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Les fonctions usuelles

MPSI-Cauchy Prytan´ee National Militaire

Pascal DELAHAYE

25 octobre 2017

Le flocon de Von Koch est un objet de dimensionln4ln3≈1.26

1 Rappels

1.1 Fonctions polynomiales et rationnelles

Proposition 1 :?Les fonctions polynomialesLes fonctions rationnellessont?continuesd´erivablessur leurs ensembles de d´efinition.

Preuve 1 :R´esultats connus!

1.2 Logarithme n´ep´erien

D´efinition 1 :La fonction logarithme

La fonction

f: ]0,+∞[-→]0,+∞[ x?→1/xest continue sur l"intervalle ]0,+∞[.

Elle admet donc des primitives.

On appelle "fonction logarithme n´ep´erien" l"unique primitive defqui s"annule enx= 1.

Cette fonction est not´ee :

ln : ]0,+∞[-→R x?→lnx 1 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 2 :Rappel des propri´et´es principales

1. ln est d´erivable sur ]0 ; +∞[ et?x?]0 ; +∞[,

(ln)?(x) =1x.

2. La fonction ln v´erifie :?x, y >0,

ln(xy) = lnx+ lnyet???ln(1/x) =-lnx ln(x/y) = lnx-lny lnxn=nlnx?n?Z

3. On a :

limx→0+lnx=-∞etlimx→+∞lnx= +∞

4. On a l"in´egalit´e classique :?x >0,

5. On a la limite connue :

ln(x+1) x---→x→01

Preuve 2 :

1. Par d´efinition de la fonction logarithme

2. (a) On d´erive la fonctionfy(x) = ln(xy)-lnx-lnyo`uyest un param`etre strictement positif.

(b) Les deux autres formules s"en d´eduisent.

3. (a) La d´emonstration de la limite en +∞fait appel `a des th´eor`emes vus dans le cours sur la d´erivabilit´e.

(b) La limite en 0 +s"en d´eduit.

4. On ´etudie le signe de la fonctionf(x) = lnx-(x-1).

5. C"est la traduction de la d´erivabilit´e du logarithme en 0.

Remarque1.Les r´esultats pr´ec´edents permettent d"obtenir le graphe de lafonction ln.

Graphe de la fonction logarithme

Exercice : 1

Prouver que pour tout entiern >3, la d´eriv´eeniemede la fonctionf(x) =x2.lnxest donn´ee par :

f (n)(x) = 2.(-1)n-1(n-3)! xn-2

Remarque2.En physique ou SI, on utilise sous la fonction logarithme d´ecimal d´efinie par l"expression : logx=lnx

ln10.

1.3 Exponentielle

D´efinition 2 :La fonction exponentielle

La fonction logarithme n´ep´erien est continue et strictement croissante surI=R+?. Elle r´ealise donc une bijection deI=R+?vers ln(I) =R. On d´efinit la fonction exponentielle comme sa bijection r´eciproque : exp:R-→]0,+∞[ x?→exp(x). En raison des propri´et´es particuli`eres de la fonction exponentielle, on notera plutˆot : exp(x) =ex 2 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque3.Vous verrez en deuxi`eme ann´ee que l"on peut d´efinir la fonction exponentielle par :

x?→ex=+∞? n=0x n n! Proposition 3 :Rappel des propri´et´es principales

1. exp est d´erivable surJ=Ret?x?R,

exp?(x) =exp(x)

2. exp est un morphisme de groupes :?(x, y)?R2,

ex+y=exeyet?enx= (ex)n?n?Z e -x= 1/ex

3. On a l"in´egalit´e classique :?x?R,

ex≥1 +x

4. Limites :

limx→-∞ex= 0+etlimx→+∞ex= +∞.

5. Autre limite importante :

limx→0e x-1x= 1 .

Preuve 3 :

1. On applique le th´eor`eme de d´erivation d"une fonction r´eciproque

2. C"est une cons´equence de la relation fonctionnelle ln(xy) = lnx+ lny.

Les deux autres formules se d´eduisent facilement de la premi`ere.

3. On ´etudie la fonctionf(x) =ex-(1 +x).

4. Ces deux limites se d´eduisent imm´ediatement des limites en 0

+et en +∞de la fonction logarithme.

5. C"est la traduction de la d´erivabilit´e de l"exponentielle en 0.

Remarque4.On obtient le graphe de la fonction exp par sym´etrie du graphe de ln par rapport `a la premi`ere bissectrice.

Dessin

Graphe de la fonction exponentielle

1.4 Fonctions puissancexα=eαlnx(o`uα?R!!)

D´efinition 3 :D´efinition dexnpourn?Z

Pourx?Retn?N?On a par d´efinitionxn=x×x× ··· ×x(nfois)

Pourx?R?netn?Z\NOn a par d´efinitionxn=1

x-n

Pourx?ROn a par conventionx0= 1

3 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ D´efinition 4 :D´efinition dexαpourα??Z Pourα??Z, on d´efinit :fα: ]0,+∞[-→R x?→xα=eαlnx

Remarque5.V´erifier la coh´erence de cette d´efinition avec les d´efinitions connues dexnlorsquen?ZsurR+?.

Proposition 4 :Les fonctions puissances v´erifient les propri´et´es usuelles despuissances enti`eres.

Ainsi,

??(α, β)?R2 ?x?R+?:1.xα.xβ=xα+β

2. (xα)β=xα.β

3. xα xβ=xα-β

Preuve 4 :La v´erification est imm´ediate!

Exemple 1.D´emontrer les formules ln(xα) =α.lnxet (ex)α=eαxpour toutα?R.

Remarque6.Les fonctions puissances montre que le flocon de Von Koch est un objet fractal de dimentionln4

ln3.

D´efinition 5 :Les fonctions "racine ni`eme"

Soitn?N?.

La fonctionf:x?→xnest?continuestrictement croissantesurR+. Elles sont donc bijectives deR+dansR+.

Leur bijection r´eciproque est appel´ee "racine ni`eme" et est not´ee :f-1:R+-→R+ x?→n⎷ x. Remarque7.On v´erifie facilement que pour toutx?R+?, on a :n⎷ x=x1n

Proposition 5 :

1.fαest d´erivable surR+?(fonction compos´ee) et

?x?R+?, f?a(x) =αxα-1.

2. En notantI=]0,+∞[,

- Siα= 0,fαest constante et vaut 1. - Siα >0,fαest strictement croissante surI. - Siα <0,fαest strictement d´ecroissante surI.

Preuve 5 :V´erifications imm´ediates!

α= 1

0< α <1

α <0

α >1

α= 0

Figure1 - Fonctions puissancexα

4 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 6 :Continuit´e et d´erivabilit´e en 0

1. Lorsqueα >0, on peut prolonger par continuit´efαet 0 en posantfα(0) = 0.

2. D´erivabilit´e en 0 :

- Siα >1,fαest d´erivable en 0 avecf?α(0) = 0. - Siα= 1,fαest d´erivable en 0 avecf?α(0) = 1. - Si 0< α <1,fαn"est pas d´erivable en 0 (demi-tangente verticale).

Preuve 6 :Simples calculs de limites!

Proposition 7 :Inverse d"une fonction puissance

La fonctionfαest bijective deR+?dansR+?et :

f -1α=f1 Preuve 7 :On d´emontre facilement en v´erifiant que?x?R+?fαof1α(x) =f1αofα(x) =x

Exercice : 2

Justifiez la d´erivabilit´e de la fonctionfd´efinie sur ]0;π2[ parf(x) = (cos2x)lnx.

Calculez sa d´eriv´ee.

Proposition 8 :Une nouvelle Forme Ind´etermin´ee

Lors du calcul de limite, la forme

1∞est une forme ind´etermin´ee!

Preuve 8 :Il suffit de calculer les limites en 0 des fonctions d´efinies parf1(x) = (1+x)1xetf2(x) = (1-x)1x.

Remarque8.Rappel des diff´erentes formes ind´etermin´ees :0

0,∞∞, 0× ∞et +∞ - ∞.

Remarque9.

Ne jamais prendre la limite d"une puissance qui d´epend de la variable!!

On ´evite ce probl`eme en exprimant l"expression `a l"aide de la forme exponentielle qui d´efinit la fonction puissance.

1.5 Comparaison des fonctionsln,expet puissances

D´efinition 6 :Notation de Landau

Soitaune notation qui repr´esente, soit un r´eel, soit±∞(a?¯R).

Soientfetgdeux fonctions d´efinies au voisinage dea, avecgne s"annulant pas au voisinage deapriv´e dea.

On dira quefestn´egligeabledevantgau voisinage dealorsque : lim x?→af(x) g(x)= 0 et on ´ecrira :f(x) =o(g(x)) Th´eor`eme 9 :Comparaison des fonctions usuelles en+∞ Soientα, β, γtrois r´eels strictement positifs.

1) Comparaison puissance et exponentielle : en +∞:xα=o(eβx)

2) Comparaison ln et puissance : en +∞: lnγx=o(xα) d"o`uxαlnβx----→x→0+0

3) Comparaison ln et exponentielle : en +∞: lnγx=o(eβx)

Preuve 9 :

1. On se ram`ene `a l"´etude de la limite de

ex xθen +∞. Puis on ´etudie la fonctionf(x) =ex/2xθ.

2. On se ram`ene `a la situation pr´ec´edente en posanty= lnx.

3. On utilise les deux r´esultats pr´ec´edents.

Exemple 2.Calculez les limites suivantes :

5 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.f(x) =⎷x.ln(3x) en 0+.2.g(x) =34xx3en +∞. 3.h(x) = lnx.x3exen +∞.

2 Les fonctions circulaires et leurs r´eciproques

2.1 Rappels sur les fonctions circulaires

Proposition 10 :

Les fonctions?x?→cosx

x?→sinxsontC∞surRet : ?x?R:?(cosx)?=-sinx (sinx)?= cosx.

La fonctionx?→tanxestC∞surR\{π

2[π]}et :?x?R\{π2[π]}: (tanx)?= 1 + tan2x=1cos2x

Preuve 10 :R´esultats connus et admis!

Remarque10.Dans la proposition pr´ec´edente, les notations (cosx)?, (sinx)?et (tanx)?sont pratiques mais incorrectes!

On acceptera cependant cetabus de notation.

0-π2π2π1

-1 y= sin(x) -π2π2π1 -1y= cos(x) Je vous rappelle les formules de trigonom´etrie `a connaˆıtre imp´erativement :

1. cos(a+b) = cosa.cosb-sina.sinb

2. sin(a+b) = sina.cosb+ cosa.sinb

3. tan(a+b) =tana+tanb

1-tana.tanb4. cos2a= cos2a-sin2a= 2.cos2a-1 = 1-2.sin2a

5. sin2a= 2sina.cosa

6. tan2a=2.tana1-tan2a

-π2π2π3π2 y= tan(x)

On obtient en posantt= tanθ2:

1. cosθ=1-t2

1+t22. sinθ=2t1+t23. tanθ=2t1-t2

6 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque11.

Les formules pr´ec´edentes sont en particulier utiles dans le calculd"int´egrales ou de primitives de fonctions circulaires.

Proposition 11 :Comparaison au voisinage de 0

1. sinx x---→x→01 2.tanxx---→x→01 3.1-cosxx2/2---→x→01

Preuve 11 :

1. Les deux premi`eres limites se prouve g´eom´etriquement en appliquant le th´eor`eme des gendarmes et en

comparant des aires dans le cercle trigonom´etrique.

Les d´emonstrations utilisant la d´eriv´ee des fonctions sin et tan en 0 n"est pas acceptable car on utilise

les valeurs de ces limites pour prouver leur d´erivabilit´e.

2. On l`eve la forme ind´etermin´ee en multipliant num´erateur et d´enominateur par 1 + cosx.

2.2 La fonctionarcsin

Sur l"intervalle [-π

2,π2], la fonction sinus est continue strictement croissante vers [-1,1].

Elle admet donc une bijection r´eciproque not´ee arcsin : [-1,1]?→[-π2,π2] .

La fonction arcsin :

Quelques valeurs particuli`eres `a connaˆıtre : arcsin(0) = 0 arcsin(1/2) =π

6arcsin?1⎷2?=π4arcsin?⎷

3

2?=π3arcsin(1) =π2

"arcsinxest l"arcde [-π2,π2] dont lesinusestx" Remarque12.Comme la fonction sin, la fonction arcsin est impaire et croissante Exemple 3.D´emontrer que?x?]-1,1[,tan(arcsinx) =x ⎷1-x2

Attention : Pi`ege!!!

La d´efinition de la fonction arcsin nous donne deux relations :?1.?x?[-1,1] on a : sin(arcsinx) =x

2.?x?[-π

2,π2] on a : arcsin(sinx) =x

Mais que dire de arcsin(sinx) pourxr´eel quelconque?...

Exercice : 3

Etudier l"applicationfd´efinie surRpar :f(x) = arcsin(sinx). 7 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/

Proposition 12 :

La fonction arcsin est d´erivable sur l"intervalle ]-1,1[ (demi-tangentes verticales en-1 et 1) et

?x?]-1,1[,(arcsin)?(x) =1⎷1-x2 Preuve 12 :Application du th´eor`eme de d´erivation de la r´eciproque d"une fonction.

Remarque13.

La fonction arcsin n"est pas d´erivable aux bornes de son ensemble de d´efinition.

Proposition 13 :Limite

On a la limite suivante : limx→0arcsinx

x= 1 Preuve 13 :Cons´equence de la d´erivabilit´e de la fonction arcsinus en 0.

2.3 La fonctionarccos

Sur l"intervalle [0,π], la fonction cosinus est continue strictement d´ecroissante vers[-1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque not´ee arccos : [-1,1]?→[0,π] .

La fonction arccos :

Quelques valeurs particuli`eres `a connaˆıtre : arccos(0) =

2arccos(1/2) =π3arccos?1⎷2?=π4arccos?⎷

3

2?=π6arccos(1) = 0

"arccosxest l"arcde [0, π] dont lecosinusestx" Remarque14.Comme la fonction cos, la fonction arccos est d´ecroissante. Exemple 4.D´emontrer que?x?[-1,1], x?= 0,tan(arccosx) =⎷ 1-x2 x

Attention : Pi`ege!!!

La d´efinition de la fonction arccos nous donne deux relations :?1.?x?[-1,1] on a : cos(arccosx) =x

2.?x?[0, π] on a : arccos(cosx) =x

Mais que dire de arccos(cosx) pourxr´eel quelconque?...

Proposition 14 :

La fonction arccos est d´erivable sur l"intervalle ]-1,1[ (demi-tangente verticale en-1 et 1), et ?x?]-1,1[,(arccos)?(x) =-1⎷1-x2 8 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 14 :Application du th´eor`eme de d´erivation de la r´eciproque d"une fonction. Remarque15.La fonction arccos n"est pas d´erivable aux bornes de son ensemblede d´efinition.

Proposition 15 :

?x?[-1,1], arcsinx+ arccosx=π2(1) etarccosx+ arccos(-x) =π(2)

Preuve 15 :On peut par exemple ´etudier les d´eriv´ees des fonctions?f(x) = arcsinx+ arccosx

g(x) = arccosx+ arccos(-x).

Formule 1Formule 2

Remarque16.

1. La relation (1) permet d"exprimer la fonction arccos en fonction de la fonction arcsin.

On pourra ainsi l"utiliser pour remplacer arccos(x) par arcsin(x) dans les ´etudes de fonctions.

2. On peut utiliser la relation (2) pour prouver que le graphe de la f

◦arccos est sym´etrique par rapport `aA(0,π 2). Exemple 5.Etudier l"applicationfd´efinie surRpar :f(x) = arccos(cosx).

Exercice : 4

Etudier la fonctionfd´efinie parf(x) = arcsin(sinx) +12.arccos(cos2x) dans le but de la repr´esenter.

2.4 La fonctionarctan

Sur l"intervalle ]-π

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