[PDF] Correction du devoir maison n° 3





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TS spé maths

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Corrigé Devoir maison n° 2 Terminale S spécialité

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Corrigé Devoir maison n° 5 Terminale S spécialité Décembre 2008

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Correction du devoir maison n° 2 - Spécialité TS

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Corrigé Devoir maison n° 3 Terminale S spécialité

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CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 1 TERMINALE S SPÉCIALITÉ

EXERCICE 1 : Soit n un entier naturel non nul. Par disjonction de cas: Si n est divisible par 3 alors il existe un entier k tel que n = 3k



Corrigé Devoir maison n° 6 Terminale S spécialité

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Corrigé Devoir maison n° 4 Terminale S spécialité

Exercice 1. 1. Décomposition de 561 en produit de facteurs premiers : 561 = 3×11×17. 2. On considère un entier naturel a. a) On utilise la propriété : pour 



Correction du devoir maison n° 3

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle. Correction du devoir maison n° 3. A. Se familiariser avec les factorielles. Soit n ? IN on appelle factorielle 



Corrigé Devoir maison n° 1 Terminale S spécialité Septembre 2008

On peut écrire les nombres 13 = 12 – 02 ; 23 = 32 – 12 ; 33 = 62 – 32 . 2. a) On cherche deux entiers naturels m et p tels que m+ pa2 mpa.

TS - Devoir Maison 3 Page 1 sur 3

Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle

Correction du devoir maison n° 3

A. Se familiariser avec les factorielles

Soit n ☻ IN, on appelle factorielle de n l"entier noté n! défini par : n! = 1×2×...×n si nÃ1 et 0!=0.

Par exemple, 4! = 1 ×2 × 3 × 4 = 24

a. Calculons 3!, 5! et 6!.

3!=1×2×3=6; 5!=3!×4×5=120; 6!=5!×6=720.

b. Sans calculatrice et sans calculer 10!, montrons que 6! × 7! = 10! c. Simplifions (n+1)! n! : (n+1)! n! = (n+1)×n! n! =n+1 d. Montrons par récurrence, que pour tout k ☻ IN*, on a : k! Ã2k-1 (*): - Montrons que la propriété (*) est vraie pour k=1 : 1!=1 et 21-1=20=1 donc (*) est vraie pour k=1. - Montrons que la propriété (*) est héréditaire Supposons qu"il existe un entier pÃ1 tel que p!>=2 p-1 et montrons que (p+1)!>=2p (p+1)!=(p+1)p!>=(p+1)×2 p-1 par hypothèse de récurrence.

Or pÃ1 donc p+1Ã2 donc 2

p-1×(p+1)Ã2p-1×2 donc 2p-1×(p+1)Ã2p.

Ainsi (p+1)!Ã2

p. La propriété (*) est donc héréditaire. - Conclusion : La propriété (*) est héréditaire et elle est vraie au rang 1 donc pour tout k ☻ IN *, on a : k! Ã2k-1 e. Déterminons, à l"aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que n! Ã107 :

A l"aide de la calculatrice, 10!<107 et 11!>107 donc le plus petit entier vérifiant n!Ã107 est n=11.

B. Etude d"une suite

On considère la suite ( )un définie pour tout n ☻ IN par un= 1

0! + 1

1! + 1

2! + ... + 1

n!

1. Calculons les 4 premiers termes de la suite :

u0= 1

0! =1 ; u1= 1

0! + 1

1! =2 ; u2= 1

0! + 1

1! + 1

2! = u1+ 1

2! =2+ 1

2 = 5 2 ; u3=u2+ 1

3! = 5

2 + 1 6 = 8 3

2. Démontrons que ( )un est strictement croissante :

┐nÃ0, un+1-un= 1

0! + 1

1! + 1

2! + ... + 1

n! + 1 (n+1)! - (()) 1

0! + 1

1! + 1

2! +...+ 1

n! = 1 (n+1)! . or ┐nÃ0, 1 (n+1)! >0 donc un+1-un>0 cad un+1>un.

Par définition, la suite

( )un est strictement croissante.

3. Le but de la question est de prouver que ( )un est majorée.

a. Démontrons que pour tout n☻IN*, unÂ1 + 1 2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 : D"après la question A.d., pour tout n☻É* n!Ã2n-1>0 donc 1 n! Â 1 2 n-1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur Ë Ainsi 1

1! Â 1

2

0 ; 1

2! Â 1

2 1 ; 1

3! Â 1

2

2 ... ; 1

n! Â 1 2 n-1 . En ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient 1

1! + 1

2! + ... + 1

n! Â 1 2

0 + 1

2 1 + 1 2

2 +...+ 1

2 n-1 .

En ajoutant

1

0! cad 1 à cette inégalité on obtient alors ┐ n☻IN*, unÂ1 + 1

2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 TS - Devoir Maison 3 Page 2 sur 3 b. Démontrons que pour tout n☻É*, 1 2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 = 2(())1-(()) 1 2 n : 1 2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 =(()) 1

2 0+(())

1

2 1+...+(())

1

2 n-1. On reconnaît la somme des n premiers termes de la

suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 2 .

Par conséquent,

1

2 0+(())

1

2 1+...+(())

1

2 n-1 =1×

1-(())

1 2 n 1- 1 2 =2(())1-(()) 1 2 n c. En déduire que ( )un est majorée par 3 : - D"après 3.a., ┐n☻É*, unÂ1 + 1 2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 donc unÂ(()) 1

2 0+(())

1

2 1+...+(())

1 2 n-1 - Or, d"après 3.b. , ┐n☻É*, 1 2

0 + 1

2

1 + ... + 1

2 n-1 = 2(())1-(()) 1 2 n - Donc ┐n☻É*, u nÂ1+2(())1-(()) 1

2 n donc unÂ3 -2(())

1 2 n.

Or ┐ n☻IN , 2×

1

2 n>0 donc -2×(())

1

2 n<0 et donc 3-2(())

1

2 n<3.

Ainsi ┐ n☻IN , u

nÂ3. Par définition, la suite ( )un est majorée par 3.

4. Déduisons en que la suite ( )un converge (on ne demande pas de calculer sa limite) :

La suite ( )un est strictement croissante et majorée donc elle converge.

C. Etude de suites adjacentes

On considère la suite ( )un définie dans la partie B. et la suite ( )vn définie pour tout n par vn=un+ 1

n! .

1. Calculons les 4 premiers termes de la suite ( )vn :

v0=u0+ 1

0! =2 ; v1=u1+ 1

1! =2+1=3 ; v2=u2+ 1

2! = 5

2 + 1 2 = 6

2 =3 ; v3=u3+ 1

3! = 8

3 + 1

6 = 17

6 . Démontrons que ( )vnnÃ2 est strictement décroissante : ┐nÃ2, vn+1-vn=un+1+ 1 (n+1)! -(())un+ 1 n! =un+1-un+ 1 (n+1)! - 1 n! 2 (n+1)! - 1 n! car d"après B.2., ┐nÃ0, un+1-un= 1 (n+1)!

2-(n+1)

(n+1)! = 1-n (n+1)!

Or ┐nÃ2, 1-n<0 et (n+1)!>0 donc

1-n (n+1)! <0 donc vn+1-vn<0 cad vn+1Par définition, la suite ( )vnnÃ2 est strictement décroissante.

Déduisons en que les suites

( )unnÃ2 et ( )vnnÃ2 sont adjacentes. On notera l leur limite commune :

Etudions lim

n↔+õvn-un : ┐nÃ2, vn-un= 1 n! donc lim n↔+õvn-un = lim n↔+õ 1 n! =0

De plus

( )unnÃ2 est strictement croissante et ( )vnnÃ2 est strictement décroissante.

Par définition, les suites

( )unnÃ2 et ( )vnnÃ2 sont adjacentes donc elles convergent et admettent la même limite que l"on notera l.

2. Donnons, en utilisant la question A.e. une valeur approchée, par défaut, de l à 10-7 près :

D"après A.e. , 11 est le plus petit entier n tel que n!Ã107 donc 11 est le plus petit entier n tel que 1 n! Â 1 10

7 soit 1

n! Â10-7. TS - Devoir Maison 3 Page 3 sur 3

Or vn-un= 1

n! donc 11 est le plus petit entier tel que vn-unÂ10-7.

Ainsi u

11 une valeur approchée, par défaut, de l à 10-7 près.

A l"aide de la calculatrice, on obtient u

11= 1

0! + 1

1! + 1

2! +...+ 1

11! ó2.7182818

3. Dans cette question, on va montrer que l est un irrationnel (c"est-à-dire un réel non rationnel). On va le

prouver par l"absurde et supposant que l est un rationnel et montrer que ce n"est pas possible.

Pour cela, on suppose que l☻IQ, c'est-à-dire qu"il existe des entiers p et q (qÞ0) tels que l=

p q Il est clair que qÞ1 car d"après 2., l n"est pas un entier.

On admettra que pour tout entier nÃ2, on a : u

nEn supposant que l= p q , (1) donne pour tout entier nÃ2, un< p q 0! + 1

1! + 1

2! +...+ 1

q! . Or par définition q! est un multiple commun à 0! , 1! , 2! , ... , (q-1)! donc il existe un entier a tel que u q= a q! .

Or d"après a. u

q< p q En multipliant par q!>0 on obtient alors a< pq! q Or p(q-1)!☻É et les entiers a et a+1 sont consécutifs donc il n"existe pas d"entier strictement compris

entre a et a+1... Ainsi la double inégalité a