Les 17 Pavages Périodiques
Les mathématiciens ont montré qu'il n'existe que 17 formes de pavages du plan qui se composent d'un motif reproduit à l'identique et répété une infinité de
Les dix-sept pavages du plan
UVSQ 2016/2017. Licence de sciences et technologie santé. LSMA411 (théorie des groupes pour la chimie). Les dix-sept pavages du plan.
17 pavages à lAlhambra ?
Sujet. Le palais de l'Alhambra vieux de plus de 1000 ans
PAVAGES DU PLAN par Yves Benoist
En particulier nous construirons
Les pavages du plan avec des polygones réguliers
Les 17 types de sommets potentiels pour les pavages bord à bord Un pavage du plan euclidien est une famille d'ensembles appelés pavés
Mathématiques arabes
Les pavages. ? Qu'est ce qu'un pavage ? Mathématiquement c'est un recouvrement complet du plan sans trou ni superposition. Le motif de base s'appelle une
AB ; 1
Un pavage du plan est une façon de remplir le plan à l'aide d'un motif répétitif pavage. 3. Les 17 types. Il existe cinq façons de paver le plan sans ...
PAVAGES En 1951 le mathématicien Hermann Weyl (1885-1955
PAVAGES. EXPOSÉ DE PIERRE DE LA HARPE. Chapitres. 1. Quelques pavages du plan des tr`es classiques aux inconnus. 2. Les puzzles `a solutions multiples
Frises et Pavages
On démontre qu'il n'existe que 17 pavages du plan obtenus à partir d'un pavé et de son « retourné » dans une symétrie « miroir » ou axiale.
maths pages 10 à 40 (Page 25)
Elle a permis de montrer qu'il n'existe que 17 groupes de pavages plans distincts. Chacun d'eux figure déjà parmi les décors de l'Alhambra de Grenade
Les 17 Pavages Périodiques - Université Grenoble Alpes
Les 17 Pavages Périodiques Les mathématiciens ont montré qu'il n'existe que 17 formes de pavages du plan qui se composent d'un motif reproduit à l'identique et répété une infinité de fois Pour classer ces pavages le mathématicien s'intéresse aux transformations qui permettent de passer d'un motif à ses voisins : symétries
Chapitre 3 Pavages du plan
On parle des 17 types de pavages périodiques du plan possibles III Pavages du plan : 1) Définition : Définition : Un pavage du plan est une famille d’ensembles appelés pavés qui couvrent le plan sans trou ni chevauchement On parle aussi de tuiles Le nombre de types de pavés dépend du pavage 2) Pavages à pavés isométriques :
PAVAGES DU PLAN par Yves Benoist - École Polytechnique
PAVAGES DU PLAN 7 ? ALecerf-volantetla?`eche BLeprocessusdeconstruction ? ? Figure2 CLepavagedePenrose Indication a)Remarquerquedansla?gure2 Capr`esquatreit´erationsduprocessusde constructiononretrouveapr`eshomoth´etieunpavagecontenantlepavage initial b)V´eri?erquelestuiless’assemblentcommedansla?gure2 Bcequipermet
Quels sont les pavages d’un plan?
On démontre qu’il n’existe que 17 pavages du plan obtenus à partir d’un pavé et de son retourné« » dans une symétrie « miroir » ou axiale. Les pavages sont repérés par un numéro de type, ou un nom (de STURNON) ou un sigle, donné par
Quels sont les différents types de pavage ?
Les possibilités de pavage du plan (carrelages), c'est à dire du recouvrement (sans trous !) du plan par juxtapositions d'un même motif élémentaire, sont limitées à 17 catégories.
Qu'est-ce que le pavage d'un plan ?
Un pavage du plan est un recouvrement de ce plan obtenu à la manière du carreleur : on prend « de s p avés » ou « tuiles » que l’on dispose de façon à ce qu’ils s’emboîtent exactement les uns dans les autres . On décide de n’utiliser qu’un petit nombre de modèles.
Comment reconnaître les pavages ?
Ci-dessous : un algorithme de reconnaissance des pavages et une étude rapide de mosaïques. -rotation du motif de 60°, 90°, 120° et 180° (symétrie centrale). Si l'on retourne les carreaux, on trouve douze façons supplémentaires de paver le plan. Cela donne dix-sept pavages dits "périodiques" du plan.
L'utilisation de pavages périodiques à des
fins décoratives est une tradition aussi ancienne que la géométrie elle-même.Le même pavé rectangulaire permet
de couvrir le plan de plusieurs façons, sans recouvrement ni lacune.Les pavages ci-dessus sont périodiques
et présentent des symétries différentes ...On peut aussi changer la forme du pavé pour
obtenir d'autres types de symétries.Combien ?
Comment paver ?
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ddiiqquueess qquuii ssoonntt eennccoorree ll""oobbjjeett ddee rreecchheerrcchheess.. Exposition de Centre•Sciences : Mathématiques dans la vie quotidiennePour aller plus loin :
M. Duneau et C. Janot,
La magie des matériaux, Odile Jacob, 1996.
H. Weyl, Symétrie et mathématique moderne,
Flammarion (coll. Champs), 1996 (réimp. de l'édition française de 1964).Article " Cristaux " dans
Encyclopaedia Universalis.
B. Grünbaum et G. C. Shephard, Tilings and patterns, W. H. Freeman and Company, 1987. Texte de Maurice Mashaal, Journaliste scientifique Sur une idée de Jean Brette (Palais de la découverte - Paris)Graphisme : Samuel Roux - Orléans
Exposition de Centre•Sciences : Mathématiques dans la vie quotidienne l'on effectue sur le pavage une translation de vecteur ma+ nb, avec met nentiers, on retom- be sur exactement le même pavage (voir illustra- tion 1). Or il est facile de vérifier que l'ensemble des translations de vecteur ma+ nb, avec met n entiers, constitue un groupe. Ce groupe de translations fait partie des symétries du pavage, à savoir les transformations géométriques du plan qui laissent parfaitement inchangé l'ensemble de la figure (l'ensemble de ces symétries est un groupe).Aux translations s'ajoutent les éven-
tuelles symétries du motif de base lui-même. Par exemple, dans un carrelage constitué de carrés simples (sans dessin), chaque carré est invariant par rapport à une rotation d'angle multiple de 90° autour de son centre (toutes ces rotations for- ment un groupe).Pour déterminer tous les pavages pério-
diques possibles, il faut vérifier que les symétries propres du motif de base soient compatibles avec la symétrie de translation associée à la périodici- té. C'est ainsi que l'on a démontré que l'on peut paver périodiquement le plan uniquement avec des carrés des triangles, des parallélogrammes, des hexagones, mais pas avec des pentagones réguliers. Plus généralement, ces analyses ont permis de classer les pavages périodiques, en fonction de leur groupe de symétrie. Dans le cas du plan, on a ainsi démontré qu'il existe exacte- ment 17 groupes de symétrie possibles, soit essentiellement 17 façons de paver périodique- ment le plan (même si l'on peut varier à l'infini le dessin porté par chaque motif de base). Chose remarquable, ces 17 possibilités seraient toutesprésentes dans les ornements du palais de l'Alhambra, à Grenade.LLaa ssttrruuccttuurree ddee ggrroouuppee
Un groupe G est un ensemble d'éléments muni d'une opération * (dont le résultat appartient aussi à G), avec les propriétés suivantes :1) Associativité :
quels que soient les éléments x , y , z de G, on a (x * y) * z = x * (y * z)2) Existence d'un élément neutre : il existe dans G un élé-
ment etel que, pour tout xde G, on ait x * e = e * x = x.3) Existence des éléments inverses : pour tout xdans G, il
existe un élément x'tel que x * x' = x' * x = e.L'ensemble des entiers (positifs et négatifs),
avec l'addition usuelle, constitue un groupe (élément neutre : l'entier 0).Un autre exemple est l'ensemble des translations
dans le plan, l'opération *étant ici la composition des applications (élément neutre de ce groupe : la translation de vecteur nul).Un groupe n'est pas forcément commutatif
(c'est-à-dire x *yn'est pas toujours égal à y*x) ; ainsi, dans le groupe constitué par les rotations autour d'un point dans l'espace, le résultat de l'application de deux rotations d'axes différents dépend de l'ordre dans lequel ces deux rotations sont effectuées.Vous voulez tester le professionnalisme
de votre carreleur ? Demandez-lui de remplacer le carrelage de votre salle de bain, composé de banals rectangles verts tous identiques, par des carreaux bleus ayant la forme d'un pentagone régulier (cinq côtés égaux, cinq angles égaux). Si le carreleur vous dit " oui " sans sourciller, vous avez du souci à vous faire ! En effet, il est impos- sible de paver le plan avec de tels carreaux sans laisser des trous. Pour s'en convaincre, il suffit d'essayer d'accoler plus de trois pentagones autour d'un même point.Maintenant, voulez-vous vous fâcher défi-
nitivement avec le carreleur ? Dites-lui que vous avez lu quelque part qu'on peut réaliser un pava- ge ayant globalement l'allure d'un assemblage de pentagones, à condition d'utiliser deux types dequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] comment faire un pont solide en baton de popsicle
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