[PDF] TRAVAUX DIRIGÉS DE M2 Exercice 1 : Masse liée à

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Exercice 1 :Masse liée à un ressort sur un plan incliné

On considère un ressort de longueur à videl0et de raideurk, dont les extrémités sont reliées à un

point fixeOet un point matérielMde massem.

On néglige tout frottement.

Soit un axeOxsur le plan incliné (voir figure). ?gO x y M

1. Déterminerle, la longueur du ressort à l"équilibre en

fonction del0,m,g,ketα.

2. À partir de la position d"équilibreMest déplacé d"une

distanced < lecomptée algébriquement surOxet lâ- ché sans vitesse initiale àt= 0. Établir, pourt?0, l"équation horaire du mouvement deMen fonction ded,k,metle.

1. Étude statique. On va utiliser la première loi de Newton, ou principe d"inertie pour déter-

miner la longueurledu ressort à l"équilibre.

Le référentiel utilisé est celui lié au sol et considéré comme galiléen. Le système d"axes est

imposé par l"énoncé. On choisit le système {M} le point matériel. Les forces appliquées à

ce système sont : le poids?p=m.?g, la force de rappel du ressort?F=-k(l-l0).?exici et la réaction du support ?R=?Nnormale au support car il n"y a pas de frottement. On représente ces forces sur la figure ci-dessous à gauche. ?g Ox y M ?N ?F ?p ?M ?N ?Fe ?p -?pIH

Comme on se place à l"équilibre (

?F=?Fe), la somme vectorielle des forces appliquées est nulle :?p+?Fe+?N=?0??Fe+?N=-?p. En se reportant à la figure ci-dessus à droite, dansle triangleIHM, on peutécriresinα=Fe p (on s"arrange pour ne pas faire apparaître la normeNde?Nqu"on ne connaît pas). On fait ensuite apparaîtreledansFe=||?Fe||=k(le-l0)>0et commep=||?p||=mg, on en déduitsinα=k(le-l0) mg?le=l0+mgksinα.

2. Étude dynamique : on s"attend à observer des oscillationsdeMautour de la position

d"équilibre précédente. Hors équilibre, c"est la seconde loi de Newton i.e le principe fonda-

mental de la dynamique (PFD) qui s"applique. En conservant le même référentiel et le même système, le PFD prend la forme :m.?a= ?p+?F+?Navec ici?F=-k(l-l0).?exetl=x(t)dépendant du temps. 1

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De façon à faire disparaître?Ndont on ne connaît pas la norme, on projette le PFD selon l"axeOx. Dans la base(?ex;?ey), on a?a= ¨x(t).?ex+ ¨y(t).?ey,?p= +mgsinα?ex-mgcosα?ey; ?N=N?eyet enfin?F=-k(x(t)-l0).?ex. On en déduit l"équation différentielle m¨x(t) = +mgsinα-kx(t) +kl0?¨x(t) +k mx(t) =km(l0+mgksinα) =klem On écrit cette équation sous la forme canonique¨x(t) +ω20x(t) =ω20le. La solution est de la formesol=solH+solPsoit icix(t) =A.cosω0t+B.sinω0t+le. Reste à déterminer les constantes d"intégrationAetB(homogène à des distances) par utilisation des conditions initiales. Àt= 0-, on al=x(0-) =le+detx(0-) = 0la position et la vitesse deMne peuvent pas subir de discontinuité. On en déduitx(0+) =le+d?le+d=A+le?A=det x(0+) = 0 = 0 +ω0.B+ 0?B= 0.

Et finalementx(t) =le+dcosω0t.

On retrouve donc bien un mouvement rectiligne sinusoïdal avecle-d?x(t)?le+d. Exercice 2 :Glissement d"un objet sur un plan incliné Soit un objet de centre d"inertieMet de massemposé sur un plan incliné qui fait l"angleα avec l"horizontale. On notef0le coefficient de frottement statique etfle coefficient de frottement dynamique.

On rappelle que d"après les lois de Coulomb sur le frottementsolide, si on décompose la réaction

du support ?R=?T+?Noù?Test la réaction tangentielle et?Nla réaction normale,T < f0Nau repos etT=f.Nlors du glissement.

1. Pour quelle valeurα0deαl"objet va-t-il commencer à glisser sur le plan incliné (mouve-

ment de translation)?

2. Étudier le mouvement ultérieur,x(t)oùxest le déplacement de l"objet sur le plan incliné.

1. On se place dans le référentiel galiléen lié au sol, le système étudié est le point matérielM.

Pour plus de simplicité, on raisonne dans le cas où le systèmeest encore à l"équilibre sous

l"action des forces qui lui sont appliquées. Bilan des forces (Cf fig ci-dessous à gauche) : • le poids?p=m.?g, • la réaction du support ?R=?T+?Nen décomposant la réaction normale?Net la réaction tangentielle ?T.

Dans le cas considéré, d"après le principe d"inertie (ou première loi de Newton), la somme

vectorielle de ces forces est nulle. On représente ces troisforces sur la figure ci-dessous à droite en respectant?p+?T+?N= 0??T+?N=-?p ?g x y M ?N ?T ?p ?M ?N ?T ?p -?pIH 2

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Dans le triangleMIHobtenu, rectangle enH, on peut écriretanα=TNor d"après les lois de Coulomb, il n"y a pas de glissement tant queT < f0N?T

N= tanα < f0.

On en déduit que l"angle limite d"adhérence estα0= arctanf0.

2. Pourα?α0, le mobile se met en mouvement et on appliquera plutôt la seconde loi de

Newton.

Le référentiel, le système et les forces qui lui sont appliquées restent identiques mais l"ac-

célération?an"est plus nulle :m.?a=?p+?T+?N?=?0 Comme le mobile se déplace selon un axe (mouvement de translation), on a intérêt à tra- vailler par projection suivant le système d"axes(Oxy)avecOla position initiale deM,Ox selon le plan incliné etOynormal àOx. On a alors?a= ¨x(t).?exet pour les forces, en s"aidant de la figure,?T=-T.?ex,?N=N.?eyet ?p=mgsinα.?ex-mgcosα.?ey. On peutécrire le principe fondamental de la dynamique (PFD)sous la forme-T.?ex+N.?ey+ mgsinα.?ex-mgcosα.?ey=m¨x(t)?exquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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