[PDF] DM no2 – Dynamique Newtonienne

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Exercices de M´ecanique2008-2009

DM no2 - Dynamique Newtonienne

Point glissant `a l"int´erieur et `a l"ext´erieur d"une sph`ere Dans ce qui suit, on admet qu"un point mat´eriel mobilesans frottementsur la surface d"un solide

Ssubit de la part de celui-ci uneaction de contact-→Nnormale `aSet dirig´ee vers l"ext´erieur de

S(" extérieur »= espace du côté deM).

SoientSune sphère creuse de centreCet de rayona.OetAsont deux points diamétralement

opposés. Dans toute la suiteSest fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le diamètre

OAétant vertical.

On considère le mouvement sans frottement d"un point matérielMde massemdans un plan vertical passant parOA.

1)OAétant une verticale ascendante et le mouvement de

Ms"effectuant sur la face interne deS, établir une équation différentielle du second ordre(E)vérifiée par la variableθ= (--→CO,--→CM).

Déduire de(E)le caractère sinusoïdal des

petitsmouvementsdeMau voisinage deOet donner l"expression de leur période.

2)En multipliant(E)parθet en remarquant que¨θθ=

1 2d( θ2)dt, intégrer(E)par rapport au temps et en déduire la relation liant la vitesse angulaire

θ(notée encoreω) et la

positionθ. (Cette méthode évite le recours à des arguments énergétiques qui ne seront à notre disposition qu"enM3.)

Déterminer la constante d"intégration en sachant queMa été lancé deOavec une vitesse calculée

pour lui permettre d"atteindre tout justeA"en principe»; c"est-à-dire pour queMreste toujours au contact deSjusqu"enA. Montrer que, en fait,MquitteSpour une valeurθ0deθinférieure àπque l"on calculera. Quelle est la nature de sa trajectoire ultérieure?

3)Dans toute la suite,OAest maintenant une verti-

cale descendante et le mouvement deMs"effectue sur la surface externe deS. Avec les notations de la figure ci-contre, établir la nouvelle forme(E?)de l"équation différentielle du mouvement et analyser la conclusion à laquelle celle-ci conduit pour un éventuelpetit mouvement, Métant abandonné sans vitesse avecθ(t= 0) =θ0=α?1.

3)En procédant comme à la question2)pour intégrer(E?)

au premier ordre, donner l"expression deθ2en fonction deθ dans le cas oùMpart deOavec une vitesse négligeable et en déduire la valeurθ0pour laquelleMquitteS. ???Ex-M2.8Le peintre et la poulie Un peintre en bâtiment de masseM= 90kgest assis sur une chaise le long d"un mur qu"il

doit peindre. Sa chaise est suspendue à une corde reliée à une poulie parfaite. Pour grimper, le

peintre tire sur l"autre extrémité de la corde avec une force de680N. la masse de la chaise est

m= 15kg. On travaille avec la verticale(Oz)ascendante.

1)Déterminer l"accélération-→a=a,-→ezdu peintre et de la chaise. Commenter son signe.

2)Quelle force-→F=-→ezle peintre exerce-t-il sur la chaise?

Rép : 1)a= 3,15m.s-2;2)F? -486N.

8http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices de M´ecanique

Rappel et Compléments du cours

Force de frottement solide, réaction du support Lors du contact entre deux solides, donc lors du contact entre un point matérielM(m) et un solideS, ce dernier exerce sur le pointMune force-→Rappelée réaction, com- posée d"une réaction normale (à la surface de contact)-→N, et d"une réaction tangentielle-→T(dite force de frottement) vérifiantLes lois de Coulomb: • S"il y a glissement deMsurS:||-→T||=f||-→N|| oùfest lecoefficient de frottement1 • S"il n"y a pas de glissement deMsurS(---→vM/S=-→0) :||-→T||< f||-→N||

Remarques :

• En posant

-→N≡N-→u(-→ule vecteur unitaire dirigé deSversM, perpendiculaire à la surface

de contact) : le contact se maintient siN >0et le contact cesse siN= 0.

• En l"absence de frottement (f= 0), la réaction du solideSest normale, c"est-à-dire-→R=-→N;

elle reste donc à chaque instant perpendiculaire au suport. ???Ex-M2.9Glissement d"un solide sur un plan inclin´e Un solide supposé ponctuel de massemest déposé à l"extrémité supérieure de la ligne de plus grande penteOxd"un plan incliné d"angleα, sans vitesse initiale. On noteHla distance de ce point initialO au plan horizontal etgl"intensité du champ de pesanteur. exO A H a

1) Absence de frottement

• Déterminer l"accélération du mobile à l"instantt, lorsque les frottements de glissement sont

négligés. • En déduire la vitesse du mobile au pointA.

2) Existence de frottement de glissement

• Quelle est la condition surf, le coefficient de frottement pour que le solide commence à glisser

àt= 0?

• Reprendre les questions de la partie1.

Rép : 1)vA=⎷

2gH;2)vA=?2gH(1-fcotanα)lorsquef ???Ex-M2.10Points mat´eriels en rotation Un système de deux particules identiquesM1etM2(de massem) peut coulisser sans frottement sur un axe rigide horizontalOx.M1est lié àO, etM2est lié àM1par deux ressorts identiques de constante de raideurket de longueur à videl0. L"axeOxtourne autour deOzà la vitesse angulaire constanteω. On poseK≡k mω2. →Trouver les deux équations du mouvement liantl1, l

2,l0etK.

Conseil :Appeler(Ox0y0z0)le repère cartésien du référentiel terrestre. Faire une vue de dessus

pour une position quelconque de la tige. faire apparaître l"angle orientéθentre l"axe (fixe) des

abscisses(Ox0)et la tige(Ox). Faire apparaître la base locale adaptées à l"étude deM1et de

M 2. Rép :¨l1+ω2(K-1)l1=ω2Kl2et¨l2+ω2(2K-1)l2=ω2K(l1+l0)

1. Le coefficient de frottementfd´epend des mat´eriaux en contact mais pas de la surface de contact. Par

exemplef= 0,6 pour le contact caoutchouc / bitume qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/9

Exercices de M´ecanique2008-2009

???Ex-M2.11fil ´elastique lest´e

Un ressort de masse négligeable, de raideurket de longueur au reposl0, est fixé par ses extrémités

en deux pointsAetBde même altitude et distants ded. Il est lesté en son milieu par un objetquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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