[PDF] Suites réelles et complexes 1 Suites récurrentes linéaires réelles ou

View - Download Suites réelles et complexes 1 Suites récurrentes linéaires réelles ou

Previous PDF

Next PDF

Lycée Pierre de Fermat2020/2021

MPSI 1TD

Suites réelles et complexes

Le corpsKdésigneRouC.

1 Suites récurrentes linéaires réelles ou complexes.

?Exercice1.1.Montrer que la suiteu?KNest arithmétique si et seulement si?n?N?,un=un-1+un+12. ?Exercice1.2. Soitu?KN. Calculer, pour toutn?N,In=u1+u3+...+u2n+1dans les cas suivants

1.uest la suite arithmétique de raisonr?Cet de premier termeu0,

2.uest la suite géométrique de raisonq?C?et de premier termeu0.

?Exercice1.3. À faire sans la théorie de la résolution des relations derécurrences linéaires d"ordre1

et2à coefficients constants Résoudre les équations suivantes d"inconnuesu?RN:

1)?n?N?, un+1= 2un,2)?n?N, un+2-2un+1= 0,3)?n?N, un+2-4un= 0

?Exercice1.4.Déterminer explicitement les suites réelles solutions deséquations suivantes.

1.?n?N, un+1-3un=n2-n.

2.?n?N, un+1+un= 2n(-1)n+ 4.

?Exercice1.5.Résoudre les équations suivantes d"inconnuesu?RNet de paramètrea?R:

1)?n?N, un+1-2un=a ,2)?n?N, un+1-2un=an

Convention 0

0= 1. ?Exercice1.6.Déterminer explicitement les suites réelles solutions deséquations suivantes.

1.?n?N, un+2-5un+1+ 6un= 2n2-n.

2.?n?N, un+2=1

2(un+1+un) + 1.

3.?n?N, un+2-un=n-1.

4.?n?N, un+2-4un+1+ 4un= 2n.

?Exercice1.7.

1. Déterminer la suite réelle définie par???u

0= 2 u 1= 3 ?n?N, un+2=⎷ un+1un.

2. Déterminer la suite complexe définie par

?u

0= 1 +i

u

1= 1 +i

?n?N, un+2=u2n+1 u5n. ?Exercice1.8.Déterminer les suites complexes solutions de l"équation ?n?N, un+2=-un+1+ 6un+P(n) pourP(n) = 7×4n,P(n) =n2netP(n) = 3×4n-5n2n+3. ?Exercice1.9.Résoudre les équations suivantes d"inconnuesu?RN:

1)?n?N, un+2-2un+1+ 2un=n⎷

2nsinnπ4,2)?n?N, un+2-2un+1+ 2un= 2n⎷2ncos2nπ8

1

2 Notion de convergence. Opérations sur les limites.

?Exercice2.1.Soit (un)n?N?KNtelle que (u2n)n?Nconverge dansKvers 0. Montrer que (un)n?Nconverge dans

Kvers 0.

?Exercice2.2.Soit (un)n?N?KNqui converge dansKvers??K?. Montrer qu"il existe (α,N)?R+×Ntels que

?n?N, n?N? |un|?α. Quel est l"ensemble des valeurs deαpossible? interpréter géométriquement. ?Exercice2.3.Soit (un)n?N?KNetf:R→R?+telle que limx→0 x>0f(x) = 0 ce qui est défini par la propriété ?η?R?+,?ν?R?+:?x?R+, x?]0, ν]?0< f(x)?η. Montrer que (un)n?Nconverge versl?Ksi et seulement si ?ε?R?+,?N?N,?n?N:n?N? |un-l|?f(ε). Application : comprendre que les assertions suivantes sontéquivalentes : -?ε?R?+,?N?N,?n?N:n?N? |un-l|?ε, -?ε?R?+,?N?N,?n?N:n?N? |un-l|?ε⎷ 3, -?ε?R?+,?N?N,?n?N:n?N? |un-l|?ln(1 +ε) +ε2+⎷ ?Exercice2.4.

1. (a) Soient (un)n?Nune suite réelle telle que (u2n)n?Net (u3n)n?Nconvergent. Montrer simplement (sans utiliser

de résultat sophistiqué) que (un)n?Nconverge et préciser sa limite.

(b) Ce résultat se généralise-t-il au cas d"une suite complexe (un)n?Ntelle que (u2n)n?Net (u3n)n?Nconvergent?

2. (a) Soient (un)n?Nune suite réelle telle que (u3n)n?Nconverge. Montrer que (un)n?Nconverge et préciser sa

limite. On pourra introduire la fonctiong, bijection réciproque dex?→x3.

(b) Le résultat précédent se généralise-t-il au cas d"une suite complexe (un)n?Ntelle que (u3n)n?Nconverge?

3 Convergence de suites réelles

?Exercice3.1.Soit (un)n?Nune suite réelle strictement positive qui converge vers 0. Montrer que, pour toutp?N,

il existeN?Ntel que pour toutn?N,n?N?un< up. ?Exercice3.2.Soit (un)n?Nune suite de nombres réels tels que ?(n, p)?N2,0?un?p n+ 1+1p+ 1.

Montrer que cette suite converge et préciser sa limite. On pourra proposer deux preuves, l"une mettant en oeuvre une

technique de " double détente », l"autre consistant à fixer une dépendance entre les variables libres...

?Exercice3.3.Soient (un)n?Net (vn)n?Ndeux suites réelles.

1. Montrer que, si (u2n+v2n)n?Nconverge vers 0, alorsuetvconvergent vers 0.

2. Montrer que, si (u2n+unvn+v2n)n?Nconverge vers 0, alorsuetvconvergent et donner leur limite.

3. Ces deux résultats restent-ils encore valables siuetvsont des suites complexes?

?Exercice3.4.Soit (un)n?Nune suite de nombres réels tels que ?n?N,?p?N: [p?net (?q?N, q?p?uq?un)].

1. Montrer par un exemple que la suite (un)n?Nn"est pas nécessairement croissante ni même croissante à partir

d"un certain rang.

2. Montrer que si la suite (un)n?Nest majorée, alors elle est convergente.

3. Montrer que si la (un)n?Nn"est pas majorée, alors elle tend vers +∞.

?Exercice3.5.Étudier la convergence des suites suivantes :

1)an=n

k=0k 2 n32)bn=3n2-1n2+ 13)cn=n+ (-1)nn+ (-1)n⎷n4)dn= (2 + (-1)n)1 n

5)en=1

n!n k=1k! 6)fn= (2 + (sinn)n)1 ⎷n7)gn=?10nx?10n(x?R) 8)hn=?2nx?2n(x?R).

Les suites (gn)n?Net (hn)n?Npermettent de prouver la densité des nombres décimaux et dyadiques dansR(et donc

aussi des rationnels dansR). 2 ?Exercice3.6.Posonsun=n? k=02 k2-k.

1. Montrer que la suite

(k 2k?2 3? k))))) k?Nconverge.

2. En déduire qu"il existeM?R?+tel que?k?N,k

2k?M?23?

k

3. Montrer que la suitewn=n?

k=0k

2kconverge puis queuconverge.

4. En calculant 2wn-wn-1, déterminer explicitement la limitew∞dewet en déduire celle deu.

?Exercice3.7.

1. Montrer que, pour toutx?R?+,x-x2

2?ln(1 +x)?x.

2. En déduire les limites des suites (un)n?N?et (vn)n?N?définies parun=n?

k=1? 1-k n2? etvn=n? k=1?

1 +kn2?

Réponses : (un)n?N?et (vn)n?N?convergent respectivement vers1 ⎷eet⎷e. ?Exercice3.8. Suites adjacentes

Soient 0< a0< b0, (an)n?Net (bn)n?Nles suites définies par les premiers termesa0etb0puis, pourn?Npar les

expressions a n+1=an+bn

2, bn+1=?an+1bn

1. Montrer queaetbconvergent vers une même limite.

2. En justifiant l"existence de???

0,π

2? tel quea0=b0cos?, expliciter cette limite en fonction debet?. ?Exercice3.9. Suites adjacentes. Irrationnalité dee. Considérons les suitesuetvdéfinies pour toutn?Nparun=n?k=01 k!etvn=n?k=01k!+1nn!.

1. Montrer queuetvsont adjacentes. On notera?leur limite.

2. Montrer que??R\Q.

3. Montrer par récurrence que,?n?N,?x?R,ex=n?k=0x

k k!+? x

0(x-t)nn!etdt.

4. En déduire, pour toutx?R, la limite de la suite?

n?k=0x k k!? n?N(avec la convention 0

0= 1).

5. Montrer que les suites suivantes convergent et calculer leurs limitesn?k=0ak+b

k!etn?k=0k

2-2k+ 1k!.

4 Suites extraites.

?Exercice4.1.Montrer que si (un)n?N?KNest une suite extraite de (vn)n?N?KN, toute extraction de (un)n?N

est aussi une suite extraite de (vn)n?Ndont on prendra soin de préciser l"injection croissante.

La relation binaireRdéfinie surKNpar

?(u,v)?(KN)2, uRvsiuest une sous-suite dev est-elle une relation d"ordre surKN?

?Exercice4.2.Considérons la suiteu= (⎷n- ?⎷n?)n?N. Montrer, en étudiant les sous-suites (un2)n?Net

(un2-1)n?N?que cette suite diverge. On peut démontrer que l"ensemble des valeurs d"adhérence dela suite (⎷ n- ?⎷n?)n?Nest le segment [0,1] (voir exercice d"oral Centrale MP 2015, RMS 2015 vol 126, exercicenuméro 692).

?Exercice4.3. Très important.Soitu?KN. On suppose qu"il existe (?0,?1)?K2tels que (u2n)n?Net (u2n+1)n?N

convergent respectivement vers?0et?1. 3

1. Montrer que, si?0=?1, alorsu= (un)n?Nconverge vers?0.

2. Ce résultat reste-t-il vrai sans l"hypothèse?0=?1?

3. Si les suites (u3n)n?Net (u3n+1)n?Nconvergent vers la même limite??K, peut-on dire que (un)n?Nconverge

vers??

?Exercice4.4.Soit (un)n?N?KNune suite dont les sous-suites (u2n)n?N, (u2n+1)n?Net (u3n)n?Nconvergent dans

R. Montrer que (un)n?Nconverge et préciser sa limite. Ce résultat persiste-t-il si on ne suppose que la convergence

des sous-suites (u2n) et (u3n)n?N?

?Exercice4.5.Soit (un)n?N?RNune suite réelle croissante dont au moins une sous-suite estconvergente, montrer

que la suite converge. ?Exercice4.6.Donner un exemple de suite (un)n?N?KNdivergente telle que pour toutk?N?\ {1}, la suite extraite (ukn)n?Nconverge. ?Exercice4.7. Toute suite réelle non majorée admet une sous-suite quidiverge vers+∞

1. Soit (un)n?N?RNune suite réelle non majorée. Montrer que

?(M,N)?R×N,?n?N:n?N+ 1 etun?M .

2. En déduire queuadmet une sous-suite qui diverge vers +∞.

3. Montrer que la construction de la question précédente peut être affinée pour prouver queuadmet une sous-suite

strictement croissante qui diverge vers +∞. ?Exercice4.8.Soitu?RNtelle queU={un|n?N}est une partie deRdense dansR. Montrer que l"ensembleLudes valeurs d"adhérence deuestR.

Indication : on pourra se souvenir qu"une partie dense deRprivée d"un nombre fini déléments reste dense dansR.

Remarque : il existe au moins une suiteutel queQ={un|n?N}donc la situation proposée dans l"exercice peut se

produire!

5 Théorème de Bolzano-Weierstrass.

?Exercice5.1.Soientp?N, (a0,...,ap)?Rp+1. Posons, pour toutx?R,P(x) =p?k=0a kxk.

1. Montrer que sup

x?[-1,1]|P(x)|est un plus grand éle´ment.

2. En déduire que sup

x?[-1,1]∩Q|P(x)|= sup x?[-1,1]|P(x)|. On pourra utiliser la densité de [-1,1]∩Qdans [-1,1].

?Exercice5.2. Sur les valeurs d"adhérence d"une suite réelle.Soit (un)n?Nune suite réelle bornée. L"ensemble

des valeurs d"adhérence de la suite (un)n?Nest l"ensemble des limites de toutes les suites extraites de(un)n?N.

Définissons les suites (Mn)n?Net (mn)n?Npour toutn?Npar M n= sup{uk?R|k?[[n,+∞[[}etmn= inf{uk?R|k?[[n,+∞[[}

1. Montrer que (Mn)n?Net (mn)n?Nsont bien définies puis convergentes dansR. On noteraM(u) etm(u) leurs

limites respectives. Comparerm(u) etM(u).

2. Montrer queM(u) etm(u) sont des valeurs d"adhérence de (un)n?N.

3. Montrer que toutes les valeurs d"adhérence de (un)n?Nsont dans [M(u),m(u)].

4. Montrer que (un)n?Nconverge si et seulement siM(u) =m(u).

5.Application.Considérons une suite (vn)n?Nde réels strictement positifs telle que

?(n, m)?N2, vm+n?vm+vn

et cherchons à appliquer les résultats précédents à la suite(un)n?N?définie pourn?N?parun=vn

n. Montrer que, pour tout (n,p,q,r)?N4tels quen=pq+retn >0, v n n?pnvq+vrn puis en déduire que, pour toutq?N?,M(u)?vq qpour conclure que (un)n?N?converge dansR. ?Exercice5.3. Caractérisation de la convergence pour les suites bornées. 4

1. Montrer qu"une suite complexe bornée converge si et seulement si elle possède une unique valeur d"adhérence.

2.Applications

(a) Soitu?CNbornée telle que (u2n-2un)n?Nconverge vers 1. Montrer queuconverge.

(b) Soitu?CNtelleu4converge vers 1 et telle que|un+1-un|<1 à partir d"un certain rang. Montrer queu

converge.

?Exercice5.4. Utilisation de la caractérisation de la convergence pour les suites bornées, exemples

et contre-exemples.

1. Soitu?CNbornée telle que (un-1

3u2n) converge vers 1. Montrer queuconverge vers 0 (on pourra utiliser

le résultat de la question 1 de l"exercice5.3).

2. (a) Montrer que, pour toutn?N?, il existe un unique couple (p,q)?N×N:n= 2p(2q+ 1).

(b) Soitu?CNtelle (un-3u2n) converge vers 0. Montrer queune converge pas nécessairement.

6 Exercices généraux sur les suites.

?Exercice6.1.Montrer que pour toutx?R, lim n→+∞1 n2n k=1?kx?=x2et limn→+∞1n3n k=1?k2x?=x3.

?Exercice6.2.Soient (un)n?Net (vn)n?Ndeux suites réelles strictement positives telles que pour toutn?N,

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Grammaire CM1 / reconnaître le verbe et le sujet Grammaire CM2

[PDF] CONTROLE n°1 de physique chimie - Florimontinfo

[PDF] Exercices avec solutions (Exercices des TDs et - Abdelali ASTITO

[PDF] Exercices ? réaliser en se basant sur les supports de cours

[PDF] Contrôle d 'Histoire : Les traites négrières et l 'esclavage I

[PDF] EXERCICE 1Aspartame et acides aminés 1 L 'aspartame 1

[PDF] exercices sur le théorème de pythagore - CAPES de Maths

[PDF] La relativité du temps - Lycée d 'Adultes

[PDF] GPEC Gestion Prévisionnelle Des Emplois Et Compétences - MDEF

[PDF] Exercices de recherche documentaire - Abf

[PDF] Exercices du chapitre 1 : sources et propagation de la lumière

[PDF] COMPOSÉS AROMATIQUES EXERCICES

[PDF] METHODOLOGIE L EXERCICE DE COMMENTAIRE DE - georepere

[PDF] LE CONTRAT DE TRAVAIL CONTRAT DE TRAVAIL

[PDF] Série d exercices Finance Internationale - ResearchGate