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Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com

Les nombres complexes

%1L"ensemble des nombres complexes

L"équationx2=-1n"admet pas de solutions dansR. On imagine qu"il existe un nombre imaginaire noté

i, solution de cette équation.

On va construire un ensemble notéCplus grand queRqu"est engendré par le couple(1,i)(càd. tout

élèment deCest combinaison linéaire de 1 etià coefficients dansR).Définition : L"ensembleCest définie par :C={z=a+ib/(a,b)?R2et i2=-1}. ? a+ibs"appelle l"écriture algébrique (unique pour tout élèment deC) dez. ? as"appelle la partie réelle dezsera notéeRe(z). ? bs"appelle la partie imaginaire dezsera notéeIm(z). ?L"ensemble des nombres imaginaires pures sera notéiR.Proposition :

Soientz,z??C:

z=z???Re(z) =Re(z?)etIm(z) =Im(z?) z?R??Im(z) = 0z?iR??Re(z) = 0La représentation graphique d"un nombre complexe :

Le plan(P)(appelé après le plan complexe) minue d"un repère orthonormé directe(O,-→u ,-→v).

?Tout pointM(a,b)du plan(P)est une image d"un unique nombre complexez=a+ib, on écritM(z). De pluszs"appellel"a ffixede Met on écritz=aff(M).

?Tout vecteur-→w(a,b)du plan(P)est une image d"un unique nombre complexez=a+ib, on écrit-→w(z).

De pluszs"appellel"a ffixede -→wet on écritz=aff(-→w).•M(z)-→ u-→ vab w(z)-→ u-→ vab

Conséquences :

?Les nombres réels sont les affixes des points de l"axe des abscisses appelél"axe réel .

?Les nombres imaginaires pures sont les affixes des points de l"axe des ordonnés appelél"ax eimaginaire .Proposition :

SoientA(zA),B(zB),-→w(z-→w),-→t(z-→t)etα?R. On a :

aff(-→AB) =zB-zA;aff(-→w+-→t) =aff(-→w) +aff(-→t);aff(α-→w) =α.aff(-→w)Proposition :

SoientA(zA),B(zB),C(zC)etI(zI)telle queIest le milieu de[AB]. On a : ? z

I=zA+zB2

?SiA,BetCsont distincts, alors :A,BetCsont rectilignes?zB-zAz

C-zA?RTel : 06 06 39 22 82 20 5 octobre 2018

Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com %2Conjugué d"un nombre complexe - module d"un nombre complexe

Définition :

Soitz=a+ibun nombre complexe tel quea,b?R. Le conjugué dezest le nombre complexez=a-ib.Proposition :

Soientz,z??Cetn?N?, on a :

?z+z?=z+z ?et en général :n k=1z k=n? k=1z k.?z+z ?=z+z ?et en général :n k=1z k=n? k=1z k. ?Siz??= 0, alors? 1z =1z ?et? zz =z z ?.?(zn) =z n.Conséquences :

Soitz?C, on a :

z+z= 2Re(z);z-z= 2iIm(z);z=z;z= 0?z= 0 ;z?R?z=z;z?iR?z=-z;Définition : Le plan complexe minue d"un repère orthonormé directe(O,-→u ,-→v). SoitM(z)un point du plan complexe tel quez=a+ibeta,b?R. Le module du nombre complexezest la distanceOMsera noté|z|et on a :OM=|z|=⎷a

2+b2.Proposition :

Soientz,z??Cetn?N?, on a :

?|z+z ?|=|z|+|z?|et en général :? ????n k=1z k? ????=n? k=1|zk|. ?Siz??= 0, alors????1z ???=1|z?|et????zz ???=|z||z?|.?|zn|=|z|n.?|z+z?|6|z|+|z?|.Conséquences : ? zz=|z|2?|z|=| -z|=|z|?|z|= 0?z= 0? z=z?? :|z|=|z?|. ?SoientA(zA)etB(zB)du plan complexe, on a :AB=|zB-zA|. %3L"argument et la forme trigonomètrique d"un nombre complexe

Définition :

SoitM(z)dans le plan complexe, minue d"un repère orthonormé directe(O,-→u ,-→v), tel quez?= 0.

On appelle argument dezqu"on notearg(z)toute mesure de l"angle orientée\(-→u ,--→OM)en radian et on

écritarg(z)≡(

-→u ,--→OM)[2π].Remarque :

0est le seul nombre complexe qui n"a pas d"argument.Proposition :

Soientz,z??C?etn?N?, on a :

? arg(zz?)≡arg(z) +arg(z?)[2π]et en général :arg? n? k=1z k? =n k=1arg(zk). ? arg ?1z ≡ -arg(z?)[2π]? arg?zz ≡arg(z)-arg(z?)[2π]? arg(zn)≡n arg(z)[2π]Tel : 06 06 39 22 82 21 5 octobre 2018 Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com %Proposition : SoientA(a),B(b),C(c)etD(d)des points du plan complexeC?=Don a : ?SiA?=Bon a :( -→u ,-→AB)≡arg(b-a)[2π]. ?SiA?=BetA?=Con a :( -→AB,-→AC)≡arg?c-ab-a? [2π]. ?SiA?=BetC?=Don a :( -→AB,--→CD)≡arg?d-cb-a? [2π].Remarques : ?(?z?R?+) :arg(z)≡0[2π].?(?z?R?-) :arg(z)≡π[2π]. ?(?z?iR?+) :arg(z)≡π2 [2π].?(?z?iR?-) :arg(z)≡ -π2 [2π].Proposition :

Tout nombre complexe non nulz=a+ibs"écrit sous la formez=r[cos(α)+isin(α)]oùr=|z|=⎷a

2+b2, cos(α) =ar etsin(α) =br .Définition :

L"écriturez=r[cos(α) +isin(α)]s"appelle la forme trigonomètrique du nombre complexezet on note

z= [r,α].

(ie. tout nombre complexe non nul est bien déterminé par son module et son argument )Proposition :

Soientz= [r,α]etz= [r?,α?]deC?etn?N. On a :

-z= [r,α+π];z= [r,-α];zz?= [rr?,α+α?];1z =?1r zz ?=?rr ;zn= [rn,n+α]La formule de Moivre Pour tout couple(n,α)?N+Ron a :(cos(α) +isin(α))n= cos(nα) +isin(nα).Remarque : La formule de Moivre sert à calculercos(nα)etsin(nα)en fonction decos(α)etsin(α). %4La notation exponentielle d"un nombre complexe non nul.

Définition :

?Pour toutα?Ron note pareiαle nombre complexecos(α)+isin(α)et on écritcos(α)+isin(α) =eiα.

?Pour tout nombre complexe non nulz, on appelle la notation exponentielle la notationreiαoùz= [r,α]

et on écritz=reiα.Proposition :

Pour tousα,α??Retn?N, on a :

?e iα=e-iα?(eiα)n=einα? eiαeiα?=ei(α+α?)?eiαe iα?=ei(α-α?)Proposition :

Les formules d"Euler :cos(α) =eiα+e-iα2etsin(α) =eiα-e-iα2iTel : 06 06 39 22 82 22 5 octobre 2018

Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com $%Remarque :

On utilise les formules d"Euler dans la linéarisation decosn(x)ousinn(x)oucosn(x)sinm(x). Càd les

transformées en somme des termes de typesacos(kx) +bsin(kx)en développant?eix+e-ix2 n ou ?eix-e-ix2i? n .Exemples : cos

3(x) =14

cos(3x) +34 cos(x) sin4(x) =18 cos(4x)-12 cos(2x) +38 %5Les racines n-ièmes d"un nombre complexe non nul.

Définition :

Soientuun nombre complexe non nul etn?Ntel quen>2. On dit que le nombre complexezest une racine n-ième (ou racine d"ordre n) du nombre complexeusi z n=u.Proposition : Tout nombre complexe non nulz=reiαtel quer >0, admetnracines n-ièmes qui sont : z k=n⎷re i(αn +2kπn ), k? {0,1,...,n-1}Proposition : La somme des racines n-ièmes d"un nombre complexe non nul est nulle. n-1? k=0ei(αn +2kπn )= 0?Conséquences : ?Les racines n-ièmes de l"unité sont :uk=ei(αn +2kπn ), k? {0,1,...,n-1} ?Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées. ?Les racines cubiques de l"unité sont :1,j=ei2π3 =-12 +i⎷3 2 etj. ?Les racines 4-ièmes de l"unité sont1,-1,iet-i.Proposition :

1 +j+j2= 0;j=j2;j3= (j)3= 1;jj= 1Proposition :

Toute équationaz2+bz+c= 0tels quea?C?etb,c?Cadmet : ?une solution doublez=-b2asiΔ =b2-4ac= 0.

?deux solutions différentesz1=-b+δ2aetz2=-b-δ2asiΔ?= 0avecδest une racine carrée deΔ.Conséquences :

Siz1etz2sont les deux solutions de l"équationaz2+bz+c= 0(a?= 0) alors : ? az

2+bz+c=a(z-z1)(z-z2)pour toutzdeC.

? z

1+z2=-ba

etz1z2=ca .Tel : 06 06 39 22 82 23 5 octobre 2018 Prof. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com $%6Les transformations dans le plan et les nombres complexes . M

?(z?)est l"image deM(z)par une transformation dans le plan.Nature de la transformationDéfinitionDescription complexe

une translation du vecteurquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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