[PDF] Compléments sur les suites Suites adjacentes - Correction - Lycée d

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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:38

Compléments sur les suites

Suites adjacentes - Correction

I Encadrement d"une suite

EXERCICE1

1)?k?N?,?x?[k;k+1],1k+1?1x?1k

En intégrant l"encadrement

1 k+1?? k+1 k1xdx?1k?1k+1?ln(k+1)-lnk?1k

2) On minoreunavec l"encadrement trouvé :

n∑ k=11 k?n∑ k=1[ ln(k+1)-lnk] Comme la dernière somme est télescopique, on a u n?ln(n+1)-ln1?un?ln(n+1) or lim n→+∞ln(n+1) = +∞, par comparaison limn→+∞un= +∞

La suiteun)diverge vers+∞

EXERCICE2

1) Sik?2 etx?[k-1 ;k]alors1k2?1x2

En intégrant l"encadrement on trouve :

1 k2?? k k-11x2dx

2) D"après (2)

n∑ k=21 k2?n∑ k=2? k k-11x2dx n∑ k=2? k k-11 x2dx=? 2

11x2dx+?

3

21x2dx+···+?

n n-11x2dx=? n

11x2dx

Donc on aun=n∑

k=21 k2?? n

11x2dx

•Pour (2) : l"inverse au carré dekest inférieur à l"aire sous la courbe de la fonction inverse au carré entre les abscisses(k-1)etk. •Pour (3) : la somme des inverses au carré à partir de 2 est inférieur à l"aire sous la courbe de la fonction inverse au carré entre les abscisses1 etn.

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

EXERCICES

3)? n

11x2dx=?

-1x? n 1 =1-1n. Donc?n?2,un?1

4) La suite(un)est croissante, car somme de termes positifs, et majorée par 1,

d"après le théorème sur les suite monotone, la suite(un)est convergente vers ??1

EXERCICE3

1)1n(n-1)=1n-1-1n

v n=1+n∑ k=21 (k-1)k=1+n∑ k=2?

1k-1-1k?

Cette dernière somme est télescopique doncvn=1+1

1-1n=2-1n?2

2)?k?2,1

k2?1(k-1)k?1+n∑ k=21k2?1+n∑ k=21(k-1)k?un?vn?2 La suite(un)est croissante, car somme de termes positifs, et majorée par 2, d"après le théorème des suites monotones, la suite(un)converge vers??2

II Calcul de somme

EXERCICE4

Calculer les sommes suivantes :

1)S1=n∑

k=11=n, somme denfois 1

2)S2=n∑

k=0n=n(n+1)somme de(n+1)foisn

3)S3=n∑

k=1k=n(n+1)

2somme desnpremiers entiers naturels.

EXERCICE5

1)S1=n∑

k=11k(k+1)=n∑ k=1?

1k-1k+1?

=1-1n+1.

2)?k?2, ln?

1-1 k? =ln?k-1k? =ln(k-1)-lnk S

2=n∑

k=2ln? 1-1 k? =n∑ k=2[ ln(k-1)-lnk]=ln1-lnn=-lnn

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

II. CALCUL DE SOMME

3)?k?2, ln?

1-1k2?

=ln?(k-1)(k+1)k2? =ln(k-1) +ln(k+1)-2lnk [ln(k-1)-lnk]+[ln(k+1)-lnk] S

3=n∑

k=2ln? 1-1 k2? =n∑ k=2[ ln(k-1)-lnk]+n∑ k=2[ ln(k+1)-lnk] =ln1-lnn+ln(n+1)-ln2=ln?n+1 n? -ln2=ln? 1+1n? -ln2

EXERCICE6

1) À lan-ième étape, il y ancarrés de côté12n-1et donc de surface14n-1

On a doncSn=1+2×1

k=1k×14k-1

2)fest la dérivée deFtelle queF(x) =x+x2+x3+···+xn

F(x)est la somme desnpremiers termes d"une suite géométrique de raisonx et de 1 ertermex. On a donc pourx?=1 :F(x) =x×1-xn

1-x=xn+1-xx-1

Pour retrouverfil suffit de dériverF:

f(x) =[(n+1)xn-1](x-1)-(xn+1-x) (x-1)2 (n+1)xn+1-(n+1)xn-x+1-xn+1+x (x-1)2 nxn+1-(n+1)xn+1 (x-1)2

3) PourSn, on prendx=1

4, on a :

S n=n?1 4? n+1 -(n+1)?14? n +1?1 4-1? 2=16 9?? 14? n?n4-n-1? +1? 16 9? -3n4? 14? n -?14? n +1? n ?1 4? n =ne-nln4=1ln4×nln4enln4, or limn→+∞nln4enln4=limX→+∞XeX=0. donc lim n→+∞n?1 4? n =0 et limn→+∞? 14? n =0 car-1<14<1

Par produit, somme et quotient lim

n→+∞Sn=16 9

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

EXERCICES

On peut proposer l"algorithme sui-

vant :

PourN=10, on trouveS=1,777 8

16

9≈1,777

Variables:N,IentiersSréel

Entrées et initialisation

LireN

0→S

Traitement

pourIde 1 àNfaire

S+I×14I-1→S

fin

Sorties: AfficherS

III Suites récurrentes d"ordre 2

EXERCICE7

1)?n?N,vn+1=un+2-un+1=32un+1-12un-un+1=12(un+1-un) =12vn

La suite(vn)est géométrique de raisonq=1

2et de 1ertermev0=2-1=1

2)Sn=n∑

0v n=n∑

0(un+1-un) =un+1-u0=un+1-1 somme télescopique.

S n=n∑ 0v n=v0×1-?1 2? n+1

1-12=2?

1-?1 2? n+1?

Des deux expressions deSn, on a :

u n+1-1=2? 1-?1 2? n+1? ?un+1=3-?12? n ?un=3-?12? n-1

3) lim

n→+∞? 1 2? n-1 =0 car-1<12<1. Par somme limn→+∞un=3

EXERCICE8

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