[PDF] AREF : Fès - Meknès Direction Provinciale : Fès Résumé Maths : 2

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AREF : Fès - Meknès

Direction Provinciale : Fès

Lycée Youssef Bno Tachafine

Prof.

Karza ZouhairRésumé Maths : 2 BAC SM BIOF

version finale / 16 avril 2020zhr.math@gmail.comWhatsapp:0606392282 1 zouhairkarzaProf. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com Limites et continuité ........................3 Dérivabilité et étude de fonctions ........................7 Les suites numériques ........................14 Les fonctions logarithmiques ........................16 Les fonctions exponentielles ........................18

Les nombres complexes ........................20

Les équations différentielles ........................25

Le calcul intégral ........................26

L"arithmétique ........................30

Les probabilités ........................36

Les structures algébriques ........................41Wattsapp : 06 06 39 22 82 2 16 avril 2020 zouhairkarzaProf. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com

Limites et continuité

$%1la continuité en un point.

Définition 1 :

soientfune fonction numérique définie sur un intervelle ouvertIeta?I. On ditfest continue enasilimx→af(x) =f(a).Définition 2 : soitfune fonction numérique définie sur un intervelle de type[a,b]. ?On dit quefest continue à droite enasilimx→a+f(x) =f(a). ?On dit quefest continue à gauche enbsilimx→b-f(x) =f(b).Proposition 3 : fest continue ena?fest continue à droite et à gauche enaRemarque 4 : la partie entière n"est pas continue en toutndeZ. $%2la continuité sur un intervalle.

Définition 5 :

?on dit quefest une fonction continue sur un intervelle ouvertIs"elle est continue en tout point deI.

?on dit quefest une fonction sur un intervelle[a,b]s"elle est continue sur]a,b[, continue à droite ena

et continue à gauche enb.Remarques 6 : ?la partie entière est continue sur l"intervalle[n,n+ 1[pour toutndeZ. ?si f est continue sur un intervalleIalors elle est continue sur tout intervalleJ?I.Proposition 7 :

Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions :x?→⎷x,x?→sinxetx?→cosx

sont continues sur leur domaine de définition. %3Les opérations sur les fonctions continues.

Proposition 8 :

soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalleIetλ?R. ?les fonctionsf+g,λfetf+gsont continues surI. ?si de plusgne s"annule pas surI, alors les fonctions1g etfg sont continues surI.Proposition 9 : ?sifetgsont deux fonctions continues surIetJrespectivement avecf(I)?J, alorsg◦fest continue surI. ?soientIun intervalle ouvert,a?I,fune fonction définie surIaveclimx→af(x) =l?Retgest une

fonction continue surJavecf(I)?Jalorslimx→a(g◦f)(x) =g(l).Wattsapp : 06 06 39 22 82 3 16 avril 2020

zouhairkarzaProf. karza zouhair 2 bac sm biof zhr.math@gmail.com %4L"image d"un intervalle par une fonction continue

Proposition 10 :

?l"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

?l"image d"un segment par une fonction continue est un segment.If(I)sifest continue et str?f(I)sifest continue et str?[a,b][f(a),f(b)][f(b),f(a)]]a,b]] lim

x→a+f(x),f(b)][f(b),limx→a+f(x)[[a,b[[f(a),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),f(a)]]a,b[] lim x→a+f(x),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),limx→a+f(x)[[a,+∞[[f(a),limx→+∞f(x)[] lim x→+∞f(x),f(a)]]a,+∞[] lim x→a+f(x),limx→+∞f(x)[] lim x→+∞f(x),limx→a+f(x)[]- ∞,b]] lim x→-∞f(x),f(b)][f(b),limx→-∞f(x)[]- ∞,b[] lim x→-∞f(x),limx→b-f(x)[] lim x→b-f(x),limx→-∞f(x)[]- ∞,+∞[] lim x→-∞f(x),limx→+∞f(x)[] lim

Théorème 11 :

soientfune fonction continue sur un intervalleI eta,b?I. Pour toutαcompris entref(a)etf(b), il existe au moins unccompris entreaetbtel quef(c) =α. (autrement l"équationf(x) =αadmet au moins une solution)Corollaire 12 : soitfune fonction continue etstrictementmonotone sur[a,b]. Pour toutαcompris entref(a)etf(b), il existe au moins ununiquec?[a,b]tel quef(c) =α. (autrement l"équationf(x) =αadmet une unique solution sur[a,b])Corollaire 13 : soitfune fonction continue sur[a,b]telle quef(a)+f(b)<0. Alors : ?l"équationf(x) = 0admet au moins une solutionα?]a,b[.

?si de plusfest strictement monotone, l"équationf(x) = 0admet une unique solutionα?]a,b[.La méthode de dichotomie :

Le but de cette méthode est d"approcher la solution d"une équation de typef(x) = 0. Sifest continue et strictement monotone sur[a,b]telle quef(a)+f(b)<0, alors?!α?]a,b[/f(α) = 0.

On a deux cas :

?sif?a+b2 ?+f(b)<0alorsα??a+b2 ,b?quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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