[PDF] France métropolitaine 2013. Enseignement spécifique

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France métropolitaine 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats)

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n"est pas prise en compte.

Une absence de réponse n"est pas pénalisée.

1) Proposition 1 :Dans le plan muni d"un repère orthonormé, l"ensemble des pointsMdont l"affixezvérifie

l"égalité|z-i|=|z+ 1|est une droite.

2) Proposition 2 :Le nombre complexe?1 +i⎷

3?4est un nombre réel.

3)SoitABCDEFGHun cube.

Proposition 3 :Les droites(EC)et(BG)

sont orthogonales.

A BCDG

E FH Proposition 3 :Les droites(EC)et(BG)sont orthogonales.

4)L"espace est muni d"un repère orthonormé?

O;-→i ,-→j ,-→k?

. Soit le planPd"équation cartésiennex+y+3z+4 = 0.

On noteSle point de coordonnées(1,-2,-2).

Proposition 4 :La droite qui passe parSet qui est perpendiculaire au planPa pour représentation paramétrique

?x= 2 +t y=-1 +t z= 1 + 3t, t?R. http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. France métropolitaine 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 : corrigé

1) VRAI

2) FAUX

3) VRAI

4) VRAI

Justification 1.SoientAetBles points du plan d"affixes respectivesiet-1. SoitMun point du plan dont l"affixe

est notéez. |z-i|=|z+ 1| ? |z-zA|=|z-zB| ?MA=MB?M?med[AB].

L"ensemble cherché est la médiatrice du segment[AB]qui est effectivement une droite. La proposition 1 est vraie.

Justification 2.

1 +i⎷

3? 4=?

1 +i⎷3?

2?2

1 + 2i⎷3-3?

2=? -2 + 2i⎷3? 2 = 2 2? -1 +i⎷ 3? 2= 4?

1-2i⎷3-3?

=-8-8i⎷3.

La partie imaginaire de

?1 +i⎷

3?4est-8⎷3et en particulier n"est pas nulle. On en déduit que?1 +i⎷3?4n"est pas

un nombre réel. La proposition 2 est fausse.

Justification 3.

1ère solution.Tout d"abord

EC.

BG=?--→EF+--→FC?

PuisqueABCDEFGHest un cube, la droite(EF)est perpendiculaire aux droite(FB)et(FG)qui sont deux droites

sécantes du plan(BFG). On en déduit que la droite(EF)est orthogonale à toute droite du plan(BFG)et en

particulier, la droite(EF)est orthogonale à la droite(BG). Par suite,--→EF.--→BG= 0.

D"autre part, la faceBCFGest un carré. Ses diagonales, à savoir[FC]et[BG]sont perpendiculaires. Par suite,--→FC.--→BG= 0.

Mais alors,

EC. BG=--→EF.--→BG+--→FC.--→BG= 0 + 0 = 0. Ceci montre que les droites(EC)et(BG)sont orthogonales. La proposition 3 est vraie.

2ème solution.On se place dans le repère?

A,--→AB,--→AD,-→AE?

Le pointEa pour coordonnées(0,0,1)et le pointCa pour coordonnées(1,1,0). Donc le vecteur--→ECa pour

coordonnées(1,1,-1).

Le pointBa pour coordonnées(1,0,0)et le pointGa pour coordonnées(1,1,1). Donc le vecteur--→BGa pour

coordonnées(0,1,1). Ensuite EC.

BG= 1×0 + 1×1 + (-1)×1 = 0.

On retrouve ainsi le fait que les droites(EC)et(BG)sont orthogonales.

Justification 4.SoientDla droite passant parS(1,-2,-2)et perpendiculaire au planPetΔla droite de repré-

sentation paramétrique???x= 2 +t y=-1 +t z= 1 + 3t,t?R.

Un vecteur normal au planPest le vecteur-→n(1,1,3). La droiteDest donc la droite de vecteur directeur-→n(1,1,3)

passant par le pointS(1,-2,-2).

D"autre part, la droiteΔadmet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées(1,1,3)et pourt=-1, on obtient???x= 1

y=-2

z=-2qui sont les coordonnées du pointS. DoncΔest aussi la droite de vecteur directeur-→n(1,1,3)passant

par le pointS(1,-2,-2). Finalement,D= Δ. La proposition 4 est vraie. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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