[PDF] Limites et continuité - AlloSchool

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Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com

Limites et continuité

$%1la continuité en un point.

Définition :

soientfune fonction numérique définie sur un intervelle ouvertIeta?I. On ditfest continue enasilimx→af(x) =f(a).Définition : soitfune fonction numérique définie sur un intervelle de type[a,b]. ?On dit quefest continue à droite enasilimx→a+f(x) =f(a). ?On dit quefest continue à gauche enbsilimx→b-f(x) =f(b).Proposition : fest continue ena?fest continue à droite et à gauche enaRemarque : la partie entière n"est pas continue en toutndeZ. $%2la continuité sur un intervalle.

Définition :

?on dit quefest une fonction continue sur un intervelle ouvertIs"elle est continue en tout point deI.

?on dit quefest une fonction sur un intervelle[a,b]s"elle est continue sur]a,b[, continue à droite ena

et continue à gauche enb.Remarques : ?la partie entière est continue sur l"intervalle[n,n+ 1[pour toutndeZ. ?si f est continue sur un intervalleIalors elle est continue sur tout intervalleJ?I.Proposition :

Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions :x?→⎷x,x?→sinxetx?→cosx

sont continues sur leur domaine de définition. %3Les opérations sur les fonctions continues.

Proposition :

soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalleIetλ?R. ?les fonctionsf+g,λfetf+gsont continues surI. ?si de plusgne s"annule pas surI, alors les fonctions1g etfg sont continues surI.Proposition : ?sifetgsont deux fonctions continues surIetJrespectivement avecf(I)?J, alorsg◦fest continue surI. ?soientIun intervalle ouvert,a?I,fune fonction définie surIaveclimx→af(x) =l?Retgest une

fonction continue surJavecf(I)?Jalorslimx→a(g◦f)(x) =g(l).Tel : 06 06 39 22 82 3 5 octobre 2018

Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com %4L"image d"un intervalle par une fonction continue

Proposition :

?l"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

?l"image d"un segment par une fonction continue est un segment.If(I)sifest continue et str?f(I)sifest continue et str?[a,b][f(a),f(b)][f(b),f(a)]]a,b]] lim

x→a+f(x),f(b)][f(b),limx→a+f(x)[[a,b[[f(a),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),f(a)]]a,b[] lim x→a+f(x),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),limx→a+f(x)[[a,+∞[[f(a),limx→+∞f(x)[] lim x→+∞f(x),f(a)]]a,+∞[] lim x→a+f(x),limx→+∞f(x)[] lim x→+∞f(x),limx→a+f(x)[]- ∞,b]] lim x→-∞f(x),f(b)][f(b),limx→-∞f(x)[]- ∞,b[] lim x→-∞f(x),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),limx→-∞f(x)[]- ∞,+∞[] lim x→-∞f(x),limx→+∞f(x)[] lim

Théorème :

soientfune fonction continue sur un intervalleI eta,b?I. Pour toutαcompris entref(a)etf(b), il existe au moins unccompris entreaetbtel quef(c) =α. (autrement l"équationf(x) =αadmet au moins une solution)Corollaire : soitfune fonction continue etstrictementmonotone sur[a,b]. Pour toutαcompris entref(a)etf(b), il existe au moins ununiquec?[a,b]tel quef(c) =α. (autrement l"équationf(x) =αadmet une unique solution sur[a,b])Corollaire : soitfune fonction continue sur[a,b]telle quef(a)+f(b)<0. Alors : ?l"équationf(x) = 0admet au moins une solutionα?]a,b[.

?si de plusfest strictement monotone, l"équationf(x) = 0admet une unique solutionα?]a,b[.La méthode de dichotomie :

Le but de cette méthode est d"approcher la solution d"une équation de typef(x) = 0. Sifest continue et strictement monotone sur[a,b]telle quef(a)+f(b)<0, alors?!α?]a,b[/f(α) = 0.

On a deux cas :

?sif?a+b2 ?+f(b)<0alorsα??a+b2 ,b? ?sif?a+b2 ?+f(a)<0alorsα?? a,a+b2

On continue de cette manière jusqu"à l"encadrement demandé deα.Tel : 06 06 39 22 82 4 5 octobre 2018

Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com $%5La fonction réciproque d"une fonction continue et strictement monotone.

Définition :

soientfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalleIetJ=f(I).

La fonction qui lie chaque élèmentydeJavec l"unique élèmentxdeItel quef(x) =ys"appelle la

fonction réciproque defnotéef-1.Conséquences : soientfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalleIetf-1sa réciproque. On a : ?f -1(x) =y x?f(I)?? ?f(y) =x y?I?(?x?I) : (f-1◦f)(x) =x ?(?x?f(I)) : (f◦f-1)(x) =xProposition : soientfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalleIetf-1sa réciproque. On a : ? f -1est continue surf(I). ? f -1est strictement monotone surf(I)avecfetf-1ont la même monotonie.

?(Cf-1)est symetrique à(Cf)par rapport à la droite d"équationy=xdans un repère orthonormé.

%6La fonction racinenième.Proposition :

soitn?N?, la fonctionx?→xnest continue et strictement croissante sur[0,+∞[. Alors elle admet une

fonction réciproque sera noté n⎷.

Conséquences :

n⎷: [0,+∞[→[0,+∞[ x→n⎷x ?(?x,y?[0,+∞[) :n⎷x=y?x=yn ?(?x?[0,+∞[) : (n⎷x)n=n⎷x n=xDéfinition :

Sir=pq

?Qavecq?N?etp?Z, on pose (?x?]0,+∞[) :xr=q⎷x pPropriétés : ?La fonctionx?→xrest continue sur]0,+∞[, pour toutr?Q. ?pour toutr,r??Qet pour toutx,y?]0,+∞[on a : x r>0;xr+r?=xr+x r?;xrr?= (xr)r?;1x r=x-r x rx r?=xr-r?;(xy)r=xryr;?xy r =xry r; 3 ⎷x-3⎷y=x-y3 ⎷x

2+3⎷xy+3⎷y

24⎷x-4⎷y=x-y(

4⎷x+4⎷y)(4⎷x

2+4⎷y

2)Tel : 06 06 39 22 82 5 5 octobre 2018

Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com %7La fonction arctan.

Proposition :

La fonctionx?→tan(x)est continue et strictement croissante sur? -π2 ,π2 . Alors elle admet une fonction réciproque sera noté arctan .Propriétés : ?La fonctionx?→arctan(x)est continue et strictement croissante surR. ?(?x?R) : tan(arctan(x)) =x ?x?? -π2 ,π2 : arctan(tan(x)) =x ?(?x?R);? ?y?? -π2 ,π2 : arctan(x) =y??x= tan(y) ?limx→+∞arctan(x) =π2 limx→-∞arctan(x) =-π2 limx→0arctan(x)x = 1 ?la courbe(Carctan):Tel : 06 06 39 22 82 6 5 octobre 2018quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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