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ATSLycée Le DantecEM 6 Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Expérience : retard à l"allumage

Un courant qui passe dans une spire crée un champ magnétique. Si ce courant varie, le champ ma-

gnétique varie également. Ainsi, on est en présence d"un champ magnétique variable à l"intérieur d"un

conducteur : la bobine elle-même.

Il y a donc auto-induction : la spire parcourue par le courant crée un champ magnétique qui crée un

courant induit dans cette même spire. D"après la loi de Lenz, ce courant induit s"oppose à la cause qui

lui a donné naissance : ce courant induit est dans le sens inverse du courant initial qui s"établit dans

la spire.Phénomène d"auto-induction : le schéma a été découpé en plusieurs étapes pour la compréhension,

mais tout se passe dans le même temps

I. Autoinduction

I.1. Flux propre - Flux extérieurSoitCun circuit orienté(l"orientation de la normale~nse déduit de l"orien-

tation deCpar la règle du tire-bouchon).

On orienteidans le même sens queC.

Le courant circulant dans le circuitCcrée un champ magnétique~Bp.

On distingue :

Bple champ magnétique propre : champ créé par le circuitC Bextle champ magnétique créé par des sources extérieures Le flux total du champ magnétique à travers le circuitCvaut =x (~Bext+~Bp):d~S=ext+p 1

ATSLycée Le DantecOn définit :

ext=x Bext:d~Sle flux du champ magnétique extérieur p=x

Bp:d~Sle flux propre

I.2. Inductance propre

On considère un circuitCparcouru par un courant d"intensitéi. Le sens de~nse déduit du sens deipar la règle de la

main droite.Le champ magnétique propre en un point quelconqueMdu plan du circuit est proportionnel àiet

s"exprime sous la forme

Bp(M) =K(M)i~navecK(M)>0

p=x

Bp:d~S=ix

K(M)~n:d~S

Le flux propre est donc proportionnel ài.On définit l"inductance propreLdu circuit par p=Li [L] = Hhenry (1 H = 1 T:m2:A1= 1 Wb:A1)L"inductance propre d"un circuit est une grandeur positive.

Cela suppose la condition d"orientation vérifiée :~nest déduit du sens deipar la règle du tire-bouchon.

2 ATSLycée Le DantecI.3. Évaluation : cas d"une bobine On considère une bobine, de longueur`, de sectionS=R2, comportantNspires parcourues par un

courant d"intensitéi.On assimile cette bobine à un solénoïde infini (cela revient à négliger les effets de bord). On suppose

donc`R. À l"intérieur de la bobine, le champ est uniforme et vaut

B=0ni~uzavecn=N`

Le flux de

~Bà travers une spire vaut :0=0niS

Le flux de

~Bà travers lesNspires vaut :p=N0=N0niS ainsi p=N0N` iS=Li

L=0N2`

S Exemple : solénoïde de labo`= 40 cm,N= 200,R= 2;5 cm,0= 4:107H:m1.

L= 25 mHPour augmenterLon place un noyau de fer doux dont le but est de renforcer le champ~B. Cela revient à

remplacer la perméabilité magnétique du vide0par0ravecrla perméabilité relative du matériau

(rest une grandeur sans dimension) :

0!0ravecr'103à104

Aspect énergétique :

L"énergie stockée dans une bobine a pour expressionEm=12 Li2 E m=12 0N2`

Si2=120

20N2`

2`Si2=120

0Ni` 2 `S E m=120B2`S

120B2correspond à la densité volumique d"énergie stockée sous forme magnétique (J:m3).

3 ATSLycée Le DantecI.4. Exercice : inductance propre d"un bobine torique de section rectangulaire

On considère une bobine torique de section rectangulaire de hauteurh, de rayons intérieuraet extérieur

b, comportantNspires jointives parcourues par un courant d"intensitéi. Déterminer son coefficient

d"inductance propre. On se place en coordonnées cylindriques avec =Oz:~B(r;;z). Invariance par rotation quelconque autour deOz:~Best indépendant de.

Tout plan contenant l"axeest plan de symétrie; en un point de ce plan, en cordonnées cylindriques,

le champ propre est orthoradial :~B=B(r;z)~u.

Les lignes de champ sont des cercles d"axe (Oz).

En appliquant le théorème d"Ampère sur une ligne de champ de rayonrcontenue à l"intérieur du tore on trouve (cf EM4b) on obtient :

B=0Ni2r~u

Le champ ne dépend finalement pas de la cotez.

Le flux propre à travers une spire vaut :

s= b a

0Ni2rhdr=0Ni2hlnba

Le flux propre à travers lesNspires vaut :

p=Ns=0N2i2hlnba =LiOn en déduit l"inductance propre :

L=0N2h2lnba

4

ATSLycée Le Dantec5

ATSLycée Le DantecI.5. Établissement du courant dans un circuit R,L

Àt= 0on ferme l"interrupteurK.

Quand on ferme l"interrupteur un couranticommence à circuler dans le circuit. Il crée un champ

magnétique dans la bobine qui augmente aveci. Le flux de ce champ augmente. D"après la loi de Lenz,

il apparaît une force électromotrice induite qui va s"opposer à l"augmentation du courant. On oriente la fem induite dans le sens d"orientation du circuit. e=ddt=dLidt=Ldidt On vérifie que pouri%on ae <0. La fem induite s"oppose à la circulation du courant. Remarque :u=e=Ldidton retrouve la relation courant tension (en convention récepteur) utilisée en électrocinétique.

D"après la loi des mailles

ERi+e= 0

E=Rie

E=Ri+Ldidt

On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants déjà établie en

électrocinétique :

didt+RL i=ER

La solution est la superposition d"une solution particulière et de la solution de l"équation homogène

associée : i(t) =ER +et avec=LR L"intensité du courant traversant une bobine est continue :i(0) =i(0+) = 0 0 = ER i(t) =ER 1et 6

ATSLycée Le Dantecti

OE R

0;63ER

Remarque :

Expérimentalement on doit tenir compte de la résistancerbde la bobine (modélisée par une résistance

r bplacée en série avec l"inductanceL) :=LR+rbeti1=ER+rb.

Bilan énergétique :

E=Ri+Ldidt

Ei=Ri2+Ldidti

Ei=Ri2+ddt

12 Li2

On retrouve bien l"expression de l"énergie stockée sous forme magnétique dans la bobineEm=12

Li2. Quandi= 0,B= 0il n"y a pas d"énergie stockée.

I.6. Schéma électrique équivalent7

ATSLycée Le DantecII. Inductance mutuelle de deux circuits Expérience : voir leçon 16 Walter Levine 29 min 30s

II.1. Coefficient d"inductance mutuelle

a) DéfinitionLes lignes du champ magnétique ~B1crée par le circuitC1traversent le circuitC2.

Réciproquement, les lignes du champ magné-

tique~B2crée par le circuitC2traversent le circuitC1. 1!2=x 2~

B1:d~S2=M12i1car~B1est proportionnel ài1.

2!1=x 1~

B2:d~S1=M21i2car~B2est proportionnel ài2.

M

12etM21sont homogènes à une inductance et se mesurent en henry.

b) Exemple On considère deux bobinesB1etB2, de même axe, de même longueur`, de rayonsR1etR2> R1. On noteS1=R21etS2=R22leurs sections,N1etN2leurs nombres de spires,i1eti2, l"intensité des courants traversant chacune des bobines.Soient ~B1et~B2les champ magnétiques créés parB1etB2.06R < R1R

1< r < R2R

2< r~ B1 0N1` i1~uz00 B2 0N2` i2~uz 0N2` i2~uz0

1!2=N2B1S1=0N1N2`

S1i1=M12i1

2!1=N1B2S1=0N1N2`

S1i2=M21i2

8

ATSLycée Le DantecM

12=M21=0N1N2S1`

De manière générale, on peut toujours écrire M

12=M21=ML"inductance mutuelleMentre deux circuits est définie par

1!2=Mi1et2!1=Mi2

[M] =Hhenry Le signe deMdépend des sens d"orientation choisis pour les circuits. L"inversion d"un des deux

sens d"orientation entraîne une inversion du signe deM.II.2. Schéma électrique équivalent de deux circuits couplés

a) Équations électriques

On considère deux circuits couplés, modélisés par le schéma ci-dessous :avecu1etu2des tensions variables.

Ce circuit peut être représenté par le schéma équivalent :où on a placé les fem induites, orientées dans le sens d"orientation choisi pour chaque circuit.

On calcule les fem induites :

e

1=d1dt=d(L1i1+Mi2)dt=L1di1dtMdi2dt

e

2=d2dt=d(L2i2+Mi1)dt=L2di2dtMdi1dt

D"où, en appliquant la loi des mailles :

8>< :u

1=e1+R1i1=L1di1dt+Mdi2dt+R1i1

u

2=e2+R2i2=L2di2dt+Mdi1dt+R2i2

9 ATSLycée Le Dantecb) Étude énergétique 8>< :u

1i1=L1di1dti1+Mdi2dti1+R1i21

u

2i2=L2di2dti2+Mdi1dti2+R2i22

u

1i1+u2i2|{z}

puissance fournie par les deux sources de tension=R1i21+R2i22|{z} puissance dissipée par effet Joule+ddt0 B B@12

L1i21+12

L2i22+Mi1i2|{z}

énergie magnétique1

C CA

On pose donc

E m=12

L1i21+12

L2i22+Mi1i2

avecEml"énergie magnétique du circuit. Cette énergie est nulle pouri1=i2= 0. On aEm>0car elle est associée à une densité volumique d"énergie positive :Em=y

E120B2d.

On supposei26= 0et on posex=i1i

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