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Transformations géométriques

Thomas Budzinski

Table des matières

1 Symétries centrales et axiales, translations

2

2 Homothéties4

2.1 Définitions et propriétés de base :

4

2.2 Quelques applications classiques :

6

2.3 Homothéties et cercles :

8

2.4 Chasse aux tangentes

10

2.5 Conseils pour les exercices

12

2.6 Exercices

12

3 Rotations14

3.1 Cours

14

3.2 Conseils pour les exercices

16

3.3 Exercices

16

4 Similitudes directes

17

4.1 Définitions et propriétés de base

17

4.2 Centre d"une similitude

19

4.3 Deux similitudes pour le prix d"une

21

4.4 Similitudes indirectes

22

4.5 Conseils pour les exercices :

22

4.6 Exercices

23

5 Indications pour les exercices

25

6 Solutions des exercices

26

Introduction

Une transformation géométrique est unebijectiondu plan dans lui-même, c"est-à-dire une

manière d"associer à chaque point un autre point, de telle manière que tout point soit l"image

1 d"un autre point, et que deux points différents aient des images différentes. Les transforma-

tions auxquelles on va s"intéresser conservent la plupart des propriétés géométriques inté-

ressantes. Par exemple, toutes envoient une droite sur une droite, un cercle sur un cercle, un angle de42sur un angle de42, un carré sur un carré et ainsi de suite...

Le fait de s"intéresser aux transformations qui préservent certaines propriétés est un élé-

ment essentiel de la géométrie "moderne" (c"est-à-dire celle pratiquée depuis leXIXesiècle)

que vous rencontrerez si vous continuez des études en mathématiques. Cependant, les trans-

formations du plan sont aussi très utiles dans la résolution de problèmes de géométrie plus

élémentaires. Le but de ce document est de vous présenter les transformations usuelles du

plan et la manière de les utiliser pour résoudre des problèmes de géométrie de type olym-

pique. Il est possible de sauter les preuves en première lecture, la plupart des résultats étant

de toute façon assez intuitifs. Les exercices de ce cours sont de difficultés variables mais rarement très faciles. Si vous bloquez sur un exercice, vous pouvez d"abord consulter les indications qui se trouvent avant

les solutions. Il est conseillé d"avoir déjà lu un cours de géométrie de type olympique de

niveau débutant avant d"aborder celui-ci.

Ce polycopié se suffit en principe à lui-même, mais le lecteur intéressé pourra également

lire les livres "Geometric Transformations" de Yaglom (en anglais... ou en russe!). Les deux premiers tomes couvrent le contenu de ce cours et le troisième aborde un sujet plus avancé : les transformations projectives. 1

Symétries centrales et axiales, translations

Vous connaissez déjà certaines transformations du plan : la symétrie centrale, la symétrie

axiale et, si vous êtes au moins en Seconde, la translation. Rappelons tout de même leurs définitions : Définition 1.1.Soit(d)une droite. Lasymétrie axialed"axe(d)est la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que(d)soit la médiatrice de[MM0]. Définition 1.2.SoitOun point. Lasymétrie centralede centreOest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel queOsoit le milieu de[MM0].

Définition 1.3.Unvecteur, noté!v, est un objet géométrique caractérisé par une direction, un

sens et une longueur. On dessine un vecteur avec une flèche. Le vecteur partant du pointAet allant jusqu"au pointBest noté!AB. Exemple 1.4.Sur la figure1 , on a!AB=!vcar!ABet!vont la même direction (20avec l"horizontale), le même sens (vers la droite) et la même longueur. Définition 1.5.Soit!vun vecteur. Latranslationde vecteur!vest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que!MM0=!v.

Etant donnée une transformation géométrique, il est toujours intéressant de savoir quelles

propriétés elle conserve : Proposition 1.6.a)Les symétries centrales et axiales et les translations conservent les droites, les cercles, les angles, les longueurs. 2 AB AB! vFIGURE1 - Deux vecteurs égaux.(d)O! vFIGURE2 - Une figure et ses images par la symétrie centrale (en bleu), la symétrie axiale (en vert), et une translation (en rouge). Notons que l"image par la symétrie axiale lève le bras droit, car la symétrie axiale est la seule transformation qui inverse les angles orientés. 3 b)Les symétries centrales et les translations conservent les angles orientés : si A,BetC ont pour imageA0,B0etC0, alors(!A0B0;!A0C0) = (!AB;!AC). c) Les symétries axiales inversent les angles orientés : si A,BetCont pour imageA0,B0 etC0, alors(!A0B0;!A0C0) =(!AB;!AC).

Bien que très simples, ces transformations permettent déjà de résoudre certains exercices,

notamment des problèmes de construction :

de cette rivière. On veut construire un pont perpendiculaire à la rivière. Où le construire pour

que le trajet deAàBsoit le moins long possible? Exercice 2Etant donnés deux pointsAetCet un cercle, construire deux pointsBetDsur tels queABCDsoit un parallélogramme. Exercice 3On se donne un cerclede rayonr, une droite(d)et une longueura2r. Construire une droite parallèle à(d)qui coupeenXetYtelle queXY=a. 2

Homothéties

2.1

Définitions et propriétés de base :

Nous allons maintenant étudier une classe de transformations plus large et plus utile que

celles que nous connaissons déjà : les homothéties. Les homothéties sont des "agrandisse-

ments" ou des "réductions". Avant de les définir, commençons par un complément sur les vecteurs : Définition 2.1.Soientkun nombre réel et!vun vecteur : Si k0, on notek!vle vecteur de même direction et de même sens que!vet dont la longueur estkfois celle de!v. Si k0, on notek!vle vecteur de même direction que!v, de sens opposé à celui de!v et dont la longueur estkfois celle de!v.! u! v=2!uFIGURE3 - Exemple de multiplication d"un vecteur par2. Définition 2.2.SoientOun point du plan etkun nombre réel. L"homothétiede centreOet de rapportkest la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel que!OM0=k!OM. Exemple 2.3.Les symétries centrales sont des homothéties de rapport1. Les homothéties conservent aussi de nombreuses propriétés : 4 O FIGURE4 - Une figure et son image par les homothéties de centreOet de rapport2(en bleu) et12 (en rouge). Proposition 2.4.a)Les homothéties conserv entles dr oites,les cer cles,les angles orientés. b) L "imaged"une dr oite(d)par une homothétie est parallèle à(d). c) Une homothétie de rapport kmultiplie toutes les longueurs parjkj. Elle conserve donc les rapports de longueurs. Démonstration.b)Soient AetBdeux points etA0etB0leurs images : on aOA0OA =jkj=OB0OB donc d"après le théorème de Thalès(A0B0)==(AB). c) D"après b) et le théorème de Thalès, on a

A0B0AB

=OA0OA =jkj. a) Soit Cun troisième point etC0son image :(A0B0)==(AB)et(B0C0)==(BC)donc on a \A0B0C0=[ABCdonc l"homothétie conserve les angles, donc elle conserve toutes les propriétés qui peuvent s"exprimer avec des angles, comme l"alignement ou la cocycli-

cité.Un intérêt important des transformations géométriques est la possibilité de les composer :

Définition 2.5.Soientt1ett2deux transformations : on notet2t1la transformation qui à tout pointMassociet2(t1(M)). Cela revient à appliquert1puist 2. Théorème 2.6.Soienth1eth2deux homothéties de centresO1etO2et de rapportsk1etk2: a) Si k1k26= 1, alorsh2h1est une homothétie de rapportk1k2dont le centre est sur(O1O2). 5 b)Si k1k2= 1, alorsh2h1est une translation de vecteur parallèle à(O1O2). Démonstration.a)On admet que la composée est une homothétie, cela peut se pr ouver soit avec du calcul vectoriel, soit comme cas particulier des résultats sur la composée de deux similitudes qu"on verra plus loin dans le cours. Commeh1multiplie les longueurs (algébriques) park1eth2park2, la composée les multiplie park1k2donc son rapport est k

1k2. De plus, le centre deh2h1est aligné avecO1eth2h1(O1) =h2(O1). Ce dernier

point doit être sur(O1O2)donc le centre deh2h1aussi. b) On admet que la composée est une translation et on note O3=h2h1(O1) =h2(O1): O

3est aligné avecO1etO2donc!O1O3est parallèle à(O1O2), mais c"est justement le

vecteur de notre translation.Il est également utile de savoir quand on peut introduire une homothétie qui envoie un

certain objet sur un autre : Proposition 2.7.a)Soient A,B,A0etB0quatre points : il existe une homothétie ou trans- lation qui envoieAsurA0etBsurB0si et seulement si(AB)==(A0B0). De plus, dans ce cas, une telle transformation est unique. b) Soient O,AetA0alignés : il existe une unique homothétie de centreOqui envoieAsur A 0. Démonstration.a)Si (AB)et(A0B0)ne sont pas parallèles, une telle homothétie ne peut pas exister. Si elles le sont, le centre doit être sur(AA0)et sur(BB0): soit ces droites sont parallèles, et alorsAA0B0Best un parallélogramme et notre transformation est la translation de vecteur!AA0=!BB0, soit elles se coupent enXavecXA0XA =XB0XB par Thalès, donc notre homothétie est celle de centreXet de rapportXA0XA b) Il s"agit de l" homothétiede centr eOet de rapportOA0OA (en longueurs algébriques).2.2Quelques applications classiques : Commençons par ce résultat que vous connaissez certainement déjà : Théorème 2.8.Les trois médianes d"un triangle sont concourantes. De plus, le point d"inter- section se trouve aux deux tiers des médianes.

Démonstration.A

BCB 0C 0G 6 On noteA0,B0etC0les milieux de[BC],[CA]et[AB]. On sait que(B0C0)==(BC), donc il existe une homothétiehqui envoieBsurB0etCsurC0. De plus, le centre dehest(BB0)\ (CC0). On le noteG. Ce pointGest sur le segment[BB0]donchest de rapport négatif, et B

0C0=12

BCdonchest de rapport12

, doncGB0=12

GBdoncBG=23

BB0, et de même

CG=23 CC0. Le point aux deux tiers de[BB0]est donc le même que le point aux deux tiers de[CC0]. En faisant le même raisonnement surAetB, on montre que ce point est aussi aux deux tiers de [AA0]. Remarquons que l"homothétie de centreGet de rapport12 envoie donc chaque sommet

deABCsur le mileu du côté opposé.Passons à la droite et au cercle d"Euler, deux autres applications classiques des homothé-

ties :

Théorème 2.9.(Droite et cercle d"Euler)

SoientABCun triangle,Ole centre de son cercle circonscrit,Gson centre de gravité (i.e le point d"intersection de ses médianes) etHson orthocentre (i.e le point d"intersection de ses hauteurs). On noteA0,B0etC0les milieux de[BC],[CA]et[AB]etD,E,Fles pieds des hauteurs issues deA,BetC. Alors : a)O,GetHsont alignés. b)

Les points A0,B0,C0,D,EetFsont cocycliques.

7 A BCO A 0B 0C 0H DE F G Démonstration.a)Soit hl"homothétie de centreGet de rapport12 : on ah(ABC) = A

0B0C0, donchenvoieHsur l"orthocentre deA0B0C0. Or,Oest l"orthocentre deA0B0C0.

En effet,(OA0)est perpendiculaire à(BC), donc à(B0C0)par le théorème de la droite des milieux, donc c"est la hauteur issue deA0dansA0B0C0. O,GetHsont donc alignés et, plus précisément,!GO=12 !GH. b) Soit le centre du cercle circonscrit àA0B0C0: on sait que =h(O)doncG =12 GO doncO =32 OG=12

OH, donc

est donc le milieu de[OH].

Le point

est donc équidistant des droites(AD)et(OA0), donc A0=

D. Pour mon-

trer cela proprement, on peut par exemple introduireXle projeté orthogonal de sur (BC): par Thalès,Xest le milieu de[A0D]donc(

X)est la médiatrice de[A0D].

On en déduit queDest sur le cercle circonscrit àA0B0C0, et de même pourEetF.2.3Homothéties et cercles :

Les homothéties font également très bon ménage avec les cercles, ce qui peut être utile dès

que de nombreuses tangentes apparaissent dans un problème. Proposition 2.10.(i)Soient C1etC2deux cercles. Il existe exactement deux homothéties 8 O 1O 2XYC 1C

2FIGURE5 - Deux cerclesC1etC2.Xest le centre de l"homothétie positive qui envoieC1surC2

etYle centre de l"homothétie négative. qui envoieC1surC2: une de rapport positif et une de rapport négatif. Si les deux cercles sont de même rayon, la première est une translation. (ii) Si aucundesdeuxcerclesn"estàl"intérieurdel"autre,lecentredel"homothétiepositive est le point d"intersection des tangentes communes extérieures àC1etC2. (iii) Si les deux cer clesne s"intersectent pas, le centr ede l"homothétie positive est le point d"intersection des tangentes communes extérieures àC1etC2.

Remarque 2.11.Les points (ii) et (iii) ont des cas dégénérés intéressants : si les deux cercles

sont tangents extérieurement, alors le point de tangence est le centre de l"homothétie négative

quienvoie l"unsur l"autre. Si ilssonttangents intérieurement,lepoint detangence estlecentre de l"homothétie positive.

Démonstration.(i)Admis

(ii) Soit hl"homothétie positive qui envoieC1surC2et(t)une des deux tangentes com- munes :h(t)est parallèle àtet tangente àC2. Comme on veut une homothétie positive, elle doit de plus être du même côté deC2que(t)deC1, donch(t) = (t)donc le centre dehdoit être surt. Il en est de même pour l"autre tangente commune extérieure, donc le centre est l"intersection des tangentes communes extérieures. (iii)

Similai reà (ii). En combinant cette proposition avec le fait que le centre d"une composée d"homothéties

est aligné avec les centres des deux homothéties (voir théorème 2.6 ), on obtient : Théorème 2.12.(Théorème de Monge) SoientC1,C2etC3trois cercles tels qu"aucun ne soit en- tièrement à l"intérieur d"un autre. On noteXle point d"intersection des tangentes communes 9 C 1C 2C 3XZY

FIGURE6 - Le théorème de Monge.

extérieures àC1etC2,Ycelui deC2etC3ainsi queZcelui deC3etC1.

AlorsX,YetZsont alignés.

Démonstration.Xest le centre de l"homothétie positiveh1qui envoieC1surC2etYcelui de l"homothétie positiveh2qui envoieC2surC3. De mêmeZest le centre de l"homothétie posi- tiveh3qui envoieC1surC3. Mais d"après la proposition précédente, il n"existe qu"une telle

homothétie donch3=h2h1, donc les centres des trois homothéties sont alignés.Remarque 2.13.Ce théorème reste vrai si on remplace exactement deux foisles tangentes

communes extérieures par les tangentes communes intérieures. La preuve est à peu près la

même mais avec cette fois une homothétie négative qui est la composée d"une négative et

d"une positive. 2.4

Chasse aux tangentes

Nous terminons cette section par une technique qui n"est pas directement reliée aux homo-

théties mais qui intervient souvent dans le même type de problèmes : la chasse aux tangentes,

qui "remplace" la chasse aux angles dans certains problèmes. La chasse aux angles, que vous connaissez déjà bien, consiste à exploiter le fait que des

points soient sur des cercles pour obtenir des égalités d"angles et trouver d"autres points co-

cycliques. La chasse aux tangentes consiste à exploiter le fait que des droites soient tangentes à

des cercles pour obtenir des égalités de longueur et trouver d"autres droites tangentes. L"idée

est d"utiliser de manière répétée le résultat facile suivant : Lemme 2.14.SoitCun cercle etAun point extérieur àC. Les tangentes àCpassant parA touchentCenXetY.

AlorsAX=AY.

Un premier résultat de chasse aux tangentes est le suivant, que vous connaissez peut-être déjà. 10 Proposition 2.15.SoitABCun triangle. On posea=BC,b=CAetc=AB. Le cercle inscrit àABCtouche[BC]enX. Le cercleA-exinscrit àABCtouche[BC]enT(rappelons que le cercleA-exinscrit est le cercle tangent au côté[BC]et aux demi-droites[AB)et[AC)au-delà deBetC).

AlorsBX=CT=a+cb2

etCX=BT=a+bc2

Démonstration.XYZA

BC Txx y yz z NotonsYetZles points où le cercle inscrit touche[CA]et[AB]: on posex=AY=AZ, y=BZ=BXetz=CX=CY. On a alorsy+z=a,z+x=betx+y=cd"où a+cb2 =y+z+x+yzx2 =yet, de même,a+bc2 =z. La preuve pour le cercle exinscrit est similaire (il faut introduire les points où il touche

[AB)et[AC)) et est laissée en exercice.Un autre résultat classique issu de la chasse aux tangentes est le suivant.

Proposition 2.16.SoitABCDun quadrilatère convexe. AlorsABCDadmet un cercle inscrit si et seulement si

AB+CD=BC+AD:

Démonstration.

PQR S ABCD 11 Commençons par le sens direct : siABCDadmet un cercle inscrit, on noteP,Q,RetSles points de tangence comme sur la figure et on effectue une chasse aux tangentes :

AB+CD=AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS=AD+BC

Le sens inverse est moins évident : siAB+CD=BC+AD, soit!un cercle tangent à [AB],[BC]et[AD](son centre sera l"intersection des bissectrices de[ABCet\BAD). SoitD0 l"intersection de(AD)avec la deuxième tangente à!passant parC: le quadrilatèreABCD0 est convexe et admet un cercle inscrit doncAB+CD0=AD0+BDdoncAD0CD0= ABBC=ADCDdoncAD0AD=CD0CD. Si par exempleAD0ADalors comme A,DetD0sont alignés, on alorsDD0=AD0AD=CD0CDdoncCD0=CD+DD0donc C,DetD0sont alignés, doncD0est sur(AD)et(CD)doncD0=D. Le casAD0ADse traite

similairement.Remarque 2.17.La ressemblance est frappante entre ce théorème et la caractérisation "ABCD

admet un cercle circonscrit si et seulement si bA+bC=bB+bD". 2.5

Conseils pour les exercices

Si il y a deux dr oitesparallèles, il peut y avoir une homothétie intér essantequi envoie l"une sur l"autre. Si vous r epérezp lusieurshomothéties intér essantes,essayez de les composer ! Dès que vous r epérezdeux tangentes communes à deux cer cles,intér essez-vousà une homothétie qui envoie un cercle sur l"autre : vous connaissez son centre! Si il y a de nombr eusestangentes communes sur la figur e,utilisez le théorème de Monge! N"hésitez pas à introduire des cercles supplémentaires (cercles inscrits par exemple) pour pouvoir l"utiliser. Si il y a beaucou pde tangentes, pensez à la chasse aux tangentes !

Si vous avez bien assimilé le cours, il peut êtr eutile de r etenirles exer cices7, 9 et 10 qui

peuvent se retrouver dans des problèmes plus compliqués. 2.6

Exercices

Attention : les derniers exercices sont très difficiles! Exercice 4SoientABCetA0B0C0deux triangles tels que(AB)soit parallèle à(A0B0),(BC)à (B0C0)et(CA)à(C0A0). Montrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont parallèles ou concourantes. Exercice 5SoitABCun triangle avec trois angles aigus. Construire un carré qui a deux sommets sur[BC], un sur[AB]et un sur[AC]. Exercice 6SoientABCDun trapèze avec(AB)parallèle à(CD),Mle milieu de[AB]etPun point de(BC). On poseX= (PD)\(AB),Q= (PM)\(AC)etY= (PQ)\(AB).

Montrer queMest le milieu de[XY].

Exercice 7SoitABCDun quadrilatère convexe tel que les cercles inscrits àABCetADC soient tangents.

Montrer queABCDadmet un cercle inscrit.

12 Exercice 8Deux cercles1et2sont tangents extérieurement enA, et une tangente commune extérieure est tangente à1enBet à2enC. SoitDle point diamétralement opposé àBdans 1.

Montrer queA,CetDsont alignés.

Exercice 9SoitABCun triangle. On noteson cercle inscrit etAson cercleA-exinscrit. Le cercletouche[BC]enI, etAtouche[BC]enJ. SoitKle point dediamétralement opposé

àI.

Montrer queA,JetKsont alignés.

Exercice 10Soient!1et!2deux cercles tangents en un pointAavec!2à l"intérieur de!1. Soit B2!2différent deA. La tangente à!2enBrecoupe!1enXetY.

Montrer que

\BAX=[BAY. Exercice 11SoientABCun triangle etson cercle circonscrit. SoitAun cercle tangent à (AB)et(AC), et tangent intérieurement àen un pointA0. On définit de manière similaire

B,B0,CetC0.

Montrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes. Exercice 12SoientABCun triangle,Ile centre de son cercle inscrit,Dle point de contact du cercle inscrit avec[BC],Jle centre du cercleA-exinscrit,Ele pied de la hauteur issue deAet

Kle projeté orthogonal deIsur cette hauteur.

Montrer que(DK)et(EJ)sont parallèles.

Exercice 13SoitABCun triangle,Dle point de contact du cercle inscrit avec[BC],Ile centre du cercleA-exinscrit etMle milieu de la hauteur issue deA.

Montrer queM,DetIsont alignés.

Exercice 14SoitABCDun quadrilatère convexe. On suppose que les cercles inscrits aux tri- anglesABC,BCD,CDAetDABont un point commun.

Montrer queABCDest un losange.

Exercice 15Soientun cercle et1,2deux cercles tangents intérieurement àenAetB. On note(d1)et(d2)les tangentes à2passant parA, et(d3)et(d4)les tangentes à1passant par B. Montrer que ces quatre doites forment un quadrilatère circonscriptible. Exercice 16SoitABCDun quadrilatère circonscriptible et!son cercle inscrit, de centreO. On noteXl"intersection de(AD)et(BC). Le cercle!1est tangent aux prolongements de[AD] et[BC]et au côté[AB]enK. Le cercle!2est tangent aux prolongements de[AD]et[BC]et au côté[CD]enL. On suppose queX,KetLsont alignés. Montrer queO, le milieu de[AB]et le milieu de[CD]sont alignés. Exercice 17(Shortlist 2007) SoitABCDun quadrilatère convexe etPsur[AB]. On note!,!1 et!2les cercles inscrits àPCD,PADetPBC. On noteIle centre de!. On suppose que!1et

2sont tangents à!enKetL. On pose enfinE= (AC)\(BD)etF= (AK)\(BL).

Montrer queE,IetFsont alignés.

Exercice 18(IMO 2008) SoitABCDun quadrilatère convexe avecBA6=BC. On note!1et!2 les cercles inscrits àABCetADC. On suppose qu"il existe tangent à(BA)au-delà deA, à (BC)au-delà deC, à (AD) et à (CD). Montrer que les tangentes communes extérieures à!1et!2se coupent sur 13 O FIGURE7 - Une figure et son image par la rotation de centreOet d"angle75. 3

Rotations

3.1 Cours Définition 3.1.SoientOun point du plan etun angle. Larotationde centreOet d"angle (orienté)est la transformation qui à tout pointMassocie le pointM0tel queOM0=OMet (!OM;!OM0) =. Exemple 3.2.Les symétries centrales sont des rotations d"angle.

Les rotations conservent toutes les propriétés géométriques intéressantes, y compris les

longueurs : Proposition 3.3.a)Les r otationsconservent les longueurs. b) Les r otationsco nserventles dr oites,les cer cles,les angles. c) L "imaged"une dr oite(d)par une rotation d"anglefait un angleavec(d).

Démonstration.

a) Si une r otationde centr eOenvoieAsurA0etBsurB0, alorsOA=OA0,OB=OB0et (!OA;!OA0) = (!OB;!OB0)donc les trianglesOABetOA0B0sont isométriques etA0B0=AB. b) Comme une r otationconserve les longueurs, un tr iangleet son image sont isométriques donc ont les mêmes angles, et la rotation conserve les angles. Elle conserve donc toutes les propriétés pouvant s"exprimer avec des angles, comme l"alignement et la cocyclicité. 14 c)Soient A0etB0les images deAetBpar une rotation de centreO. On utilise la relation de

Chasles pour les angles orientés :

!AB;!A0B0) = (!AB;!AO) + (!AO;!A0O)(!A0B0;!A0O) Comme les trianglesOABetOA0B0sont directement isométriques, le premier et le dernier

terme se simplifient tandis que le second vaut.De même que les homothéties, il est intéressant de composer les rotations :

Proposition 3.4.Soientr1etr2deux rotations d"angles1et2: a)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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