[PDF] Chapitre 2 : Fonctions usuelles

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Chapitre 2 : Fonctions usuelles

PTSI B Lycée Eiffel

22 septembre 2014

Logarithme et exponentielle dînent ensemble au resto. C"est exponentielle qui paye toute la note, pourquoi ?

Parce que logarithme népérien!

Ce deuxième chapitre de l"année a pour principal objectif deconstituer un catalogue des fonctions

que nous considérerons comme suffisamment classiques pour que leur maîtrise soit indispensable.

Certaines de ces fonctions ont déjà été étudiées au lycée (logarithme népérien et exponentielle),

les autres ne font intervenir aucune théorie supplémentaire, si ce n"est la notion de bijection qui

sera abordée en début de chapitre. Nous reverrons égalementà l"occasion de ce chapître quelques

propriétés de la dérivation, thème que nous reprendrons nettement plus en profondeur un peu plus

tard dans l"année.

Objectifs du chapitre :

•maîtrise du vocabulaire classique sur les fonctions, et capacité à calculer sans erreur et rapide-

ment toute dérivée faisant intervenir les formules classiques de dérivation.

•maîtrise des règles de calcul sur l"exponentielle, le logarithme et les puissances : résolution

d"équations se ramenant à du second degré, manipulation aisée des racines carrées. •connaissance des dérivées et représentations graphiques des fonctions hyperboliques.

1 Généralités

1.1 Domaine de définition

Définition 1.Unefonctionf:Df?→Rest un objet mathématique associant à tout réelx

appartenant à un sous-ensembleDfdeR, un réelyégalement notéf(x). L"ensembleDfest appelé

domaine de définitionde la fonctionf.

Méthode :Pour déterminer un domaine de définition, on fera notamment attention au trois pro-

blèmes suivants : •annulation d"un dénominateur : sif(x) =x+ 1 x2-4, alorsDf=R\{-2;2}. •positivité sous une racine : sif(x) =⎷

4-2x, alorsDf=]- ∞;2].

•stricte positivité sous un ln : sif(x) = ln(x2-9), alorsDf=]- ∞;-3[?]3;+∞[

1.2 Parité, périodicité

Définition 2.Une fonctionfestpairesi son domaine de définition est symétrique par rapport à0

et?x? Df,f(-x) =f(x). Elle estimpairesi son domaine de définition est symétrique par rapport

à0et?x? Df,f(-x) =-f(x).

1

Remarque1.La condition sur la symétrie de l"ensemble de définition est nécessaire pour assurer que

-xappartienne toujours au domaine de définition def. Méthode :Pour prouver qu"une fonction est paire (ou impaire), on exprimef(-x)en fonction de xet on essaie de le mettre sous une forme permettant de constater quef(-x) =f(x). Pour prouver qu"une fonction n"est pas paire, il suffit de trouver un contre-exemple, donc une valeur dexpour laquellef(-x)?=f(x). Attention tout de même, le fait quef(-2) =f(2)par exemple ne prouve rien. Proposition 1.La courbe représentative d"une fonction paire dans un repère orthogonal est sy-

métrique par rapport à l"axe(Oy)du repère. La courbe représentative d"une fonction impaireest

symétrique par rapport à l"origine0du repère. Démonstration.Graphiquement, la parité s"exprime comme ceci : si un pointA(x;f(x)), le point A

?(-x,f(x))appartiendra également à la courbe (et vice-versa). Or,A?n"est autre que le symétrique

deApar rapport à l"axe(Oy). Le raisonnement est le même pour les fonctions impaires. Définition 3.Une fonctionfest périodique de périodeTsi, quel que soitxappartenant àDf, x+Tappartient àDfetf(x+T) =f(x).

Remarque2.Une fonction périodique possède plusieurs périodes différentes, puisque tout multiple

d"une période est également une période. Ainsi, la fonctioncosest périodique de période2π, mais

aussi4πou encore-56π. Il existe toutefois toujours une période qui sera la plus petite période

positive de la fonctionf, et qu"on appelle par abus de langage la période de la fonctionf. Proposition 2.La courbe représentative d"une fonctionfpériodique de périodeTest invariante par translation de vecteurT-→i. Démonstration.Le point(x,f(x))ayant pour image par cette translation le point(x+T,f(x)), c"est une conséquence immédiate de la définition.

1.3 Monotonie

Définition 4.Une fonction réellefestcroissante(resp.décroissante) sur un intervalleIsi, ?(x,y)?I2,x < y?f(x)?f(y)(resp.f(x)?f(y)). Je vous épargne les définitions de croissance et décroissance stricte. Définition 5.Une fonction réellefadmet unmaximum(local) enxsur l"intervalleIsix?Iet ?y?I,f(y)?f(x). On parle demaximum globalsiI=Df. On définit de mêmeminimum local et global. Définition 6.Le réelmest unminorantde la fonctionfsur l"intervalleIsi?x?I,f(x)?m. De même,Mest unmajorantdefsurIsi?x?I,f(x)?M. On dit quefest bornée surIsi elle y admet à la fois un majorant et un minorant.

Proposition 3.La somme de deux fonctions croissantes (respectivement décroissantes) sur un même

intervalleIest croissante (resp. décroissante) surI.

Démonstration.C"est évident à partir de la définition : sif(x)?f(y)etg(x)?g(y), alorsf(x) +

g(x)?f(y) +g(y).

Définition 7.Sifest une fonction définie sur un intervalleIetgune fonctions définie surf(I),

alors lacomposéedefet degest la fonction définieg◦fsurIparg◦f(x) =g(f(x)). Proposition 4.Si les fonctionsfetgsont de même monotonie surIet surf(I)respectivement, alorsg◦fest croissante surI. Si les fonctionsfetgsont de monotonie opposée surIet surf(I)respectivement, alorsg◦fest décroissante surI. 2

Démonstration.C"est là encore très facile : si par exemple les deux fonctions sont décroissantes,

x?yimpliquef(x)?f(y), puis par décoirssance degsurf(I), on trouveg(f(x))?g(f(y)), donc g◦fest décroissante. Les autres cas sont très similaires. Exemple :La fonctionf:x?→e⎷xest croissante surR+comme composée de deux fonctions croissantes.

1.4 Variations

Commençons par l"essentiel : un petit tableau récapitulatif des dérivées à connaitre sur le bout des

doigts, incluant les dérivées de fonctions usuelles ainsi que les formules de dérivation classiques :

fonctiondérivéeDfDf?condition k0RRc?R xnnxn-1RRn?N? 1 xn-nxn+1R?R?n?N? exexRR ln(x)1 xR?+R?+ cos(x)-sin(x)RR sin(x)cos(x)RR u+vu?+v? uvu?v+uv? 1 v-v?v2u v u?v-uv? v2g◦ff?×g?◦f

Remarque3.Cette dernière formule (dérivation d"une composée) généralise d"un seul coup tous les

cas particuliers que vous avez pu voir au lycée, notamment(ln(u))?=u? uet(eu)?=u?eu. Théorème 1.Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, alorsfest croissante surIsi et

seulement sif?est positive surI, etfest décroissante surIsi et seulement sif?est négative surI.

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, alors sif?est strictement positive surI, sauf

éventuellement en un nombre fini de points où elle s"annule, la fonctionfest strictement croissante

surI. De même, sif?est strictement négative surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points

où elle s"annule,fest strictement décroissante surI.

Proposition 5.Soitfune fonction dérivable en un pointa, alors la tangente à la courbe représen-

tative en son point d"abscisseaa pour équationy=f?(a)(x-a) +f(a).

Démonstration.En effet, cette droite a une équation de la formey=αx+β, et doit vérifier deux

conditions : elle a pour coefficient directeurf?(a), doncα=f?(a), et elle doit passer par le point

de la courbe de coordonnées(a,f(a)), doncf(a) =αa+β, soitβ=f(a)-αa=f(a)-af?(a). L"équation est doncy=f?(a)x+f(a)-af?(a) =f?(a)(x-a) +f(a).

1.5 Bijections

Définition 8.Une fonctionf:I→Jest unebijectionde l"intervalleIdans l"intervalleJsi tout élément deJadmet exactement un antécédent par la fonctionfdans l"intervalleI. Définition 9.Sifest une fonction bijective deIdansJ, on appellebijection réciproquedefla

fonctiong:J→Iqui, à un réelyappartenant àI, associe son unique antécédentxpar la fonction

f. L"applicationgest alors une bijection de l"intervalleJdans l"intervalleI. On la notef-1. 3 Exemple :La notion de réciproque est intuitivement simple, il s"agitsimplement de créer une

fonctiongqui " fait le contraire » de la fonctionf. Mais pour cela, la condition sur l"unicité des

antécédents est indispensable, sinon on aura plusieurs possibilités pour la définition de la fonctiong.

Un exemple que vous connaissez déjà est celui de la racine carrée, qui est la réciproque de la fonction

carréf:x?→x2. Attention tout de même, la fonctionfn"est pas une bijection deRdansR, puisque

les réels négatifs n"ont pas d"antécédent parf, mais que les réels strictement positifs en ont deux.

Par contre, cette même fonctionfest bijective deR+dansR+. C"est pour cela que la racine carrée

est une fonction définie seulement surR+, à valeurs dansR+(dans la définition de la racine carrée,

on précise bien qu"il s"agit d"un nombre positif). Remarque4.Pour toutxappartenant àI, on af-1(f(x)) =x; pour toutxdansJ,f(f-1(x)) =x. De plus, les représentations graphiques des fonctionsfetf-1dans un repère orthogonal sont des courbes symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Théorème 2.Soitf:I→June fonction continue et strictement monotone. Alorsfeffectue une bijection deIdansJ. De plus, sa réciproquef-1est également continue et strictement monotone, de même monotonie quef. Proposition 6.Soitf:I→June bijection dérivable surIet telle que?x?I,f?(x)?= 0, alors sa bijection réciproque est dérivable surJet?y?J,(f-1)?(y) =1 f?(f-1(y)).

Exemple :Si on reprend l"exemple de la racine carrée, on trouve en utilisant le fait que(x2)?= 2x,

la formule bien connue(⎷ x)?=12⎷x.

2 Logarithmes et exponentielles

Éternel dilemme du professeur de maths au moment d"aborder cette partie du cours : exponentielle d"abord ou logarithme en premier? Quel que soit le choix, soyez conscients que la construction

s"appuiera à ce stade sur des résultats puissants que nous neserons pas en mesure de démontrer :

existence d"une primitive à une fonction continue pour le logarithme, existence d"une solution à

une équation différentielle pour l"exponentielle. Nous commencerons avec le logarithme (c"est le plus

traditionnel) car les démonstrations sont plus faciles à enchaîner dans ce sens, mais je vous donnerai

également des définitions indépendantes de l"exponentielle.

2.1 La fonction logarithme népérien

Définition 10.La fonctionln(logarithme népérien) est l"unique primitive de la fonction inverse

x?→1 xsur l"intervalle]0;+∞[s"annulant pourx= 1. Proposition 7.Principales propriétés de la fonctionln: •Pour tous nombres réels strictement positifsxety,ln(xy) = ln(x) + ln(y). •Les formules suivantes découlent de la première propriété :ln?1 x? =-ln(x);ln?xy? ln(x)-ln(y); pour tout entier relatifn,ln(xn) =nln(x). •La fonctionlnest strictement croissante surR+?. •limx→0ln(x) =-∞etlimx→+∞ln(x) = +∞ •Il existe un unique réel, notée, vérifiantln(e) = 1.

Démonstration.

•Puisque tout ce que nous savons pour l"instant sur le logarithme est qu"il est une primitive de1 x, la démonstration va passer par une dérivation. Fixons doncune valeur dey >0, et posonsg(x) = ln(xy)-ln(x)-ln(y). La fonctiongest définie et dérivable sur]0;+∞[, de 4 dérivéeg?(x) =yxy-1x= 0. La fonctiongest donc constante surR+?. Commeg(1) = ln(y)-ln(1)-ln(y) = 0, on en déduit que?x >0,ln(xy)-ln(x)-ln(y) = 0, ce qui est

équivalent à notre propriété.

•En choisissanty=1

xdans la formule précédente, on obtientln(1) = ln(x)+ln?1x? , soitln(x)+ ln ?1 x? = 0, ce qui prouve le premier point. Il suffit ensuite d"écrireln?xy? = ln? x×1y? ln(x) + ln?1 y? = ln(x)-ln(y)pour obtenir le deuxième. La dernière formule se prouve, pour les valeurs positives den, par récurrence. Pourn= 0,ln(x0) = ln(1) = 0 = 0×ln(x). Ensuite, si on suppose vraie la proptiété au rangn, alorsln(xn+1) = ln(xn×x) = ln(xn) + ln(x) =

nln(x)+ln(x) = (n+1)ln(x), ce qui prouve l"hérédité de la propriété. Pour les valeurs négatives

den, on écrit simplementln(x-n) = ln?1 xn? =-ln(xn) =-nln(x). •Sa dérivée étant strictement positive, c"est clair.

•La fonction étant croissante, elle admet nécessairement une limite (finie ou infinie) en+∞, il

suffit donc de prouver qu"elle n"est pas majorée pour obtenir une limite infinie. Or, en prenant unxpour lequelln(x)>0(par exemplex= 2), on aln(xn) =nln(x), qui a pour limite+∞

lorsquentend vers+∞. La fonction ne peut donc être majorée, etlnx→+∞(x) = +∞. En posant

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