TS spé maths
Correction Devoir Maison 2 : Divisibilité. TermS spécialité. Correction. Devoir Maison 2. TSspémaths. MathsMaths. TS spé maths. Exercice. 1. 4. Exercice. 2.
Corrigé Devoir maison n° 2 Terminale S spécialité
Devoir maison n° 2. Terminale S spécialité. Exercice 1. 1. a) On raisonne suivant les congruences modulo 7 : pour tout entier naturel n 23 ? 1 (7)
Corrigé Devoir maison n° 5 Terminale S spécialité Décembre 2008
Devoir maison n° 5. Terminale S spécialité 2. A l'aide d'un tableur on trouve quatre couples (a; b) d'entiers naturels inférieurs à 100 vérifiant (1) :.
Correction du devoir maison n° 2 - Spécialité TS
TS –Spécialité. Correction DM Chimie 02. Exercice 16 p 200 : 1. La réduction a lieu à la cathode d'où Cu2+ + 2e- ? Cu (il s'y dépose du cuivre métallique).
Corrigé Devoir maison n° 3 Terminale S spécialité
Exercice 1 : Partie A : L'équation de Pythagore x2 + y2 = z2 est un exemple d' équation diophantienne. 1. Pour tous nombres réels u et v. (2uv)2 + (u2
CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 1 TERMINALE S SPÉCIALITÉ
EXERCICE 1 : Soit n un entier naturel non nul. Par disjonction de cas: Si n est divisible par 3 alors il existe un entier k tel que n = 3k
Corrigé Devoir maison n° 6 Terminale S spécialité
Devoir maison n° 6. Terminale S spécialité. Exercice 1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on considère le point Mn (cos n
Corrigé Devoir maison n° 4 Terminale S spécialité
Exercice 1. 1. Décomposition de 561 en produit de facteurs premiers : 561 = 3×11×17. 2. On considère un entier naturel a. a) On utilise la propriété : pour
Correction du devoir maison n° 3
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle. Correction du devoir maison n° 3. A. Se familiariser avec les factorielles. Soit n ? IN on appelle factorielle
Corrigé Devoir maison n° 1 Terminale S spécialité Septembre 2008
On peut écrire les nombres 13 = 12 – 02 ; 23 = 32 – 12 ; 33 = 62 – 32 . 2. a) On cherche deux entiers naturels m et p tels que m+ pa2 mpa.
Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle
Correction du devoir maison n° 3
A. Se familiariser avec les factorielles
Soit n ☻ IN, on appelle factorielle de n l"entier noté n! défini par : n! = 1×2×...×n si nÃ1 et 0!=0.
Par exemple, 4! = 1 ×2 × 3 × 4 = 24
a. Calculons 3!, 5! et 6!.3!=1×2×3=6; 5!=3!×4×5=120; 6!=5!×6=720.
b. Sans calculatrice et sans calculer 10!, montrons que 6! × 7! = 10! c. Simplifions (n+1)! n! : (n+1)! n! = (n+1)×n! n! =n+1 d. Montrons par récurrence, que pour tout k ☻ IN*, on a : k! Ã2k-1 (*): - Montrons que la propriété (*) est vraie pour k=1 : 1!=1 et 21-1=20=1 donc (*) est vraie pour k=1. - Montrons que la propriété (*) est héréditaire Supposons qu"il existe un entier pÃ1 tel que p!>=2 p-1 et montrons que (p+1)!>=2p (p+1)!=(p+1)p!>=(p+1)×2 p-1 par hypothèse de récurrence.Or pÃ1 donc p+1Ã2 donc 2
p-1×(p+1)Ã2p-1×2 donc 2p-1×(p+1)Ã2p.Ainsi (p+1)!Ã2
p. La propriété (*) est donc héréditaire. - Conclusion : La propriété (*) est héréditaire et elle est vraie au rang 1 donc pour tout k ☻ IN *, on a : k! Ã2k-1 e. Déterminons, à l"aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que n! Ã107 :A l"aide de la calculatrice, 10!<107 et 11!>107 donc le plus petit entier vérifiant n!Ã107 est n=11.
B. Etude d"une suite
On considère la suite ( )un définie pour tout n ☻ IN par un= 10! + 1
1! + 1
2! + ... + 1
n!1. Calculons les 4 premiers termes de la suite :
u0= 10! =1 ; u1= 1
0! + 1
1! =2 ; u2= 1
0! + 1
1! + 1
2! = u1+ 1
2! =2+ 1
2 = 5 2 ; u3=u2+ 13! = 5
2 + 1 6 = 8 32. Démontrons que ( )un est strictement croissante :
┐nÃ0, un+1-un= 10! + 1
1! + 1
2! + ... + 1
n! + 1 (n+1)! - (()) 10! + 1
1! + 1
2! +...+ 1
n! = 1 (n+1)! . or ┐nÃ0, 1 (n+1)! >0 donc un+1-un>0 cad un+1>un.Par définition, la suite
( )un est strictement croissante.3. Le but de la question est de prouver que ( )un est majorée.
a. Démontrons que pour tout n☻IN*, unÂ1 + 1 20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 : D"après la question A.d., pour tout n☻É* n!Ã2n-1>0 donc 1 n! Â 1 2 n-1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur Ë Ainsi 11! Â 1
20 ; 1
2! Â 1
2 1 ; 13! Â 1
22 ... ; 1
n! Â 1 2 n-1 . En ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient 11! + 1
2! + ... + 1
n! Â 1 20 + 1
2 1 + 1 22 +...+ 1
2 n-1 .En ajoutant
10! cad 1 à cette inégalité on obtient alors ┐ n☻IN*, unÂ1 + 1
20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 TS - Devoir Maison 3 Page 2 sur 3 b. Démontrons que pour tout n☻É*, 1 20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 = 2(())1-(()) 1 2 n : 1 20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 =(()) 12 0+(())
12 1+...+(())
12 n-1. On reconnaît la somme des n premiers termes de la
suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 2 .Par conséquent,
12 0+(())
12 1+...+(())
12 n-1 =1×
1-(())
1 2 n 1- 1 2 =2(())1-(()) 1 2 n c. En déduire que ( )un est majorée par 3 : - D"après 3.a., ┐n☻É*, unÂ1 + 1 20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 donc unÂ(()) 12 0+(())
12 1+...+(())
1 2 n-1 - Or, d"après 3.b. , ┐n☻É*, 1 20 + 1
21 + ... + 1
2 n-1 = 2(())1-(()) 1 2 n - Donc ┐n☻É*, u nÂ1+2(())1-(()) 12 n donc unÂ3 -2(())
1 2 n.Or ┐ n☻IN , 2×
12 n>0 donc -2×(())
12 n<0 et donc 3-2(())
12 n<3.
Ainsi ┐ n☻IN , u
nÂ3. Par définition, la suite ( )un est majorée par 3.4. Déduisons en que la suite ( )un converge (on ne demande pas de calculer sa limite) :
La suite ( )un est strictement croissante et majorée donc elle converge.C. Etude de suites adjacentes
On considère la suite ( )un définie dans la partie B. et la suite ( )vn définie pour tout n par vn=un+ 1
n! .1. Calculons les 4 premiers termes de la suite ( )vn :
v0=u0+ 10! =2 ; v1=u1+ 1
1! =2+1=3 ; v2=u2+ 1
2! = 5
2 + 1 2 = 62 =3 ; v3=u3+ 1
3! = 8
3 + 16 = 17
6 . Démontrons que ( )vnnÃ2 est strictement décroissante : ┐nÃ2, vn+1-vn=un+1+ 1 (n+1)! -(())un+ 1 n! =un+1-un+ 1 (n+1)! - 1 n! 2 (n+1)! - 1 n! car d"après B.2., ┐nÃ0, un+1-un= 1 (n+1)!2-(n+1)
(n+1)! = 1-n (n+1)!Or ┐nÃ2, 1-n<0 et (n+1)!>0 donc
1-n (n+1)! <0 donc vn+1-vn<0 cad vn+1Déduisons en que les suites
( )unnÃ2 et ( )vnnÃ2 sont adjacentes. On notera l leur limite commune :Etudions lim
n↔+õvn-un : ┐nÃ2, vn-un= 1 n! donc lim n↔+õvn-un = lim n↔+õ 1 n! =0De plus
( )unnÃ2 est strictement croissante et ( )vnnÃ2 est strictement décroissante.Par définition, les suites
( )unnÃ2 et ( )vnnÃ2 sont adjacentes donc elles convergent et admettent la même limite que l"on notera l.2. Donnons, en utilisant la question A.e. une valeur approchée, par défaut, de l à 10-7 près :
D"après A.e. , 11 est le plus petit entier n tel que n!Ã107 donc 11 est le plus petit entier n tel que 1 n! Â 1 107 soit 1
n! Â10-7. TS - Devoir Maison 3 Page 3 sur 3Or vn-un= 1
n! donc 11 est le plus petit entier tel que vn-unÂ10-7.Ainsi u
11 une valeur approchée, par défaut, de l à 10-7 près.
A l"aide de la calculatrice, on obtient u
11= 10! + 1
1! + 1
2! +...+ 1
11! ó2.7182818
3. Dans cette question, on va montrer que l est un irrationnel (c"est-à-dire un réel non rationnel). On va le
prouver par l"absurde et supposant que l est un rationnel et montrer que ce n"est pas possible.Pour cela, on suppose que l☻IQ, c'est-à-dire qu"il existe des entiers p et q (qÞ0) tels que l=
p q Il est clair que qÞ1 car d"après 2., l n"est pas un entier.On admettra que pour tout entier nÃ2, on a : u
n1! + 1
2! +...+ 1
q! . Or par définition q! est un multiple commun à 0! , 1! , 2! , ... , (q-1)! donc il existe un entier a tel que u q= a q! .Or d"après a. u
q< p q
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