[PDF] France métropolitaine 2013. Enseignement spécifique

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France métropolitaine 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 2 (7 points) (commun à tous les candidats) Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d"un repère orthonormé?

O;-→i ,-→j?

, la courbe représentativeCd"une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle]0,+∞[. B A OC -→i-→j

On dispose des informations suivantes :

- les pointsA,B,Cont pour coordonnées respectives(1,0),(1,2),(0,2); - la courbeCpasse par le pointBet la droite(BC)est tangente àCenB; - il existe deux réels positifsaetbtels que pour tout réel strictement positifx, f(x) =a+blnx x.

1) a)En utilisant le graphique, donner les valeurs def(1)etf?(1).

b)Vérifier que pour tout réel strictement positifx,f?(x) =(b-a) -blnx x2. c)En déduire les réelsaetb.

2) a)Justifier que pour tout réelxappartenant à l"intervalle]0,+∞[,f?(x)a le même signe que-lnx.

b)Déterminer les limites defen0et en+∞. On pourra remarquer que pour tout réelxstrictement positif,f(x) =2 x+2lnxx. c)En déduire le tableau de variations de la fonctionf.

3) a)Démontrer que l"équationf(x) =1admet une unique solutionαsur l"intervalle]0,1].

b)Par un raisonnement analogue, on démontre qu"il existe un unique réelβde l"intervalle]1,+∞[tel

quef(β) =1.

Déterminer l"entierntel quen < β < n+1.

4)On donne l"algorithme ci-dessous.

Variables :a,betmsont des nombres réels

Initialisation :Affecter àala valeur0

Affecter àbla valeur1

Traitement :Tant queb-a > 0,1

Affecter àmla valeur12(a+b).Sif(m)< 1alors affecter àala valeurm.

Sinon affecter àbla valeurm.

Fin de Si.

Fin de Tant que

Sortie :Affichera.

Afficherb.

a)Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l"on recopiera sur la copie.

http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. étape 1étape 2étape 3étape 4étape 5 a0 b1 b-a m b)Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?

c)Modifier l"algorithme ci-dessus pour qu"il affiche les deux bornes d"un encadrement deβd"amplitude10-1.

5)Le but de cette question est de démontrer que la courbeCpartage le rectangleOABCen deux domaines

d"aires égales. a)Justifier que cela revient à démontrer que? 1 1 ef(x)dx=1. b)En remarquant que l"expression def(x)peut s"écrire2 x+2×1x×lnx, terminer la démonstration. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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