[PDF] Problèmes de courant continu Pour mesurer une température

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Problèmes de courant continu

I. Capteur résistif de température.

Variation de la résistance d'une thermistance en fonction de la température.

La résistance d'une thermistance, formée d'un matériau semi-conducteur, varie avec la température absolue T

suivant la loi R 0 0 exp BB RR TT où B, R 0 = 12000 et T 0 = 298 K sont des constantes.

1) Que représente la constante R

0

2) Exprimer le coefficient de température

1dR RdT = en fonction de B et T.

3) Calculer B sachant que (T = 298 K) = - 4,135.10

-2 K -1 . 4) Calculer R aux températures 0 °C et 100 °C.

5) Le coefficient de dilatation linéaire du semi-conducteur est

5 1 10K d dT 1 . Comparer les variations de

résistance avec la température dues à la variation de la résistivité d'une part et aux variations de dimensions d'autre

part. Conclure.

Pour mesurer une température, on utilise un capteur résistif. On mesure un signal électrique, en général une

tension, qui traduit les variations de la résistance avec la température. Un mont age, alimenté par une source de tension

comprend la résistance à mesurer et d'autres résistances constantes. Le circuit de mesure ainsi constitué est appelé

conditionneur du thermomètre. v 1 R d R R 1 - r e r

Montage potentiométrique.

Celui-ci est représenté sur la figure ci-contre. Le générateur a pour fem e et pour résistance interne r ; le voltmètre de résistance interne R d mesure la tension aux bornes de la résistance thermométrique R qui dépend de T . 1 v

6) Exprimer en fonction de R

1 v 1 , R, R d , et e.

7) Comment doit-on choisir R

d pour que la tension ne dépende pas trop du voltmètre utilisé ? Quelle est alors l'expression de ? On suppose cette condition désormais réalisée. 1 v 1 v source voltmètre

8) À T = T

0 , la résistance thermométrique R a pour valeur R 0 et la tension de mesure la valeur . Ces conditions définissent un point moyen de fonctionnement. Lorsque

R varie de R, varie de . Exprimer en fonction

de R, Ro, R 1 v 1 v 1 v 1 v 1 et e, en se limitant au cas où . 0 RR

9) On définit la sensibilité du conditionneur par

1 v S R . Pour quelle valeur de R 1 , cette sensibilité est-elle maximale au voisinage de T = T 0 ? Calculer cette sensibilité maximale. Application numérique. Sachant que e = 10,0 V, R 0 = 109,8 , r = 20 , que le voltmètre peut déceler une variation 1 v de 0,01 volt, calculer la valeur de R 1 - r qui donne la sensibilité maximale et la valeur R que l'on peut alors tout juste déceler.

10) Alors que le conditionneur a sa sensibilité maximale, la fem e du générateur fluctue entre e - e et e + e.

Calculer la variation de correspondant à une variation e de e. Comparer l'influence de R et de e. Quel est le

niveau tolérable de fluctuations de la fem de la source dans ce dispositif ? 1 v e

Pont de Wheatstone.

Le voltmètre V, de résistance interne R

d très supérieure aux autres résistances, mesure la d.d.p. v 2 = v B - v A . La résistance interne de la source est négligeable (figure 2). C B A R 4 R 3 R 2 R(T) V

11) Exprimer v

2 en fonction de e et des résistances

12) L'équilibre du pont (v

2 = 0) est réalisé pour R = R 0 , T = T 0 . Quelle relation lie alors R 2 , R 3 , R 4 , et Ro ? 13) C alculer v 2 en fonction de R, R 2 , R 0 et e.

14) On suppose R = R - R

0 << R 0 . Pour quelle valeur de R 2 la sensibilité est-elle maximale ? Calculer celle-ci. 2 /SvR= D

15) Comparer la sensibilité du pont de Wheatstone et du montage

potentiométrique dans les deux cas : - le voltmètre n'est utilisé que sur le calibre immédiatement supérieur à e ; - on peut aussi utiliser des calibres plus petits.

DS : problèmes de courant continu, page 1

Figure 2

16) La sensibilité maximale étant obtenue, on tient maintenant compte des fluctuations e de e (e << e). Comparer

l'influence respective de R et de e sur v 2 . Conclure. II 34
. Pont de Wheatstone.

0. Préliminaire : montrer que

2 ydxxdy x d xyxy

1. Une jauge de contrainte J

1 est constituée par un fil cylindrique de longueur l, de section s et de résistivité . Elle est collée longitudinalement sur une poutre isolante fixée par son extrémité inférieure (fig. 1). Lorsque la poutre est rectiligne, la résistance du fil est . Sous l'action d'une force 1

RF horizontale, l'extrémité libre

B de la poutre fléchit et la poutre se courbe. La température étant constante, le fil subit un très faible allongement relatif l l . Il en résulte une très faible variation de résistance l l K R R 1 1 . Au cours de la déformation, les variations relatives de la section s et de la résistivité sont respectivement l l s s 2 et V V c et étant deux constantes dépendant de la nature du conducteur et V son volume. Exprimer le coefficient c

K en fonction de c et .

Figure 1

Application numérique : , 13,1c3,0 ; calculer K. En déduire la variation de résistance pour une

force 1 R

F exercée de , sachant que N10FK

l l 1 (avec ) et que 15 1 N10

Kȍ350

1

R lorsque le fil est au

repos.

2. Le fil cylindrique précédent constitue l'une des branches d'un pont de Wheatstone (fig. 2). Les résistances

sont tout d'abord considérées comme constantes. Seule varie en fonction de la force appliquée.

Entre les bornes de sortie A et C du pont est placé un appareil de mesure (M) de résistance interne infinie. Ce

pont est alimenté par un générateur de f.e.m. 432
,,RRR 1 R

E constante et de

résistance interne négligeable.

Figure 2

2.a. Exprimer la différence de potentiel

CAAC

VVU en

fonction de . 4321
,,,,RRRRE

2.b. On suppose qu'initialement RRRRR

4321
variant d'une quantité très petite devant , exprimer la variation correspondante . Calculer numériquement 1 R 1 R 1 R AC U AC U si , et V2Eȍ1,0 1

Rȍ350R.

3. Afin d'améliorer la sensibilité du dispositif, c'est-à-dire

d'obtenir une différence de potentiel entre A et C plus im en fonction de la force appliquée, on dispose de 4 jauges identiques J portante ,RR.

3.a. Initialeme. En supposant que la

placé entre A et C est 1 , J 2 , J 3 , J 4 de résistances respectives 21
,,RR nt 43
RRRRR 4321
résistance de (M) infinie, exprimer la d.d.p. AC

U en fonction de

4321
,,,,RRRRE et R.

3.b. Précomment il faut cola potreciser ller les 4 jauges sur u pour que le dispositif soit le plus sensible.

ȍ1,0

4321
RRRR3.c. Calculer numériquement dans l'hypothèse précédente AC U si V2E, et

4. On utilirésistances qu'on croit égales , mais en réalité elles sont

on intervertit les jauges J et J 2 en e

ȍ350R.

se des 1234

1000RRRRR=====

légèrement différentes. Le pont étant équilibré, 1 pour rétablir l'équilibre du pont, il faut mettre en série avec 3 R une résistance additionnelle 6r=. Montrer que 12

RR. Exprimer

fonction de r et calculer RRt RR. 12 34
III 17 Une locomotive électrique est alimentée en courant continu. L'alimentation est réalisée par des sous-stations S i distantes de L. Ces sous-stations relient les rails FG, portés au potentiel nul, à la caténaire AB, c'est-à-dire à un fil électrique situé au dessus de la locomotive sur lequel vient frotter son pantographe. Chaque source S i sera représentée par une source de tension de force électromotrice E, la borne positive étant du côté de la caténaire. La motrice M est branchée entre les rails et le contact C entre le pantographe et la caténaire. On supposera que son moteur doit être alimenté par un courant constant I. La motrice peut donc être schématisée par une source de courant de courant électromoteur I = 800 A. De plus la caténaire présente une résistance linéique (rapport de la résistance à la longueur) de valeur r = 5.10 -5 .m -1 , alors que la résistance des rails est négligeable.

1) On considère une section de ligne de longueur L alimentée par deux

sous-stations. On note x = AC la longueur de caténaire séparant la motrice de la sous-station S 1 et U la tension aux bornes de la motrice. Exprimer la chute de tension U = E - U en fonction de E, r, x, L et I. Déterminer la limitation sur la distance L entre les deux sous-stations pour que U ne dépasse pas U M = 45 V.

2) Une section de longueur L est maintenant alimentée par une seule

station S située à son extrémité. La caténaire est constituée de deux fils identiques AB et A'B' de longueurs L et de résistances linéiques r, reliés à leurs extrémités. Le pantographe n'est en contact qu'avec un des deux fils.. Exprimer de nouveau U = E - U en fonction des données et calculer la valeur maximale de la distance L pour limiter la chute de tension à U M 45 V.

3) On revient à un système de deux stations S

1 et S 2 , mais avec une caténaire à deux fils connectés par leurs extrémités et leur milieu. Le pantographe n'est en contact qu'avec un des deux fils.

Exprimer U = E - U en fonction des données et calculer, comme précédemment, la valeur maximale de L.

4) Conclusion : quel est le montage le plus avantageux ?

5) Comment traiter la configuration de la première question si la résistance des rails n'est pas négligeable ?

Réponses

I ; 1) valeur de R à ; 2) ; 3) ; 4) ; ;

0 T 2 /BT=3672KB=

0C37089R°=

100C1007R°=

5) la variation de la résistance est due essentiellement à la variation de la résistivité ;

6) 1 1 11/1/ d e v RRR ; 7) ; d RR 1 1 eR v RR ; 8) 11 2 1 veR S R RR ; 9) ; 10 RR= 0 4 M e S R 1

89,8Rr=

1 0,44 M v R S == ; 10) à sensibilité est maximale, , donc ; doit être inférieur à 0,02 V ; 11) 1 /2ve= 1 /2ve=e()() 2 243
11 1/1/ BvAe RRTRR vv ; 12) 2 03 RR RR 4 ; 13) 2 22
11 1/1/ 0 RRRR ve ; 14) ; 20 RR= 0 4 M e

S ; 16)

R 2 0 4 Re v R

II. 1) ; 2.a)

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