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TRANSFORMATIONS DE L" ESPACE EN

TERMINALE "C"

Rédigé par

NGO MASSEMBLA MARIE NOEL

en vue de l"obtention du Diplôme De Professeur d"Enseignement Secondaire Deuxième Grade dirigé par

Dr MBA Alphonse ( Chargé de Cours )

M. MEGAMTCHE Luc Calvin (PLEG)

ENS, le 20 juillet 2014

|Résumé|Dans ce mémoire , le travail est fait en deux grandes parties . Dans la première partie on

élabore un cours détaillé et bien structuré sur les applications de l"espace , en terminale C , et

on propose une série de trente exercices variés et regroupés en thèmes . En plus des thèmes

prévus par les programmes officiels , nous étudions les rotations de l"espace et les vissages

comme compléments de cours . Dans la deuxième partie qui est la réflexion pédagogique nous

étudions la classifications des isométries de l"espace . Pour le faire , on utilise la classification

par points invariants. De cette classification ,Il ressort que toute isométrie de l"espace distincte

de l"application identique, et qui admet pour ensemble des points invariants :un plan ,est une

réflexion; une droite , est une rotation; un singleton , est une symétrie centrale; l"ensemble vide

,est une translation ,un vissage , ou une symétrie glissée .DI.P.E.S II 2013 - 2014iv

|Abstract|In this dessertation, the work has been divided into two main parts . In the first part, we

have given a detailed lesson on the application of space as used in Terminale" C". We have also proposed a series of thirty exercises that are varied and regrouped as fonction of the objectives used . A part from themes found in the official programme, we have studied spatial rotation and[vissages]as a complement to the lesson . In the second part, which is based on pedagogic reasoning and understanding , we have studied the classification of space isometry. To do this, we have used classification by invariant points. From this classification , it is realized that, all space isometry is different from identical application, and it has a set of invariant points; of which : plane is a reflection; a straight line is a rotation; a singleton is a central symmetry; an empty set is a translation, a vissage, or a glided symmetry .DI.P.E.S II 2013 - 2014v |Table des matières|Dédicacei

Remerciements ii

Déclaration sur l"honneur iii

Résuméiv

Abstractv

INTRODUCTION GENERALE 1

1 COURS SUR LES APPLICATIONS DE L"ESPACE EN TERMINALE C 2

1.1 Présentation générale de la ressource . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Pré-requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Objectifs généraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 Objectifs pédagogiques spécifiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.4 Schema pédagogique de la ressource . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.5 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2 Homothéties de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 PROJECTIONS DANS L"ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1 Projection sur un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2 Projection sur une droite()parallèlement à un plan(). . . . . . . .22

1.4 REFLEXIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.4.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 DI.P.E.S II 2013 - 2014vi

Table des matières

1.4.4 Expression analytique d"une réflexion de plan . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.5 Composée de deux réflexions de plans parallèles . . . . . . . . . . . .

31

1.4.6 Exercice d"application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.5 ROTATIONS DANS L"ESPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.5.1 Demi-tour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.5.2 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.6 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.6.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.6.2 ENONCES DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.6.3 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.6.4 Reflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.6.5 Demi-tours et Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2 REFLEXION PEDAGOGIQUE 50

2.1 ORIGINE ET MOTIVATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2 CLASSIFICATION DES ISOMETRIES PAR POINTS INVARIANTS . . . . .

51

2.2.1 Rappels et présentation d"un vissage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2.2 Classification des Isometries par points invariants . . . . . . . . . . . .

54

2.2.3 Tableaux recapitulatifs de la classification des isométries. . . . . . . . .

57

CONCLUSION GENERALE 59

Bibliographie 60DI.P.E.S II 2013 - 2014vii

|INTRODUCTION GENERALE|La quête permanente pour l"amélioration de l"enseignement des mathématiques et les pro-

grès faits en didactique des mathématiques, ont permis, la création de plusieurs projets didac-

tiques dont le but est non seulement de rendre plus accessibles les connaissances mathéma- tiques,mais aussi de diffuser des connaissances mathématiques nécessaires aux occupations des hommes. Autrement dit, arrimer l"enseignement des mathématiques aux TICE (Technologie de l"information et de la communication pour l"enseignement); d"une part, et d"autre part, dispen-

ser des savoirs mathématiques utiles pour résoudre les problèmes de la vie courante.C"est dans

cette optique, que le projet PReNUM-AC ( Production de Ressources Numériques pour l"ensei- gnement des mathématiques au secondaire en Afrique Centrale ), nous a permis de produire une ressource sur les applications de l"espace en terminale C, en vue d"améliorer le cours contenu dans les différents manuels au programme.Ainsi ce mémoire comporte deux grandes parties, la première est une ressource,qui traite tout le cours sur les applications de l"espace en classe de terminale C-E du programme officiel de mathématiques en vigueur au Cameroun.L"objectif

principal de la ressource étant de produire un cours bien structuré et accessible à tous,un effort

particulier a été fait, tant dans le domaine pédagogique que dans le domaine technique, afin

de rendre l"ensemble encore plus claire. Ainsi, de nombreux exercices adaptés aux différents

objectifs pédagogiques ont été proposés; des innovations pédagogiques ont été introduites.La

que les enseignants ont à illustrer par des exemples précis , une conception active de la pédago-

gie des mathématiques relative à ce cours. C"est pourquoi dans cette partie nous étudierons la

classification des isométries par points invariants, pour donner aux enseignants un outil pouvant les aider à implementer facilement le cours sur les applications de l"espace en terminale "C. L"ouvrage comprend 2 chapitres : un chapitre pour le cours subdivisé en sept parties clairement

différenciées et représentant chacune une notion; et un autre pour la réflexion pédagogique.La

conclusion de ce mémoire retrace la quintessence de ce qui y a été développé et envisage des

perspectives attenantes .DI.P.E.S II 2013 - 20141 ? ?Chapitre Un? ?COURS SUR LES APPLICATIONS DE L"ESPACE EN TERMINALE C1.1 Présentation générale de la ressource

1.1.1 Pré-requis

. Pour mieux aborder ce cours, l"élève doit connaître les notions suivantes :

T ransformationsa ffinesdu plan.

Orthogonalité dans l"espace.

V ecteursde l"es pace.

Géométrie anal ytiquedans l"espace.

Isométrie du plan .

1.1.2 Objectifs généraux.

Proposer à nos collègues et à leurs élèv esun cours ut ileet agréable à la bonne compré-

hension des applications de l"espace. Apporter des améliorations et des compléments sur le cours contenu dans les manuels au programme , afin de permettre aux élèves d"assimiler ces nouvelles notions et d"abor- der ainsi dans de bonnes conditions , le cours de géometrie et d"algèbre linéaire fait à université.

1.1.3 Objectifs pédagogiques spécifiques.

A la fin de ce cours, l"élève devra être capable de : Reconnaitre par des propriétés bien claires chacune des applications de l"espace et les caractériser. Donner l"e xpressionan alytiquede chacune de ces applications de l"espace. DI.P.E.S II 2013 - 20142

1.1. Présentation générale de la ressource

De f airela compos itionentre ces applications

Définir une rotati onde l"espace , déterminer son angle.

Définir et reconnaî treun vissage

utiliser la c lassificationdes isométries de l"espace pour résoudre les e xercices.

1.1.4 Schema pédagogique de la ressource

1.Activités d"approchesElles introduisent des notions nouvelles et ressortent l"objectif général de la notion à

enseigner. En général leurs conclusions seront mises en évidence.

2.DéfinitionsBien stucturées, elles seront écrites dans un langage accessible à tous.

3.PropriétésElles énonceront tous les resultats du programme et seront illustrées d"exemples et com-

plétées par des remarques et commentaires.

4.Exercices d"applicationChacun de ces exercices porte sur un savoir faire énoncé en titre. La solution proposée

fait ressortir clairement le point méthode et explique aussi la démarche suivie pour trouver une solution.

1.1.5 Généralités

Dans les classes précédentes, nous avons étudié le parallélisme et l"orthogonalité des droites

et des plans de l"espace. Dans ce chapitre nous utiliserons ces notions pour définir des applica-

tions de l"espace et étudier leurs propriétés. Dans cette ressource, l"espaceest muni du repère

(O;~i;~j;~k):!Wdésigne l"ensemble des vecteurs de l"espace. !Le vocabulaire et les résultats concernant les applications du plan s"étendent à l"espace. Une transformati onde l"espace est une application bijecti vede dans: Une isométrie de l"espace est une application dedansqui conserve les distances. Une application af finede est une application dedansdont l"application linéaire associée conserve le coéfficient de colinéarité.DI.P.E.S II 2013 - 20143

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

!Une application dedansest une application affine si et seulement si elle vérifie l"une ou l"autre des conditions suivantes : Elle conserv ele bary centrede npoints pondérés(n2Nnf0;1g)

Son e xpressionanalyt iqueest de la forme : 8

>>>>:x

0=ax+by+cz+d

y

0=a0x+b0y+c0z+d0

z

0=a"x+b"y+c"z+d"

!Les propriétés des applications affines du plan s"étendent à l"espace. En particulier : Une application af finede est déterminée par la donnée d"un repère deet de son image; L "ensembledes points in variantspar une application af fineest ;;un singleton, une droite, un plan, ou L "imaged"une droite par une application af fineest un singleton ou un plan ; A toute application af finede est associé un endomorphisme'de!Wdans lui même telle que pour tous points A et B deon a :'(!AB) =!f(A)f(B) !Toute isométrie de l"espaceest une transformation affine. !Une isométrie conserve l"alignement, le parallélisme et l"orthogonalité. !Une isométrie conserve les aires et les volumes.

1.2 TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

1.2.1 Translations

Activité

SoitABCDEFGH,un cube

1. Détermi nerles images par la translation de v ecteur !AEdes pointsA;B;C;D. 2. Détermine rles images par la translation de v ecteur !ABdes pointsA;D;H;D 3. On considère l erepère orthonormal (A;!AB;!AD;!AE).

Donner coordonnées des vecteurs

!DCet!DHdans ce repère. 4. Définir anal ytiquementla translation de v ecteurs !DC+!DH

SolutionDI.P.E.S II 2013 - 20144

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

1. Les points E;F;GetHsont les images respectives des pointsA;B;CetDpar la trans- lation de vecteur !AE. 2. Les points B;C;GetFsont les images respectives des pointsA;D;H;Dpar la transla- tion de vecteur !AB 3.

Donnons les c oordonnéesdes v ecteurs

!DCet!DHdans le repère(A;!AB;!AD;!AE).

Les vecteurs

!ABet!DCsont égaux. Donc!AB=!DC= (1;0;0).

De même,on a

!DH=!AE= (0;0;1). 4. Donnons l"e xpressionanalytique de la translation de v ecteur !DC+!DH.

Posons

!u=!DC+!DH. alors ,on a !u(1;0;1). Ainsi soitM(x;y;z)un point de l"espace etM0(x0;y0;z0)son image par la translation de vecteur !u.

On a :

MM0=!u()0

B BB@x 0x y 0y z 0z1 C CCA=0 B BB@1 0 11 C CCA

D"où

8>>>< >>:x

0=x+ 1

y 0=y z

0=z+ 1DI.P.E.S II 2013 - 20145

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

!udanslerepère(A;!AB;!AD;!AE).

Définition

Soit !uun vecteur de l"espace.

On appelle translation de vecteur

!uet on notet!u, l"application de l"espace dans lui même qui à tout pointMassocie le pointM0tel que!MM0=!u. C"est à dire quet~u(M)=M0 Remarque 1.2.1.-Si !u=!oalorsM0=M, est l"application identique et tous les points de l"espace sont invariants part!O. Si !u6=!O, la translation de vecteur!un"admet aucun point invariant.

Propriétés

P1) (Propriété fondamentale) Une application tde l"espace est une translation si et seulement si l"image de tout couple de point(M;N)est un couple de points(M0;N0)tels que!M0N0= !MN.

Consequence

On a MN=M"N";ainsit, conserve la distance est une isométrie. P2) L "imaged"une droi tepar une translation est une droite qui lui est parallèle.

Par une translation :

P3) L "imaged"une figure plane est une figure plane qui lui est superposable. P4) L "imaged"un soli dede l"espace est un solide de l"espace qui lui est isométrique P5) L "imaged"un plan e stun plan qui lui est parallèle. P6) L "applicationréciproque de la translation de v ecteur~uest la translation de vecteur~u. P7) La composée de deux translations de v ecteurs~uet~vest la translation de vecteur~u+~v.

Expression analytique d"une translation

Soittune translation de vecteur~u(a;b;c),M(x;y;z)un point de l"espace etM0(x0;y0;z0) son image par la translationt~u; on a

MM0=~u

et les coodonnées deM0(x0;y0;z0)vérifient :DI.P.E.S II 2013 - 20146

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

8 >>:x 0=x+a y 0=y+b z 0=z+c

Proposition

L"espace est muni du repère(O;~i;~j;~k). L"expression analytique de la translation de vecteur ~u(a;b;c)est :8>>>< >>:x 0=x+a y 0=y+b z 0=z+c Exemple1.2.1.Donnez l"expression analytique de la translation de vecteur!u(1;2;1). Soit M(x;y;z)un point de l"espace etM0(x0;y0;z0)son image part~u. On a :

MM0=~u()0

B BB@x 0x yy0 zz01 C CCA=0 B BB@1 2 11 C CCA

D"où

8>>>< >>:x

0=x+ 1

y 0=y2 z 0=z1

Exercices d"application

Exercice1.2.1.Soittune translation de vecteur non nul~u. 1.

Caractéri serles plans (P)tels quet(P) = (P).

2. Caractéri serles droites (D)telles quet(D) = (D). Solution1.L "ensembledes plans (P)tels quet(P) = (P)est l"ensemble des plans parallèles à la direction de~u 2. L "ensembledes droites (D)telles quet(D) = (D)est l"ensemble des droites dirigées par le vecteur~u. Exercice1.2.2.Soient les plans(P)et(P0)d"équations respectives2x+ 3y+ 2 = 0et2x+

3y+z2 = 0.DI.P.E.S II 2013 - 20147

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

1.

V erifierque c es2 plans sont parallèles.

2. En déduire qu"il e xisteune translation dont on déterminera le v ecteurde translation qui transforme(P)en(P0).

Solution1.Vérifions que les plans (P)et(P0)sont parallèles. Un vecteur normal de(P)est~n(2;3;1)

qui est aussi le vecteur normal de(P0).

Donc(P)et(P0)sont parallèles.

2. Soit A(1;3)un point de l"espace appartenant au plan(P). Alors on at(A)2(P0) puisquet((P)) = (P0).

1.2.2 Homothéties de l"espace

Activité

.OndonneA(0;0;0), B(1;0;0),D(0;1;0),B(0;0;1),C(1;1;0),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1), dans le repère (A;!AB;!AD;!AE) 1. Construire les images par hde tous les sommets du cube.Quelles sont les caractéristiques du solide obtenu? 2. Détermin erl"e xpressionanalytique de h0,homothétie de centreG(1;1;1)et de rapport k= 2dans le repère(A;B;D;E). solutionABCDEFGH B 0C 0D 0E 0H 0F 0G

0DI.P.E.S II 2013 - 20148

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

1. Détermin onsles images par hde tous les sommets du cube . On a :h(A) =A,h(B) =B0h(C) =C0,h(D) =D0,h(F) =F0,h(G) =G0 ,h(H) =H0, avec :!AB0=12 !AB,!AC0=12 !AC,!AD0=12 !AD,!AE0=12 !AE,!AF0=12 !AF !AG0=12 !AG,!AH0=12 !AH. Ainsi :

Le solide obtenu est un cube d"arêteA0B0=12

AB. 2. Donnons l"e xpressionanalytique de h0(G;2),homothétie de centreGet de rapport2 SoitM(x;y;z)un point deE,M0(x0;y0;z0)son image parh0. On a :

GM0= 2!GM,0

B BB@x 01 y 01 z 011 C

CCA= 20

B BB@x1 y1 z11 C CCA,8 >>:x

0= 2x1

y

0= 2y1

z

0= 2z1dans(A;B;D;E).

Définition-exemple

SoitOun point deEetkun nombre réel non nul. On appelle homothétie de centreOet de rapportket on noteh(O;k), l"applicationhdu plan dans lui même qui à tout pointMassocie le pointM0tel que : !OM0=k!OM.

Cas particuliers

Si k= 1alorsM0=M,hest l"application identique et tous les points deEsont inva- riants. Si k=1, l"homothétie de centreOet de rapport1est la symétrie de centreO. Remarque 1.2.2.Le rapport d"une homothétie est toujours non nul.

Propriétés

Propriété caractéristique

Soitkun nombre réel non nul et différent de1. Une application deEdans lui même est une homothétie de rapportksi et seulement si l"image de tout couple de points(M;N)est un couple(M0;N0)tel que!M0N0=k!MN.DI.P.E.S II 2013 - 20149

1.2. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES

Autres propriétes

P

1)Tout homothétie de l"espace conserve : le parallélisme, l"orthogonalité, les angles orien-

tés, le contact. P

2)Les homothéties ne conservent pas la distance, ne conservent pas les aires, ne conservent

pas les volumes. Donc les homothéties ne sont pas des isométries.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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