[PDF] Oscillateur harmonique Corrigés en TD : ressort

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MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembreLe symboleIdésigne un exercice demandant un peu plus de calculs.

Le symboleEdésigne un exercice utilisant des idées/méthodes plus originales. Les frottements seront négligés, sauf mention explicite du contraire. Exercices d"application :ressort horizontal, questions courtes, différents paramé- trages, bille accrochée, exploitation de mesures, Culture en sciences physiques :questions courtes, bille accrochée, associations de ressorts, battements Corrigés en TD :ressort horizontal, plan incliné, bille accrochée, exploitation de me- sures,Exercice 1 : Ressort horizontal 1. Représen terun système masse-ressort horizon tal: quand son élongation est maximale, un quart de période plus tard, une demi-période plus tard. 2.

Représen terég alementpar des v ecteursla f orcede tension sur l" extrémitémobile et le v ecteurvitesse

de ce point à chacun de ces instants. 3.

Si l" élongationest maximale (notée lmax) àt= 0, donner une expression de son élongation en fonction

du temps.

Exercice 2 : Questions courtes

1. On comprimeunressorthorizontald"uneélongationldonnée.Onyattacheunobjetqu"onlâchesans

vitesse initiale. Comment varient la vitesse maximale et l"élongation maximale atteintes par l"objet en

fonction de sa masse? 2.

C ommentse peser dans l" espacea vecun ressort ?

3. C ommentév oluentles oscilla tionsdes amortisseurs d"une bascule à ressort comme celle représentée ci-contre selon qu"un adulte ou un en- fant l"utilise?Exercice 3 : Différents paramétrages

On considère un ressort horizontal de raideurket de longueur à videl0dont une extrémité est fixée en

un point A. On fixe une massemà l"autre extrémité M. Le ressort est comprimé à l"instantt= 0 d"une

longueurl0>0. On note M0cette position.

Établir et résoudre l"équation différentielle vérifiée par la position du point M en utilisant différentes

coordonnées et différentes conditions initiales sur le vecteur vitesse#v0. #v0=#0, origine au point A, axe dirigé par# AM0.

vitesse de normev0>0 dirigée en sens inverse de A; origine au point O, défini par la position du point

M quand le ressort a son longueur au repos, axe dirigé par# M0A. #v0=#0, origine en M0, axe dirigé par# AM0.Exercice 4 : Ressort sur un plan incliné

On place un système masse-ressort sur un plan

incliné d"un anglepar rapport à l"horizontale. Le vecteur vitesse initial est ici nul et le ressort est initialement allongé d"une longueurl0. Dé- terminer le mouvement ultérieur en utilisant : 1. les coordonnées X et Z d" origineA et de vecteurs de base# eXet#eZ. 2. les coordonnées xetzde même origine et de vecteurs de base#exet#ez,AM ex#» ez# » eX# » eZαExercice 5 : Bille accrochée à un ressort vertical

Un ressort vertical s"allonge de 5;0cm par rapport à sa longueur au repos quand on suspend à son extrémité

libre une bille de 200g. On cogne la bille lorsqu"elle est à l"équilibre, verticalement et vers le haut. Elle

remonte alors de 2;0cm avant de redescendre. On néglige le frottement de l"air et on prendrag= 9;8ms1.

Déterminer :

la raideur du ressort, la période T et la fréquence de ses oscillations, l"expression du déplacementz(t) par rapport à la position d"équilibre, le module de la vitesse initiale communiquée à la bille lors du choc.

Exercice 6 : Exploitation de mesures

Un dispositif a réalisé l"acquisition de l"allongement d"un ressort au cours du temps. Les résultats sont

présentés graphiquement dans la figure ci-dessous. 1.

On cherche à exprimer l" allongementsous

la formex(t) = Asin(2f0t+'). Déterminer graphiquement les valeurs numériques de

A,f0et'.

2.

Représen terle système masse-ressort a ux

instants correspondant aux points P

1, P2,

P

3et P4. Représenter qualitativement les

vecteurs vitesse et accélération. 3.

La masse de l" objetaccrochée a uressort

vautm= 100g. En déduire la raideur du ressort.00,20,4-505 P 1P 2P 3P

4t(min)x(cm)Exercice 7 : Associations de ressorts

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.1/52017-2018

MPSI2, Louis le GrandOscillateur harmoniqueSemaine du 8 au 14 septembre1.On considère deux ressorts de constan tesde r aideurrespectiv esketk0

et de longueurs à vide respectivesl0Oetl00associés en série comme re- présenté ci-contre. Montrer qu"ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur.OP M k,l

0k?,l?02.On considère main tenantdeux ressorts de constan tesde r aideurres-

pectivesketk0et de même longueur à vide respectiveslOassociés en parallèle comme représenté ci-contre : leurs extrémités sont toujours jointes. Montrer qu"ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur.O Mk,l0 k ?,l0Exercice 8 : Point matériel lié à deux ressorts

Ressorts horizontaux

Un point matériel de massemest attaché à deux ressorts hori- zontaux identiques (longueur au reposl0, constante de raideur k) fixés aux points A et B, fixes dansRT. A BM l 0l0O

xLe point est à l"instanttau point M d"abscisseOM =xà l"instanttet glisse sans frottement le long de

l"axe Ox. 1.

Établir l" équationdi fférentielle du mouvement du point M. Y identifier la pulsation caractéristique

du système!0. 2. À l"instan tinitial, le mobile est immobile en M

0tel queOM

0=x0. Exprimerxen fonction det.

3.

Déterminer les f orcesexercées sur les supports en A et B .Où se trouv ele poin tma térielquand ces

forces sont maximales? 4. V érifierla conserv ationde l" énergiemécanique.

Ressorts verticaux

Les ressorts sont maintenant verticaux.

1. C alculerà l" équilibreles l ongueursl1etl2des ressorts en fonction dem,g,ket a. 2. Établir l" équationdi fférentielle d"évolution dezet en déduire la pulsation carac- téristique. 3. À l"instan tinitial le poin tma térielse trouv een z= 0 animé d"une vitessev0diri- gée selon#ez. Établir l"expression dez(t) et vérifier la conservation de l"énergie. 2aA B M l 1 l 2x z#» gExercice 9 :IBattements entre oscillateurs faiblement couplés

On se propose de comprendre la nature du mouve-

ment du système de deux points matériels représenté sur la figure ci-contre lorsque le point matériel 1 est écarté de sa position d"équilibre d"une distancea(le point 2 est maintenu immobile) puis relâché sans vi- tesse.

Oxx1x2mmk k

k?LLes points matériels ont même massem, les trois ressorts on même longueur à videl0mais le ressort centrala une raideurk0différente de la raideurkcommune des deux ressorts extrémaux. Le mouvement de chaque

masse est unidimensionnel selon l"axe Ox. 1.

Déterminer les positions d" équilibresx1(eq)etx2(eq)de chacun des points matériels. On introduira les

facteurs sans dimension :=l0=L et=k0=k. 2.

Déterminer les équa tionsdi fférentielles satisfaites par les écarts à l"équilibre X1=x1x1(eq)et X2=

x

2x2(eq).

3. Afin de découpler les deux équa tions,on pose X

S= X1+X2et XA= X1X2.

(a) Quelles son tles équa tionsdi fférentielles vérifiées par ces nouvelles variables?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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