x→0x•arctanx≂x→0x3Fonctionshyperboliques : 22
•chx≂ x→+∞e x2•shx≂ x→+∞e x2 8

3. Équivalence de fonctionsd) Cas particulier de la somme

En règle générale,on n"ajoute pas d"équivalents, c"est-à-dire :? f

1≂x0g

1etf2≂x0g

2? n"implique pasf1+f2≂x0g

1+g2.On a toutefois les résultats suivants :

Proposition 3.12 (Somme et équivalence)

1Si f≂x0g et h=x0o(g)alors f+h≂x0g.2Si f=x0o(g)alors f+g≂x0g.3Soit f

1, f2et g trois fonctions définies au voisinage de x0etα1,α2deux réels

tels que f

1≂x0α

1g et f2≂x0α

2g. Il y a alors deux cas à distinguer pour la somme f 1+f2: Siα1+α2?=0alors f1+f2≂x0(α1+α2)g.

Siα1+α2=0alors f1+f2=x0o(g).9

3. Équivalence de fonctionsd) Cas particulier de la somme

Exemple 3.13 (Fonctions polynômes/fractions rationnelles)

1Soitmetndeux entiers naturels tels quem6n,am,am+1,am+2,...,andes

réels tels queam?=0 etan?=0, etPla fonction polynôme définie pour tout réelx parP(x) =n? k=ma kxk. Alors :

P(x)≂

x→0amxmetP(x)≂ x→±∞anxn.

Exemple :pourP(x) =3x4-7x3+5x2-x, on aP(x)≂

x→0-xetP(x)≂ x→±∞3x4.2SoitPune fonction polynôme non nulle etαune racine dePd"ordre de multiplicitéμ. Alors :

P(x)≂

x→αP (μ)(α)μ!(x-α)μ.

Exemple :pourP(x) =3x4-7x3+5x2-x, on aP(x)≂

x→12(x-1)2.3Soitpetqdeux entiers naturels,ap,ap-1,ap-2,...,a0etbq,bq-1,bq-2,...,b0 des réels tels queap?=0 etbq?=0, etPetQles fonctions polynômes définies pour tout réelxparP(x) =p? k=0a kxketQ(x) =q? k=0b kxk. Alors :

P(x)Q(x)≂

x→∞a pb qxp-q.10

3. Équivalence de fonctionsd) Cas particulier de la somme

Exemple 3.14 (Une fonction hyperbolique)

Soitα?Retfla fonction définie pour tout réelxparf(x) =shx+αthx.1Analyse en 0 :on a shx≂

x→0xet thx≂ x→0x.

Siα?=-1, alorsf(x)≂x→0(α+1)x.

Siα=-1, alorsf(x) =x→0o(x).

Dans ce cas :

f(x) =shx-thx=thx?chx-1?.

Or thx≂

x→0xet chx-1≂ x→0x 22

On obtient alorsf(x)≂

x→0x 32
.xy =4=3=2=1=0=1=2=32Analyse en+∞:on a shx≂x→+∞e x2 et thx≂x→+∞1. Or 1= x→+∞o?ex2

On en déduit quef(x)≂

x→+∞e x2 .xy =4=3=2=1=0=1=2=311

3. Équivalence de fonctionsd) Cas particulier de la somme

Exemple 3.15 (Un calcul de limite/asymptote)

Soita,b,c?R. Analyse en+∞de la fonctionfdéfinie parf(x)=⎷x

2+ax+b-cx.1On ax2+ax+b≂x→+∞x2puis⎷x

2+ax+b≂x→+∞x.

Sic?=1, alorsf(x)≂x→+∞(1-c)x,

d"oùlim x→+∞f(x)=∞.

Sic=1, alorsf(x) =x→+∞o(x).

Dans ce cas,f(x)=⎷x

2+ax+b-x=ax+b⎷x

2+ax+b+x.

Or ⎷x

2+ax+b+x≂

x→+∞2x.

On obtient alorsf(x)≂x→∞?

?a2 sia?=0 b2xsia=0 etb?=0 (on af(x) =0 lorsquea=b=0 etc=1) d"oùlim x→+∞f(x)=a2.xy O2 a= 4 etb= 3c=0:4c=0:6c=0:8c=1c=1:2c=1:4xy O2 a= 4 etb= 9c=0:4c=0:6c=0:8c=1c=1:2c=1:412

3. Équivalence de fonctionsd) Cas particulier de la somme

Exemple 3.15 (Un calcul de limite/asymptote)

Soita,b,c?R. Analyse en+∞de la fonctionfdéfinie parf(x)=⎷x

2+ax+b-cx.2Application :considérons la fonctiongdéfinie par

g(x) =?x

2+ax+b.

En choisissantc=1 dansf,

on voit quelim x→+∞? g(x)-? x+a2 =0 doncCgadmet une asymptoteDen+∞ d"équationy=x+a2

Puisg(x)-?

x+a2 =b-a24⎷x

2+ax+b+(x+a2

x→+∞b-a24

2xsib?=a24

(on ag(x) =x+a2 lorsqueb=a24 On en déduit queCgest au-dessus (resp. au-dessous) deD au voisinage de+∞lorsqueb>a24(resp.b3. Équivalence de fonctionse) Composition d"équivalents

Proposition 3.16 (Composition "à droite»)

Soit x

0et t0dansR, f et g deux fonctions définies au voisinage de x0et?une

fonction telle que f◦?et g◦?existent au voisinage de t0.

Si f≂x0g etlimt0?=x0,alors f◦?≂t0g◦?.Remarque 3.17 (Composition "à gauche»)

Il n"y a pas de règle générale pour la composition "à gauche» : En général, sifetgsont deux fonctions définies au voisinage dex0etψune fonction telle queψ◦fetψ◦gexistent au voisinage dex0, Contre-exemple :•On ax2+x≂x→+∞x2mais ex2+x?≂ x→+∞ex2. •On a 1+x2≂x→01+xmaisln(1+x2)?≂

x→0ln(1+x).Proposition 3.18 (Cas de l"exponentielle et du logarithme(facultatif))1Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de x

0. e f≂x0eg??limx0(f-g) =0.2Soit f et g sont définies et strictement positives au voisinage de x 0.

Si f≂

x0g et silim x→x0f(x) = lim x→x0g(x) =??[0,+∞]\{1}, alors :ln(f)≂ x0ln(g).14

En résumé...

Notions à retenir

Notions de négligeabilité et d"équivalence asymptotiques ?Comparaison locale de fonctions, ordre de grandeur local ?Exemples usuels à connaître ?Détermination d"équivalents par opérations diverses ?Utilisation pour les calculs de limites ?Étude de l"allure locale d"une courbe ?Détermination de branches infinies, d"asymptotes15quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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