[PDF] Feuille dexercices n?15 : suites récurrentes

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Feuille d"exercices n°15 : suites récurrentes

ECE3 Lycée Carnot

19 mars 2011

Exercice 1 (**)

Soit(un)la suite définie paru0= 1et8n2N,un+1=un+14 (2u2n).

1. On notefla fonction définie parf(x) =x+14

(2x2). Étudier les variations defet déterminer ses points fixes.

2. Montrer que8x2[1;2],jf0(x)j 12

, et quef([1;2])[1;2].

3. En déduire que8n2N,un2[1;2], et quejun+1p2j 12

junp2j.

4. Prouver par récurrence que8n2N,junp2j 12

n, et en déduire la limite de la suite(un).

5. À partir de quel rang a-t-onjunp2j 109?

Exercice 2 (**)

On considère la fonctionfdéfinie sur]0;1e

[[]1e ;+1[parf(x) =xlnx+ 1.

1. Montrer quefest prolongeable par continuité en0. La fonction prolongée est-elle dérivable en

0?

2. Étudiez les variations defet tracer l"allure de sa courbe représentative.

3. Déterminer les points fixes def.

4. On définit une suite(xn)parx0= 2et8n2N,xn+1=f(xn).

(a) Étudiez surR+la fonctiong:x7!x(x+ 1)2, en déduire que8x2]1;+1[,0f0(x)14 (b) En déduire que8n2N,jxn+11j 14 jxn1j, puis quejxn1j 14 n. (c) En déduire la limite de la suite(xn).

Exercice 3 (d"après Essec 2002) (***)

Le but de ce problème est d"étudier numériquement les solutions d"équations du type x n+xn1++x=a.

1.Résolution numérique de l"équationx2+x1 = 0.

On considère dans cette question la fonctionfdéfinie surR+parf(x) =1x+ 1. (a) Montrer que l"équationx2+x1 = 0a une seule racine dans l"intervalle]0;1[et préciser la valeur de cette racine, qu"on notera désormaisr2. 1 (b) Montrer que,8x212 ;1 ,f(x)212 ;1 (c) Calculer la dérivéef0defet prouver que,8x212 ;1 ,jf0(x)j 49 (d) On considère la suite(un)définie paru0= 1et8n2N,un+1=f(un). Prouver que

8n2N,junr2j 49

n , et en déduire la convergence de(un).

2.Résolution numérique de l"équationx3+x2+x1 = 0.

On considère désormais la fonctiongdéfinie parg(x) =1x

2+x+ 1.

(a) Montrer que l"équationx3+x2+x1 = 0a une unique solutionr3appartenant à]0;1[. (b) Montrer que l"intervalle13 ;1 est stable parg. (c) Calculer les dérivéesg0etg00et déterminer le maximum dejg0(x)jsur l"intervalle13 ;1 (d) On considère la suite(vn)définie parv0= 1et8n2N,vn+1=g(vn). Majorerjvnr3j en fonction den, et prouver la convergence de(vn)versr3.

3.Racine positive de l"équationxn+xn1++x2+xa= 0.

On désigne désormais paraun réel strictement positif, et on note, pour tout entiern2,hn la fonction définie parhn(x) =xn+xn1++x2+xa. (a) Montrer que sur l"intervalle]0;+1[, l"équationhn(x) = 0possède une unique racine qu"on noteratn, puis quetn2]0;1[sin > a. (b) Montrer que(x1)hn(x) =xn+1(a+ 1)x+a. (c) Montrer quehn+1(tn)> hn(tn), et en déduire que la suite(tn)est strictement décroissante, puis qu"elle converge vers une limite qu"on notera désormais. (d) Montrer que, siA2N, on aura0< tnntnAsinA. En déduire, en choisissantA > a, quelimn!+1tnn= 0. (e) Exprimer la limiteen fonction dea.

4.Racine positive de l"équationnxn+ (n1)xn1++ 2x2+xa= 0.

On note dans cette partiein(x) =nxn+ (n1)xn1++ 2x2+xa. (a) Montrer que l"équationin(x) = 0possède une unique solution sur]0;+1[, et que cette solution appartient à l"intervalle]0;1[sin(n+ 1)>2a. On notera cette solutionyn. (b) Prouver la relation(x1)2in(x) =nxn+2(n+ 1)xn+1+xa(x1)2. (c) Montrer quein+1(yn)> in(yn). En déduire la décroissance de la suite(yn), et sa conver- gence vers un réel2[0;1[. (d) Montrer que0nynnnynAdès quenA, oùA(A+1)2a. En déduire la limite de la suite(nynn), puis détermineren fonction dea.

Exercice 4 (***)

On considère une suite(un)définie paru0>0et8n2N,un+1=f(un), avecf:x7!x3+ 3x3x2+ 1.

Déterminer la nature de la suite(un)en distinguant éventuellement plusieurs cas selon la valeur de

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