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Lorsque l'on multiplie plusieurs nombres relatifs non nuls entre eux 2) Calcul du quotient d'un nombre relatif par un nombre relatif non nul.
Cours fractions
nombre non nul. Soit a un nombre relatif b un nombre relatif non nul Soit a b
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PGCD ET NOMBRES PREMIERS
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Divisibilité et nombres premiers
Tout naturel non nul a un nombre fini de diviseurs. Démonstrations : Soit n un naturel non nul. L'entier d divise n s'il existe un entier k
CALCUL NUMERIQUE EXERCICES 3A
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Divisibilité et nombres premiers
Table des matières
I Divisibilité dansZ:3
II Division euclidienne des entiers dansN:5
III CongruencesdansZ:6
IV Critères de divisiblilité8
1 Activité d"initiation(nombres croisés)( livre spécialité (Didier)Remplir la grille de nombres croisés ci-dessous sachant quetous les nombres y figurant sont des entiers
naturels non nuls. 1 2 3 4 5A B CD EHorizontalement
1. Carré parfait dont le produit des chiffres est 756.
2. Lenombreformédesesdeuxpremierschiffresestlemêmequeceluiformédesesdeuxdernierschiffres.
3. Multiplede 139.
Reste de la division euclidienne de 2001 par 9.
4. Permutationde 23444.
5. Carré parfait.
Le produit de ses chiffres est 392.
Verticalement
A La somme de ses chiffres est 35.
B Entier divisible par 11.
C Nombre palindrome (qui se lit aussi bien à l"endroit qu"à l"envers).D Nombre premier. Cube parfait.
E Entier naturel admettant un seul diviseur positif. Le produit de ses chiffres est 72 et seul son dernier chiffe
est pair.Page 2/
10I DivisibilitédansZ:
Rappel:
OnnoteN={0; 1; 2; 3;···}l"ensembledesentiersnaturelsetZ={···;-3;-3;-1; 0; 1; 2; 3;···}
l"ensemble des entiers relatifs.Définition
Soientaetbdeux entiers (a?=0). On dit queadivisebsi, et seulement s"il existe un entierktel que b=ka. On dit aussi queaest un diviseur deb. On dit encore quebest un multipledea.Exemples:
7 divise 56 car 56=7×8 avec 8 entier
7 est un diviseur de 56 et 56 est un multiplede 7. On peut écrire7|56
Remarques:
0 est multiplede tout entier.
Tout entier non nulna (au moins) pour diviseurs 1,n,-1 et-n. 1 a seulement deux diviseurs dansZ, -1 et lui-même (donc 1 a pour seul diviseur 1 dansN).Remarque :
Commeaet-aont les mêmes diviseurs dansZ, on se restreint à l"étude de la divisibilitédansN.
Propriétés
2. Tout naturel non nul a un nombre fini de diviseurs.
Démonstrations:
Soitnun naturel non nul. L"entierddivisens"il existe un entierktel quen=kd. Sid>0, alorsk>0 (carn est positif) et ainsik≥1.Par conséquent :kd?d?n≥d.
L"entierna au plusndiviseurs dansN.
Le nombre maximum de diviseurs dansZest donc 2n.
nadmet un nombre fini de diviseurs.Remarque :0 a une infinité de diviseurs.
Exemple :Les diviseurs de 24 dansNsont :D(24)=1;2;3;4;6;12;24 Les diviseurs de 24 dansZsont :-24;-12;6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12;24Définition :
Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si, et seulement, leurs seuls diviseurs communs sont -1 et
1.Exemple :
15et14sontpremiersentreeux:D(15)={-15;-5;-3;-1; 1; 3; 5; 15}etD(14)={-14;-7;-2;-1; 1; 2; 7; 14}.
Page 3/
10Propriétés
1. 1 diviseapour tout entier relatifa.
2.adiviseapour tout entier relatifa.
3. Siadivisebnet sibdivisec, alors,adivisec: on dit que la relation de divisibilitéest
transitive. Énoncé équivalent : Sibest un multipledeaet sicest un multipledeb, alorscest un multiplede a.4. Siadivisebet simest un entier, alorsadivisemb.
5. Siadivisebet siadivisec, alorsadiviseb+cet plus généralement,adivisemb+ncoùmetn
sont des entiers quelconques. (mb+ncest une combinaison linéaire debetc).Démonstrations:
1.a=a×1, donc 1 divisea.
2.a=a×1, doncadivisea.
3. Siadiviseb, alors il existekentier tel queb=ka.
Sibdivisec, alors il existek?entier tel quec=k?b.
Alorsc=k?b=k?(ka)=(k?k)a.k?kest un entier, doncadivisec.4. démonstrationanalogue.
Exercices d"application :
Exemple 1 :Déterminer les entiersntels que 7 divisen+3. Solution: 7 divisen+3 si, et seulement si, il existe un entierktel quen+3=7k, soitn=7k+3.L"ensemble des solutionsest :S={7k-3,k?Z}
Exemple 2 :Déterminer les entiersntels que 2n-5 divise 6. Solution: Les diviseurs de 6 sont -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 et 6. On résout les différentes équations et on trouve comme solutions:S={1 ; 2 ; 3 ; 4}. Exemple 3 :Trouver les entiersnpour lesquelsn+15n+2est entier. Solution:n+15=n+2+13 doncn+15n+2=(n+2)+13n+2=1+13n+2.C"est un nombre entier si, et seulement si,
13 n+2est un entier, c"est-à-dire si, et seulement sin+2 est un divi- seur de 13.Les diviseurs de 13 sont -13, -1, 1 et 13.
On résout les quare équations :S={-15 ;-3 ;-1 ; 11} Exemple 4 :Déterminer les entiersntels que 2n-3 divise n+5. Méthode :Pour résoudre un problème du typef(n)|g(n), on se ramène àh(n)|A. Soitnunentiertel que2n-3 divisen+5.Alors(2n-3)divise2n+10.Comme2n-3 divise2n-3,2n-3divise(2n+10)-(2n-3),c"est-à dire 13. Les diviseurs de 13 sont -13, -1, 1 et 13. On en déduit quenvaut -5, 1, 2 ou
8.Page 4/
10Réciproquement, ces nombres sont solutions.
Les solutionssont -5, 1, 2 ou 8.
Exemple 5 :(Équations diophantiennes: (Diophante : mathématicien,IIIesiècle après J.C.))Déterminer les entiersxetytels quex2-y2=9.
Méthode :On essaye de se ramener à une équation du typeA×B=C, où on connaît les diviseurs deC.
Solution:
Remarque : si (x;y) est solutions, alors (x;-y), (-x;y) et (-x;-y) sont aussi solutions. On peut alors se
restreindre àxetynaturels. x2-y2=(x-y)(x+y).
Ainsi,x-yetx+ysont des diviseurs de 9.
L"ensemble des diviseurs de 9 sont -9, -3, -1, 1, 3, 9.Premier cas :x-y=1. Alorsx+y=9, d"oùx=5 ety=4.
Deuxième cas :x-y=3. Alorsx=y=3 d"oùx=3 ety=0. Finalement, il y a six couples solutions: (5;4), (5;-4), (-5;4), (-5;-4), (3;0) et (-3;0).II Division euclidiennedes entiersdansN:
On étudie de façon approfondie la division des nombres entiers vue dans les petites classes.Théorème de la divisioneuclidienne dansN:
Soitaun entier et soitbun entier naturel non nul. Il existe ununiqueentierqet un unique entierrtels quea=bq=r, avec 0?rOn admet d"abord la propriétésuivante : toute partie non vide deNadmet un plus petit élément.
Il y a deux paties à démontrer dans ce théorème :l"existencedu couple (q;r), puis sonunicité.
1.Existence deqetr:
Premier cas : Si 0?a2ba?Mcar 2b?1 doncMest non vide.
Madmet donc un plus petit élément que l"on noteq+1.Par définitiondeq, on a doncqb?a<(q+1)b.
Commeb?a,b?a On en déduit queq>0 et queqest un entier naturel. Posons alorsr=a-bq.rest un entier puisquea,betqle sont. qb?a?r?0 doncrest un entier naturel. Commea<(q+1)b, on a 0?r Page 5/
10 Conclusion :dans tous les cas, il existe un couple (q;r) vérifianta=bq+r. 2. Unicité deqetr:
Supposons qu"il existe deux couples (q;r) et (q?;r?) tels quea=bq+reta=bq?+r?, avec 00 a=bq+r=bq?+r?doncb(q-q?)=r-r?avecq-q?entier :r-r?est alors un multipledeb. 0?r Or, 0?r? Orr?-rest un multipledeb, strictment compris entre-betb: le seul possible est 0. Par conséquent :r?-r=0 doncr=r?.
En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtientbq+r=bq?+r, doncbq=bq?, d"oùq=q?car b?=0. Le couple (q;r) est donc unique.
Définition
On dit qu"on a effectué la division euclidiennedeaparb;qest le quotient etrle reste. Exemples:
123=37×3+12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 3
Propriétés
1.bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.
2. On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :a=bq+r, avec
Exercice :Montrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+1 ou 5p-1 (raisonner
par disjonction des cas) Exercicespage 23
III Congruences dansZ:
Définition
Soitnun entier naturel non nul. on dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn. On dit aussi queaest congrubmodulon.
Notation:a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n]. Exemples:25≡14[11]; 25≡3[11].
Page 6/
10 Théorème :
Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division eucli- dienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn. Démonstration:
Supposons queaetbaient même reste dans la division parn. il existeqetq?tels que :a=nq+ret Alors :a-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Réciproque :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alorsa-b=knaveckentier. Corollaire :
aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn. Propriétés
1.aest divisible parn?a≡0[n].
2.n≡0[n]
3.a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)
4. Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (on dit que la relationde congruence est transitive).
5. Sia≡b[b], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)
6. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+a?≡b+b?[n].
7. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsaa?≡bb?[n].
8. Sia≡b[n] et si p appartientN, alorsap≡bp[n].
Démonstration:
1. évident d"après le corollaire précédent.
2.na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0[n].
3.n|(a-a) donca≡a[n]
4. Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcont même reste
ans la division euclidienne parn. 5. Sia≡b[n], alorsn|(a-b); on déduit quen|(b-a) (dansZ) et doncb≡a[n]
6.a-b=qneta?-b?=q?n. Alorsa+a?-(b+b?)=(q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible parn, d"où
le résultat. 7. On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?n; on peut écrireab-a?b?=ab-ab?+ab?-
a Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n] 8. se montre par récurrence.
Exercice :Déterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+4≡2[8] x+4≡2[8]?x≡-2[8]?x≡6[8] car -2 est congru 6 modulo 8. Page 7/
10 Exercice :Déterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3[7] On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 8 valeurs des restes possibles
modulo 7. x0123456 5x0531642
On en déduit que les solutionssont les nombresxcongrus à 2 modulo 7. S={2+7k,k?Z}
Exercice :Déterminer le reste de la division par 7 de 2n. En déduire le reste de la division euclidienne de 2 134589par 3.
Solution:
On a : 2
0=1[7]; 21=2[7]; 22=4[7]; 23=8≡1[7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo 3.
Sin≡0[3], alorsn=3pd"où 2n=23p=(23)p≡1p[7]≡1[7]. Sin≡1[7], alorsn=3p+1 d"où 2n=23p+1=23p×2≡2[7] Sin≡2[7], alorsn=3p+2 d"où 2n=23p+2=23p×4≡4[7] on a : 13459≡1[3]; par conséquent : 213458≡2[7] IV Critères de divisiblilité
Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement» si un nombre est
divisible parn. Un certain nombre de critères de divisibilitéont été vus dans les petites classes, souvent sans justification.
Donnons-les et justifions-les!
Divisibilitépar2 :
Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 2.
Démonstration
Sin<10, c"est évident.
Soitn?10. il existe un couple unique (q;r) tel quen=10q+ravec 0?r<10. Si 2 divisen, comme 2 divise 10, 2 divisen-10q=rdoncddiviser. Réciproquement:si 2 diviser, comme 2 divise 10, 2 divisen Divisibilitépar5 :
Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 5.
Même type de démonstration.
Page 8/
10 Divisibilitépar4 :
Un nombreAest divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par lechiffre des dizaines et celui
des unités est lui-même divisible par 4. Démonstration:oneffectueladivisioneuclidiennedeApar 100:A=100q+retonprocèdecommepour la divisibilité par 2 ou 5. Divisibilitépar3 :
Un nombreAest divisible par 3 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 3. Démonstration:SupposonsA?10 (sinon, c"est évident!). A= anan-1···ak···a1a0en écriture décimale; par conséquent : i=0a i×10i. Raisonnons modulo 3 : on a : 10≡1 [3].
Pour toutn, 10n≡1n[3]≡1 [3].
Alors :A≡an+an-1+···+a0=n?
i=0a i[3] d"où le résultat. Divisibilitépar9 :
Un nombreAest divisible par 9 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 9. Même démonstration,car 10≡1 [9]
Divisibilitépar11 :
Un nombreAest divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est elle-même divisible par 11.
SiA= anan-1···ak···a1a0en notationdécimale, la somme alternée des chiffres est a Démonstration:
Pour toutk?N, 10≡-1 [11].
On en déduit :A≡a0×(-1)0+a1×(-1)1+ak×···+(-1)k+an×···+(-1)n[11]≡a0-a1···
Nous avons vu les principaux critères (les plus faciles). Rien n"empêche d"en trouver d"autres.
Exemple :divisibilitépar 7.
Regardons les restes successifs dans la division euclidienne par 7 des puissances successives de 10. 10k110102103104105106107108
Reste de la division de 10kpar 7132645132
On remarque un cycle (à justifier), donc il est facile de déterminer tous les restes de 10nmodulo 7.
Dans l"écrituredécimaleaveclespuissancesde 10,onremplacechaquepuissancede10 parsonrestemodulo 7. Exemple :689243157=6×108+8×107+9×106+2×105+4×104+3×103+1×102+5×10+7≡(6×2)+(9×
3)+(8×1)+(2×5)+(4×4)+(3×6)+(1×2)+(5×3)+7 [7]≡115 [7]≡3 [7].
Ce nombre n"est donc pas divisible par 7.
Page 9/
10 Autre critère de divisibilité par 7 :Soitnun nombre d"au moins trois chiffres et dont l"écriture décimale
estquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Commea<(q+1)b, on a 0?r Page 5/
10 Conclusion :dans tous les cas, il existe un couple (q;r) vérifianta=bq+r. 2. Unicité deqetr:
Supposons qu"il existe deux couples (q;r) et (q?;r?) tels quea=bq+reta=bq?+r?, avec 00 a=bq+r=bq?+r?doncb(q-q?)=r-r?avecq-q?entier :r-r?est alors un multipledeb. 0?r Or, 0?r? Orr?-rest un multipledeb, strictment compris entre-betb: le seul possible est 0. Par conséquent :r?-r=0 doncr=r?.
En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtientbq+r=bq?+r, doncbq=bq?, d"oùq=q?car b?=0. Le couple (q;r) est donc unique.
Définition
On dit qu"on a effectué la division euclidiennedeaparb;qest le quotient etrle reste. Exemples:
123=37×3+12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 3
Propriétés
1.bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.
2. On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :a=bq+r, avec
Exercice :Montrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+1 ou 5p-1 (raisonner
par disjonction des cas) Exercicespage 23
III Congruences dansZ:
Définition
Soitnun entier naturel non nul. on dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn. On dit aussi queaest congrubmodulon.
Notation:a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n]. Exemples:25≡14[11]; 25≡3[11].
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10 Théorème :
Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division eucli- dienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn. Démonstration:
Supposons queaetbaient même reste dans la division parn. il existeqetq?tels que :a=nq+ret Alors :a-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Réciproque :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alorsa-b=knaveckentier. Corollaire :
aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn. Propriétés
1.aest divisible parn?a≡0[n].
2.n≡0[n]
3.a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)
4. Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (on dit que la relationde congruence est transitive).
5. Sia≡b[b], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)
6. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+a?≡b+b?[n].
7. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsaa?≡bb?[n].
8. Sia≡b[n] et si p appartientN, alorsap≡bp[n].
Démonstration:
1. évident d"après le corollaire précédent.
2.na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0[n].
3.n|(a-a) donca≡a[n]
4. Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcont même reste
ans la division euclidienne parn. 5. Sia≡b[n], alorsn|(a-b); on déduit quen|(b-a) (dansZ) et doncb≡a[n]
6.a-b=qneta?-b?=q?n. Alorsa+a?-(b+b?)=(q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible parn, d"où
le résultat. 7. On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?n; on peut écrireab-a?b?=ab-ab?+ab?-
a Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n] 8. se montre par récurrence.
Exercice :Déterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+4≡2[8] x+4≡2[8]?x≡-2[8]?x≡6[8] car -2 est congru 6 modulo 8. Page 7/
10 Exercice :Déterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3[7] On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 8 valeurs des restes possibles
modulo 7. x0123456 5x0531642
On en déduit que les solutionssont les nombresxcongrus à 2 modulo 7. S={2+7k,k?Z}
Exercice :Déterminer le reste de la division par 7 de 2n. En déduire le reste de la division euclidienne de 2 134589par 3.
Solution:
On a : 2
0=1[7]; 21=2[7]; 22=4[7]; 23=8≡1[7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo 3.
Sin≡0[3], alorsn=3pd"où 2n=23p=(23)p≡1p[7]≡1[7]. Sin≡1[7], alorsn=3p+1 d"où 2n=23p+1=23p×2≡2[7] Sin≡2[7], alorsn=3p+2 d"où 2n=23p+2=23p×4≡4[7] on a : 13459≡1[3]; par conséquent : 213458≡2[7] IV Critères de divisiblilité
Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement» si un nombre est
divisible parn. Un certain nombre de critères de divisibilitéont été vus dans les petites classes, souvent sans justification.
Donnons-les et justifions-les!
Divisibilitépar2 :
Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 2.
Démonstration
Sin<10, c"est évident.
Soitn?10. il existe un couple unique (q;r) tel quen=10q+ravec 0?r<10. Si 2 divisen, comme 2 divise 10, 2 divisen-10q=rdoncddiviser. Réciproquement:si 2 diviser, comme 2 divise 10, 2 divisen Divisibilitépar5 :
Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 5.
Même type de démonstration.
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10 Divisibilitépar4 :
Un nombreAest divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par lechiffre des dizaines et celui
des unités est lui-même divisible par 4. Démonstration:oneffectueladivisioneuclidiennedeApar 100:A=100q+retonprocèdecommepour la divisibilité par 2 ou 5. Divisibilitépar3 :
Un nombreAest divisible par 3 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 3. Démonstration:SupposonsA?10 (sinon, c"est évident!). A= anan-1···ak···a1a0en écriture décimale; par conséquent : i=0a i×10i. Raisonnons modulo 3 : on a : 10≡1 [3].
Pour toutn, 10n≡1n[3]≡1 [3].
Alors :A≡an+an-1+···+a0=n?
i=0a i[3] d"où le résultat. Divisibilitépar9 :
Un nombreAest divisible par 9 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 9. Même démonstration,car 10≡1 [9]
Divisibilitépar11 :
Un nombreAest divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est elle-même divisible par 11.
SiA= anan-1···ak···a1a0en notationdécimale, la somme alternée des chiffres est a Démonstration:
Pour toutk?N, 10≡-1 [11].
On en déduit :A≡a0×(-1)0+a1×(-1)1+ak×···+(-1)k+an×···+(-1)n[11]≡a0-a1···
Nous avons vu les principaux critères (les plus faciles). Rien n"empêche d"en trouver d"autres.
Exemple :divisibilitépar 7.
Regardons les restes successifs dans la division euclidienne par 7 des puissances successives de 10. 10k110102103104105106107108
Reste de la division de 10kpar 7132645132
On remarque un cycle (à justifier), donc il est facile de déterminer tous les restes de 10nmodulo 7.
Dans l"écrituredécimaleaveclespuissancesde 10,onremplacechaquepuissancede10 parsonrestemodulo 7. Exemple :689243157=6×108+8×107+9×106+2×105+4×104+3×103+1×102+5×10+7≡(6×2)+(9×
3)+(8×1)+(2×5)+(4×4)+(3×6)+(1×2)+(5×3)+7 [7]≡115 [7]≡3 [7].
Ce nombre n"est donc pas divisible par 7.
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10 Autre critère de divisibilité par 7 :Soitnun nombre d"au moins trois chiffres et dont l"écriture décimale
estquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Page 5/
10 Conclusion :dans tous les cas, il existe un couple (q;r) vérifianta=bq+r. 2.Unicité deqetr:
Supposons qu"il existe deux couples (q;r) et (q?;r?) tels quea=bq+reta=bq?+r?, avec 00?r Or, 0?r? Orr?-rest un multipledeb, strictment compris entre-betb: le seul possible est 0. Par conséquent :r?-r=0 doncr=r?.
En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtientbq+r=bq?+r, doncbq=bq?, d"oùq=q?car b?=0. Le couple (q;r) est donc unique.
Définition
On dit qu"on a effectué la division euclidiennedeaparb;qest le quotient etrle reste. Exemples:
123=37×3+12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 3
Propriétés
1.bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.
2. On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :a=bq+r, avec
Exercice :Montrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+1 ou 5p-1 (raisonner
par disjonction des cas) Exercicespage 23
III Congruences dansZ:
Définition
Soitnun entier naturel non nul. on dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn. On dit aussi queaest congrubmodulon.
Notation:a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n]. Exemples:25≡14[11]; 25≡3[11].
Page 6/
10 Théorème :
Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division eucli- dienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn. Démonstration:
Supposons queaetbaient même reste dans la division parn. il existeqetq?tels que :a=nq+ret Alors :a-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Réciproque :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alorsa-b=knaveckentier. Corollaire :
aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn. Propriétés
1.aest divisible parn?a≡0[n].
2.n≡0[n]
3.a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)
4. Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (on dit que la relationde congruence est transitive).
5. Sia≡b[b], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)
6. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+a?≡b+b?[n].
7. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsaa?≡bb?[n].
8. Sia≡b[n] et si p appartientN, alorsap≡bp[n].
Démonstration:
1. évident d"après le corollaire précédent.
2.na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0[n].
3.n|(a-a) donca≡a[n]
4. Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcont même reste
ans la division euclidienne parn. 5. Sia≡b[n], alorsn|(a-b); on déduit quen|(b-a) (dansZ) et doncb≡a[n]
6.a-b=qneta?-b?=q?n. Alorsa+a?-(b+b?)=(q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible parn, d"où
le résultat. 7. On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?n; on peut écrireab-a?b?=ab-ab?+ab?-
a Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n] 8. se montre par récurrence.
Exercice :Déterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+4≡2[8] x+4≡2[8]?x≡-2[8]?x≡6[8] car -2 est congru 6 modulo 8. Page 7/
10 Exercice :Déterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3[7] On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 8 valeurs des restes possibles
modulo 7. x0123456 5x0531642
On en déduit que les solutionssont les nombresxcongrus à 2 modulo 7. S={2+7k,k?Z}
Exercice :Déterminer le reste de la division par 7 de 2n. En déduire le reste de la division euclidienne de 2 134589par 3.
Solution:
On a : 2
0=1[7]; 21=2[7]; 22=4[7]; 23=8≡1[7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo 3.
Sin≡0[3], alorsn=3pd"où 2n=23p=(23)p≡1p[7]≡1[7]. Sin≡1[7], alorsn=3p+1 d"où 2n=23p+1=23p×2≡2[7] Sin≡2[7], alorsn=3p+2 d"où 2n=23p+2=23p×4≡4[7] on a : 13459≡1[3]; par conséquent : 213458≡2[7] IV Critères de divisiblilité
Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement» si un nombre est
divisible parn. Un certain nombre de critères de divisibilitéont été vus dans les petites classes, souvent sans justification.
Donnons-les et justifions-les!
Divisibilitépar2 :
Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 2.
Démonstration
Sin<10, c"est évident.
Soitn?10. il existe un couple unique (q;r) tel quen=10q+ravec 0?r<10. Si 2 divisen, comme 2 divise 10, 2 divisen-10q=rdoncddiviser. Réciproquement:si 2 diviser, comme 2 divise 10, 2 divisen Divisibilitépar5 :
Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 5.
Même type de démonstration.
Page 8/
10 Divisibilitépar4 :
Un nombreAest divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par lechiffre des dizaines et celui
des unités est lui-même divisible par 4. Démonstration:oneffectueladivisioneuclidiennedeApar 100:A=100q+retonprocèdecommepour la divisibilité par 2 ou 5. Divisibilitépar3 :
Un nombreAest divisible par 3 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 3. Démonstration:SupposonsA?10 (sinon, c"est évident!). A= anan-1···ak···a1a0en écriture décimale; par conséquent : i=0a i×10i. Raisonnons modulo 3 : on a : 10≡1 [3].
Pour toutn, 10n≡1n[3]≡1 [3].
Alors :A≡an+an-1+···+a0=n?
i=0a i[3] d"où le résultat. Divisibilitépar9 :
Un nombreAest divisible par 9 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 9. Même démonstration,car 10≡1 [9]
Divisibilitépar11 :
Un nombreAest divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est elle-même divisible par 11.
SiA= anan-1···ak···a1a0en notationdécimale, la somme alternée des chiffres est a Démonstration:
Pour toutk?N, 10≡-1 [11].
On en déduit :A≡a0×(-1)0+a1×(-1)1+ak×···+(-1)k+an×···+(-1)n[11]≡a0-a1···
Nous avons vu les principaux critères (les plus faciles). Rien n"empêche d"en trouver d"autres.
Exemple :divisibilitépar 7.
Regardons les restes successifs dans la division euclidienne par 7 des puissances successives de 10. 10k110102103104105106107108
Reste de la division de 10kpar 7132645132
On remarque un cycle (à justifier), donc il est facile de déterminer tous les restes de 10nmodulo 7.
Dans l"écrituredécimaleaveclespuissancesde 10,onremplacechaquepuissancede10 parsonrestemodulo 7. Exemple :689243157=6×108+8×107+9×106+2×105+4×104+3×103+1×102+5×10+7≡(6×2)+(9×
3)+(8×1)+(2×5)+(4×4)+(3×6)+(1×2)+(5×3)+7 [7]≡115 [7]≡3 [7].
Ce nombre n"est donc pas divisible par 7.
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10 Autre critère de divisibilité par 7 :Soitnun nombre d"au moins trois chiffres et dont l"écriture décimale
estquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Or, 0?r? Orr?-rest un multipledeb, strictment compris entre-betb: le seul possible est 0. Par conséquent :r?-r=0 doncr=r?.
En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtientbq+r=bq?+r, doncbq=bq?, d"oùq=q?car b?=0. Le couple (q;r) est donc unique.
Définition
On dit qu"on a effectué la division euclidiennedeaparb;qest le quotient etrle reste. Exemples:
123=37×3+12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 3
Propriétés
1.bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.
2. On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :a=bq+r, avec
Exercice :Montrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+1 ou 5p-1 (raisonner
par disjonction des cas) Exercicespage 23
III Congruences dansZ:
Définition
Soitnun entier naturel non nul. on dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn. On dit aussi queaest congrubmodulon.
Notation:a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n]. Exemples:25≡14[11]; 25≡3[11].
Page 6/
10 Théorème :
Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division eucli- dienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn. Démonstration:
Supposons queaetbaient même reste dans la division parn. il existeqetq?tels que :a=nq+ret Alors :a-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Réciproque :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alorsa-b=knaveckentier. Corollaire :
aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn. Propriétés
1.aest divisible parn?a≡0[n].
2.n≡0[n]
3.a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)
4. Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (on dit que la relationde congruence est transitive).
5. Sia≡b[b], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)
6. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+a?≡b+b?[n].
7. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsaa?≡bb?[n].
8. Sia≡b[n] et si p appartientN, alorsap≡bp[n].
Démonstration:
1. évident d"après le corollaire précédent.
2.na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0[n].
3.n|(a-a) donca≡a[n]
4. Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcont même reste
ans la division euclidienne parn. 5. Sia≡b[n], alorsn|(a-b); on déduit quen|(b-a) (dansZ) et doncb≡a[n]
6.a-b=qneta?-b?=q?n. Alorsa+a?-(b+b?)=(q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible parn, d"où
le résultat. 7. On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?n; on peut écrireab-a?b?=ab-ab?+ab?-
a Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n] 8. se montre par récurrence.
Exercice :Déterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+4≡2[8] x+4≡2[8]?x≡-2[8]?x≡6[8] car -2 est congru 6 modulo 8. Page 7/
10 Exercice :Déterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3[7] On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 8 valeurs des restes possibles
modulo 7. x0123456 5x0531642
On en déduit que les solutionssont les nombresxcongrus à 2 modulo 7. S={2+7k,k?Z}
Exercice :Déterminer le reste de la division par 7 de 2n. En déduire le reste de la division euclidienne de 2 134589par 3.
Solution:
On a : 2
0=1[7]; 21=2[7]; 22=4[7]; 23=8≡1[7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo 3.
Sin≡0[3], alorsn=3pd"où 2n=23p=(23)p≡1p[7]≡1[7]. Sin≡1[7], alorsn=3p+1 d"où 2n=23p+1=23p×2≡2[7] Sin≡2[7], alorsn=3p+2 d"où 2n=23p+2=23p×4≡4[7] on a : 13459≡1[3]; par conséquent : 213458≡2[7] IV Critères de divisiblilité
Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement» si un nombre est
divisible parn. Un certain nombre de critères de divisibilitéont été vus dans les petites classes, souvent sans justification.
Donnons-les et justifions-les!
Divisibilitépar2 :
Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 2.
Démonstration
Sin<10, c"est évident.
Soitn?10. il existe un couple unique (q;r) tel quen=10q+ravec 0?r<10. Si 2 divisen, comme 2 divise 10, 2 divisen-10q=rdoncddiviser. Réciproquement:si 2 diviser, comme 2 divise 10, 2 divisen Divisibilitépar5 :
Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 5.
Même type de démonstration.
Page 8/
10 Divisibilitépar4 :
Un nombreAest divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par lechiffre des dizaines et celui
des unités est lui-même divisible par 4. Démonstration:oneffectueladivisioneuclidiennedeApar 100:A=100q+retonprocèdecommepour la divisibilité par 2 ou 5. Divisibilitépar3 :
Un nombreAest divisible par 3 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 3. Démonstration:SupposonsA?10 (sinon, c"est évident!). A= anan-1···ak···a1a0en écriture décimale; par conséquent : i=0a i×10i. Raisonnons modulo 3 : on a : 10≡1 [3].
Pour toutn, 10n≡1n[3]≡1 [3].
Alors :A≡an+an-1+···+a0=n?
i=0a i[3] d"où le résultat. Divisibilitépar9 :
Un nombreAest divisible par 9 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 9. Même démonstration,car 10≡1 [9]
Divisibilitépar11 :
Un nombreAest divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est elle-même divisible par 11.
SiA= anan-1···ak···a1a0en notationdécimale, la somme alternée des chiffres est a Démonstration:
Pour toutk?N, 10≡-1 [11].
On en déduit :A≡a0×(-1)0+a1×(-1)1+ak×···+(-1)k+an×···+(-1)n[11]≡a0-a1···
Nous avons vu les principaux critères (les plus faciles). Rien n"empêche d"en trouver d"autres.
Exemple :divisibilitépar 7.
Regardons les restes successifs dans la division euclidienne par 7 des puissances successives de 10. 10k110102103104105106107108
Reste de la division de 10kpar 7132645132
On remarque un cycle (à justifier), donc il est facile de déterminer tous les restes de 10nmodulo 7.
Dans l"écrituredécimaleaveclespuissancesde 10,onremplacechaquepuissancede10 parsonrestemodulo 7. Exemple :689243157=6×108+8×107+9×106+2×105+4×104+3×103+1×102+5×10+7≡(6×2)+(9×
3)+(8×1)+(2×5)+(4×4)+(3×6)+(1×2)+(5×3)+7 [7]≡115 [7]≡3 [7].
Ce nombre n"est donc pas divisible par 7.
Page 9/
10 Autre critère de divisibilité par 7 :Soitnun nombre d"au moins trois chiffres et dont l"écriture décimale
estquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Par conséquent :r?-r=0 doncr=r?.
En reportant dansa=bq+r=bq?+r?, on obtientbq+r=bq?+r, doncbq=bq?, d"oùq=q?car b?=0.Le couple (q;r) est donc unique.
Définition
On dit qu"on a effectué la division euclidiennedeaparb;qest le quotient etrle reste.Exemples:
123=37×3+12; 12 est le reste de la division euclidienne de 123 par 3
Propriétés
1.bdiviseasi, et seulement si, le reste de la division deaparbest nul.
2. On peut étendre le théorème au cas oùaest entier (relatif) etbentier non nul :a=bq+r, avec
Exercice :Montrer que tout entiernnon divisible par 5 a un carré de la forme 5p+1 ou 5p-1 (raisonner
par disjonction des cas)Exercicespage 23
III Congruences dansZ:
Définition
Soitnun entier naturel non nul. on dit queaetbsont congrus modulonsi, et seulement si,aetbont même reste dans la division euclidienne parn.On dit aussi queaest congrubmodulon.
Notation:a≡b(n) oua≡b(modulon) oua≡b[n].Exemples:25≡14[11]; 25≡3[11].
Page 6/
10Théorème :
Soientaetbdeux entiers relatifs etnun entier naturel.aetbont même reste dans la division eucli- dienne parnsi, et seulement sia-best divisible parn.Démonstration:
Supposons queaetbaient même reste dans la division parn. il existeqetq?tels que :a=nq+ret Alors :a-b=n(q-q?) avecq-q?entier, donca-best divisible parn. Réciproque :Supposons quea-bsoit divisible parn. Alorsa-b=knaveckentier.Corollaire :
aetbsont congrus modulonsi, et seulement sia-best divisible parn.Propriétés
1.aest divisible parn?a≡0[n].
2.n≡0[n]
3.a≡a[n] (la relation de congruence est réflexive)
4. Sia≡b[n] et sib≡c[n], alorsa≡c[n] (on dit que la relationde congruence est transitive).
5. Sia≡b[b], alorsb≡a[n] (la relation de congruence est symétrique)
6. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsa+a?≡b+b?[n].
7. Sia≡a?[n] et sib≡b?[n], alorsaa?≡bb?[n].
8. Sia≡b[n] et si p appartientN, alorsap≡bp[n].
Démonstration:
1. évident d"après le corollaire précédent.
2.na pour reste 0 dans la division parn, doncn≡0[n].
3.n|(a-a) donca≡a[n]
4. Siaetbont même reste dans la division euclidienne parnet sibetcaussi, alorsaetcont même reste
ans la division euclidienne parn.5. Sia≡b[n], alorsn|(a-b); on déduit quen|(b-a) (dansZ) et doncb≡a[n]
6.a-b=qneta?-b?=q?n. Alorsa+a?-(b+b?)=(q+q?)ndonca+a?-(b+b?) est divisible parn, d"où
le résultat.7. On a les mêmes hypothèses, donca-b=qneta?-b?=q?n; on peut écrireab-a?b?=ab-ab?+ab?-
a Il est clair queaq?+b?q?Z(somme et produit d"entiers). Par conséquent :n|(ab-a?b?) doncab≡a?b?[n]8. se montre par récurrence.
Exercice :Déterminer l"ensemble des entiersxtels que :x+4≡2[8] x+4≡2[8]?x≡-2[8]?x≡6[8] car -2 est congru 6 modulo 8.Page 7/
10 Exercice :Déterminer l"ensemble desxentiers tels que 5x≡3[7]On remplit un tableau des valeurs prises modulo [7] par 5xlorsquexprend les 8 valeurs des restes possibles
modulo 7. x01234565x0531642
On en déduit que les solutionssont les nombresxcongrus à 2 modulo 7.S={2+7k,k?Z}
Exercice :Déterminer le reste de la division par 7 de 2n. En déduire le reste de la division euclidienne de 2134589par 3.
Solution:
On a : 2
0=1[7]; 21=2[7]; 22=4[7]; 23=8≡1[7]. On remarque que l"on va avoir un cycle modulo 3.
Sin≡0[3], alorsn=3pd"où 2n=23p=(23)p≡1p[7]≡1[7]. Sin≡1[7], alorsn=3p+1 d"où 2n=23p+1=23p×2≡2[7] Sin≡2[7], alorsn=3p+2 d"où 2n=23p+2=23p×4≡4[7] on a : 13459≡1[3]; par conséquent : 213458≡2[7]IV Critères de divisiblilité
Un critère de divisibilité parnoùn?N(n?2) est un moyen de savoir " rapidement» si un nombre est
divisible parn.Un certain nombre de critères de divisibilitéont été vus dans les petites classes, souvent sans justification.
Donnons-les et justifions-les!
Divisibilitépar2 :
Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 2.
Démonstration
Sin<10, c"est évident.
Soitn?10. il existe un couple unique (q;r) tel quen=10q+ravec 0?r<10. Si 2 divisen, comme 2 divise 10, 2 divisen-10q=rdoncddiviser. Réciproquement:si 2 diviser, comme 2 divise 10, 2 divisenDivisibilitépar5 :
Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffredes unités est lui-même divisible par 5.
Même type de démonstration.
Page 8/
10Divisibilitépar4 :
Un nombreAest divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par lechiffre des dizaines et celui
des unités est lui-même divisible par 4. Démonstration:oneffectueladivisioneuclidiennedeApar 100:A=100q+retonprocèdecommepour la divisibilité par 2 ou 5.Divisibilitépar3 :
Un nombreAest divisible par 3 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 3. Démonstration:SupposonsA?10 (sinon, c"est évident!). A= anan-1···ak···a1a0en écriture décimale; par conséquent : i=0a i×10i.Raisonnons modulo 3 : on a : 10≡1 [3].
Pour toutn, 10n≡1n[3]≡1 [3].
Alors :A≡an+an-1+···+a0=n?
i=0a i[3] d"où le résultat.Divisibilitépar9 :
Un nombreAest divisible par 9 si son chiffre des unités est lui-même divisible par 9.Même démonstration,car 10≡1 [9]
Divisibilitépar11 :
Un nombreAest divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est elle-même divisible par 11.
SiA= anan-1···ak···a1a0en notationdécimale, la somme alternée des chiffres est aDémonstration:
Pour toutk?N, 10≡-1 [11].
On en déduit :A≡a0×(-1)0+a1×(-1)1+ak×···+(-1)k+an×···+(-1)n[11]≡a0-a1···
Nous avons vu les principaux critères (les plus faciles). Rien n"empêche d"en trouver d"autres.
Exemple :divisibilitépar 7.
Regardons les restes successifs dans la division euclidienne par 7 des puissances successives de 10.10k110102103104105106107108
Reste de la division de 10kpar 7132645132
On remarque un cycle (à justifier), donc il est facile de déterminer tous les restes de 10nmodulo 7.
Dans l"écrituredécimaleaveclespuissancesde 10,onremplacechaquepuissancede10 parsonrestemodulo 7.Exemple :689243157=6×108+8×107+9×106+2×105+4×104+3×103+1×102+5×10+7≡(6×2)+(9×
3)+(8×1)+(2×5)+(4×4)+(3×6)+(1×2)+(5×3)+7 [7]≡115 [7]≡3 [7].
Ce nombre n"est donc pas divisible par 7.
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10Autre critère de divisibilité par 7 :Soitnun nombre d"au moins trois chiffres et dont l"écriture décimale
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