[PDF] Séquence n°5 TRIANGLES SEMBLABLES

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Benoit Launay Collège Varsovie

https://prof-launay.org 4ème Année scolaire 2017-2018

Séquence n°5

TRIANGLES SEMBLABLES

I. Géométrie du triangle : mes propriétés vues en 5ème

Propriété Inégalité triangulaire

Dans tous les triangles, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à la longueur

du troisième côté.

Autrement dit Pour

soit constructible (non aplati), la somme des longueurs des

deux plus petits côtés doit être strictement supérieure à la longueur du plus grand côté.

Propriété

Dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

Exemple Dans le triangle ABC , on peut dire que :

ABC +

ACB +

BAC = 180°

Définition et propriété Triangles isocèles Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. On appelle sommet principal le point commun aux deux côtés de même longueur (point D) et base le côté opposé au sommet principal (segment [EF]) Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure. Réciproquement, si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle. Définition et propriété Triangles équilatéraux Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60°. Réciproquement, si un triangle a deux angles qui mesure 60°, alors il est

équilatéral.

Remarques Constructions réfléchies de triangles ») Toutes ces propriétés sont notamment utiles pour pouvoir construire un triangle donné. Attention, certaines constructions nécessitent parfois de trouver un angle ou une longueur manquante avant ! A B C

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https://prof-launay.org 4ème Année scolaire 2017-2018 II. Triangles semblables : des triangles de même forme Définition On dit que deux triangles sont semblables (ou de même forme) lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Propriété Pour justifier que deux triangles sont semblables

Pour que deux triangles

ont deux angles de même mesure. Démonstration En effet, comme la somme des mesures des toujours égal à 180°, si deux angles sont égaux, alors le troisième le

Exemple

triangles ABC et POT sont semblables de la même forme Attention, ils ne sont pas forcément de la même longueur ! EXERCICE TYPE 1 Montrer que les triangles BAC et MIL suivants sont semblables : - Le triangle BAC est rectangle en B avec

ACB = 27° et BC = 4 cm.

- Le triangle MIL est tel que IL = 15 cm,

MLI = 63° et

MIL = 27°.

Solution Etape 1 Calculons la mesure du troisième angle du triangle BAC.

ABC = 90° (triangle rectangle en B) et

ACB = 27°.

180°.

Donc

BAC = 180 90 27 = 63°.

Etape 2 Montrons les triangles BAC et MIL suivants sont de même forme.

On sait que

MLI =

BAC = 63° et que

MIL =

ACB = 27°.

semblables. -à-dire de même forme.

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https://prof-launay.org 4ème Année scolaire 2017-2018 III. Agrandissement et réduction : une situation de proportionnalité

Exemple 1 6

4 = 3

2 ; 7,5

5 = 3

2 ; 9

6 = 3 2 Les longueurs de deux triangles sont proportionnelles.

On dit que le triangle 2 est un agrandissement

de rapport 3

2 du triangle 1.

Exemple 2 Les longueurs du carré 3 en multipliant les longueurs du carré 4 par 3 4. On dit que le carré 3 est une réduction du carré 4 3 4 Rappel de 5ème Le rapport k agrandissement ou de réduction est aussi appelé échelle. k = longueur obtenue après ou la réduction longueur sur la figure initiale Remarque Si k < 1réduction ; si k > 1agrandissement.

× 3

2

× 3

4

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IV. Triangles semblables et longueurs

Théorème (admis)

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux

sont proportionnelles.

Autrement dit

Si deux triangles ABC et POT sont semblables tel que : A= P ; B= O ; C= T Alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

Longueurs de ABC BC AC AB

Longueurs de POT OT PT OP

Ou encore, on peut écrire plus simplement :

OT

BC = PT

AC = OP

AB = k

EXERCICE TYPE 2 On considère le croquis ci-contre . n vraie grandeur, on a : OD = 2,4 cm ; AO = 5 cm ; AD = 6 cm et BC = 5,1 cm.

1. Justifier que les triangles AOD et BOC sont semblables.

2. En déduire les longueurs du triangle BOC.

Solution

1.

ADO et

OCB ont la même mesure.

Comme les angles

AOD et

BOC sont opposés par le sommet, ils sont aussi égaux. après la leçon, si deux triangles ont deux angles de même mesure, alors ils sont semblables.

Donc les triangles AOD et BOC sont semblables.

2. la question précédente, on sait que les AOD et BOC sont semblables.

la leçon, si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles.

On a donc : Triangle BOC

Triangle AOD BO

AO = CO

DO = BC

AD

On remplace par les longueurs connues : BO

5 = CO

2,4 = 5,1

6. On utilise les produits en croix : BO = 5×5,1

6 = 4,25 cm ; CO = 2,4×5,1

6 = 2,04 cm

×k

Côtés opposés

à C et D Côtés opposés à B et D

Côtés opposés à O

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Théorème réciproque (admis)

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables. EXERCICE TYPE 3 On considère les deux triangles suivants : - le triangle FER tel que FE = 5,1 cm, ER = 6 cm et FR = 7,2 cm. - le triangle SOL tel que SL = 1,7 cm, SO = 2,4 cm et OL = 2 cm.

1. Justifier que les triangles FER et SOL sont semblables.

2. Quel est le rapport de réduction de FER à SOL ?

3. Quels sont les angles deux à deux égaux dans les triangles FER et SOL ?

Solution

1. Calculons les rapports de longueurs deux à deux associées dans les deux triangles :

Triangle SOL

Triangle FER SL

FE = 1,7

5,1 = 1

3 ; SO

FR = 2,4

7,2 = 1

3 ; OL

ER = 2

6 = 1 3

Les coefficients sont tous égaux.

, si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Donc les triangles FER et SOL sont semblables.

2. Le triangle SOL est bien une réduction du triangle FER de rapport 1

3 (inférieur à 1).

3. Les angles deux à deux égaux dans les triangles FER et SOL sont ceux opposés aux

côtés égaux, donc O= R ; L= E ; S= F

Les plus petits côtés

Les deux grands côtés

Les deux autres côtés

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V. Cas particuliers des triangles égaux

Définition On dit que deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont superposables ou isométriques. Remarque Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure. (cas de deux triangles semblables

Propriétés (admises)

de même mesure, alors ils sont égaux. (Figure 1) de même longueur, alors ils sont égaux. (Figure 2)

Exemples

EXERCICE TYPE 4

Le triangle ABC ci-contre est un triangle équilatéral de côté 4 cm et avec AH = 1 cm. La figure ci-

1. Montrer que les triangles AFH, HCG et GBF sont des triangles

égaux.

2. En déduire que le triangle FGH est lui aussi équilatéral.

Solution

1. : AH = CG = BF = 1 cm.

le triangle ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm, on a aussi :

HC = GB = FA = 3 cm.

Enfin, comme les trois

également

FAH = HCG =

GBF = 60°.

la leçon, si deux triangles ont, deux à deux, un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux. Donc les triangles AFH, HCG et GBF sont des triangles égaux.

2. triangles AFH, HCG et GBF sont des triangles

égaux.

Donc, par définition de triangles égaux, je peux conclure que FH = HG = GF. Autrement dit, le triangle FGH est bien un triangle équilatéral.

Figure 1 Figure 2

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