L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

sont elles-mêmes dérivables dans R2 car composition de fonctions dérivables. La fonction f est de classe C1 sur R2 et donc elle est différentiable dans R2.

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Comment montrer qu'une fonction est différentiable ?

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Quels sont les différentielles d'une fonction ?

Mais il existe en fait plusieurs types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre masculin et féminin du terme) : 1. Les différentiels 2. Les différentielles partielles 3. Les différentielles totales exactes 4. Les différentielles totales inexactes

Comment montrer que f f et G sont différentiables en tout vecteur ?

Justifier que f f et g g sont différentiables en tout vecteur (x,y)? R2 ( x, y) ? R 2, puis écrire la matrice jacobienne de f f et celle de g g en (x,y) ( x, y) . en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. Exercice 4 - Différentiable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

L3 { COURS DE CALCUL DIFF

ERENTIEL

Universite de Bourgogne - Annee 2017{2018

Table des matieres

I Espaces vectoriels normes de dimension nie

1 Normes et distances3

1.1 Normes et exemples de normes

1.2 Distance associee a une norme et notions de topologie

2 Applications continues5

2.1 Denitions et premieres proprietes

2.2 Applications continues et topologie

3 Normes d'applications lineaires

3.1 Normes subordonnees et normes matricielles

3.2 Exemples de normes matricielles

II Applications dierentiables

4 Denitions et exemples8

4.1 Applications dierentiables, notion de dierentielle d'une application

4.2 Derivees directionnelles et derivees partielles

4.3 Exemples

5 Premieres proprietes des applications dierentiables

5.1 Proprietes algebriques et composition

5.2 Caracterisation des applications de classeC1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Les quatre grands theoremes

6 Le Theoreme du Point Fixe14

6.1 Denitions et resultats preliminaires

6.2 Le Theoreme du point xe

6.3 Le Theoreme de point xe a parametres.

7 L'inegalite des accroissements nis

7.1 Le theoreme des accroissements nis : fonction a valeurs dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

7.2 Fonction vectorielle denie sur un segment deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

7.3 Le cas general : fonction deRndansRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

8 Theoreme d'inversion locale18

8.1 Dieomorphismes, et dieomorphismes locaux

8.2 De l'inversion locale aux dieomorphismes

20 1

9 Le Theoreme des fonctions implicites20

9.1 La resolution d'un systeme d'equations

9.2 De l'inversion locale aux fonctions implicites

IV Sous-varietes deRn23

10 Deux types d'exemples23

10.1 Le cas lineaire

10.2 La courbe de Viviani

11 Sous-varietes denies par des equations

11.1 Sous-varietes, coordonnees rectiantes et parametrages

11.2 Espace tangent a une sous-variete

V Dierentielles d'ordre superieur

12 Dierentielles et derivees d'ordre superieur - Formules de Taylor

12.1 Dierentielles d'ordre superieur

12.2 Derivees d'ordre superieur et fonctions de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

13 Formule de Taylor-Young29

13.1 Notations prealables

13.2 Developpements de Taylor

14 Points critiques d'une fonction

14.1 Denitions et premieres proprietes

14.2 Classication des points critiques d'une fonction

15 Extrema lies33

15.1 Probleme et exemples

15.2 Methode de Lagrange

15.3 Exercice

Le propos principal du cours de Calcul Dierentiel de L3 est l'etude des deux notions fondamentales suivantes :

Celle d' application dierentiable. Cette notion, qui precise celle d'application continue, est cruciale en analyse

comme en geometrie. Il s'agit d'etendre en dimension quelconque la notion defonction derivable, etudiee en L1.

Elle est d'ailleurs deja introduite et brievement etudiee en L2, dans le cours deFonctions de Plusieurs Variables.

Elle est etudiee de facon beaucoup plus systematique en L3. 2.

Celle de sous-variete dierentiable. C'est l'objet geometrique naturellement associe aux applications dierentiables.

Alors que lessous-espaces anessont des ensembles \rectilignes" denis comme etant l'ensemble des zeros d'ap-

plications lineaires ou anes, les sous-varietes dierentiables sont des ensembles \courbes" localement denis

comme l'ensemble des zeros d'applications dierentiables. Il s'agit d'une collection extr^emement riche d'en-

sembles, d'une grande utilite. D'ailleurs, au travers de notions comme celle d'espace tangent, la connection entre

la geometrie dierentielle et la geometrie lineaire se fait naturellement.

Premiere partie

Espaces vectoriels normes de dimension nie

Le Calcul Dierentiel admet des developpements dans les espaces de dimension innie, comme par exemple

les espaces de fonctions. Cela depasse les limites du cours de L3. En revanche, une bonne ma^trise des proprietes

des espaces vectoriels normes est requise. Cela releve du programme de L2; au besoin, une revision s'impose. La

premiere partie de ce cours en rappelle l'essentiel, sans redonner toutes les preuves ni rentrer dans tous les details.

1 Normes et distances

1.1 Normes et exemples de normesDenition 1.1.1.UnenormesurRnest une fonctionkk:Rn!R+telle que, pour tousx;y2Rnet tout

2R: 1. ( homogeneite)kxk=jjkxk. 2. ( inegalite triangulaire)kx+yk kxk+kyk.

3.kxk= 0 si et seulement six= 0.

Le couple (Rn;kk) est alors appeleespace (vectoriel) norme.Denition 1.1.2.Deux normeskketjjjjjjsurRnsont ditesequivalentess'il existe deux reelsetstrictement

positifs tels que, pour toutx2Rn, on ait : kxk jjjxjjj kxk:Exemple 1.1.3.(Exercice) 1.

P ourtout nom brep >1 la fonction :

kk p:Rn!R;(x1;:::;xn)7! nX i=1jxijp! 1p

est une norme surRn, appelee lanormep. La seule propriete delicate a verier est l'inegalite triangulaire. On

introduit pour cela leconjuguedep, c'est a dire le reelq=p(p1)1sip >1, On a donc1p +1q = 1. L'inegalite

triangulaire est une consequence de l'inegalite de Holder:pour tout couple(p;q)de reels conjugues, et tout

couple den-upletsx= (x1;:::;xn)ety= (y1;:::;yn)de nombres reels, on a : n X i=1x iyi nX i=1jxijp! 1p nX i=1jyijq! 1q =kxkpkykq

On note que l'inegalite classique de Cauchy-Schwartz est le cas particulier de l'inegalite de Holder lorsque

p=q= 2. 2.

Le cas p= 1 est un peu dierent. On convient que le conjugue de 1 est1, et on peut formuler l'inegalite de

Holder en introduisant lanorme innie :

1:Rn!R;(x1;:::;xn)7!maxi=1;:::;njxij:

On a alors :

nX i=1x iyinX i=1jxijmaxi=1;:::;njyij(=kxk1kyk1):

Exercice 1.1.4.(Exercice) Montrer que les normeskkp,p2[1;+1[[ f1g, sont equivalentes. Plus precisement,

montrer que, pour toutx2Rn:

1pq=) kxk1 kxkp kxkqn1p

kxk1:

1.2 Distance associee a une norme et notions de topologieDenition 1.2.1.UnedistancesurRnest une application d:RnRn!R+telle que, pour tousx;y;z2Rn,

on ait : 1. ( symetrie) d(x;y) = d(y;x). 2. ( inegalite triangulaire) d(x;z)d(x;y) + d(y;z). 3. ( separation) d(x;y) = 0,x=y.

Le couple (Rn;d) est appele unespace metrique.

On deduit aisement de la denition de norme l'enonce suivant :3 Proposition 1.2.2.Soitkk:Rn!R+une norme. Alors l'applicationdkk:RnRn!R+denie par d kk(x;y) =kxykest une distance surRn. On appelledkkladistance induite par la normekk.

Remarque1.2.3.Il est important de noter ici que les espaces normes sont des espaces metriques tres particuliers :de

nombreuses distances ne sont pas induites par des normes. Par exemple, une distance tres simple, ladistance

discrete, denie surRnpar d(x;y) = 1 six6=yet d(x;x) = 0, n'est pas induite par une norme (pourquoi?).

De plus, un espace norme estnecessairementun espacevectoriel. Ca n'est pas le cas des espaces metriques.

Par exemple, tout sous-ensemble d'un espace metrique, muni de la distance induite, est encore un espace metrique,

m^eme si ce n'est pas un espace vectoriel.

La totalite du cours de Calcul Dierentiel de L3 a pour cadre les espaces vectorielsRnmunis d'une norme.

L'etude des espaces metriques generaux fait l'objet d'un autre cours.

Rappelons quelques notions classiques :Denition 1.2.4.On considere l'espace vectoriel norme (Rn;kk). Soienta2Rnetr >0.

1. La boule ouvertede centreaet de rayonr >0 est l'ensembleB(a;r) =fx2Rn:kxak< rg. 2. La boule fermeede centreaet de rayonr >0 est l'ensembleBa(r) =fx2Rn:kxak rg. 3. La spherede centreaet de rayonrest l'ensembleS(a;r) =fx2Rn:kxak=rg. Traditionnellement, on

noteS1=fx2Rn:kxk= 1g, qu'on appelle lasphere unite de centre02Rn.Remarque1.2.5.La forme desboulesdepend de la norme consideree.Exercice classique :etudier la forme des boules

du plan pour les normeskkp,p2[1;+1[[ f1g.Denition 1.2.6.SoitAun sous-ensemble de l'espace norme (Rn;kk).

1. L'ensem bleAestbornes'il existea2Rnetr >0 tel queAB(a;r). 2. L'ensem bleAestouvertsi, pour touta2A, il exister >0 tel que la boule ouverteB(a;r) soit contenue dansA. 3.

L'ensem bleAestfermesi le complementaireRnnAdeAdansRnest un ensemble ouvert.Exemple 1.2.7.Les ensembles ouverts sont exactement les unions quelconques de boules ouvertes.

Remarque1.2.8.Les ensembles ouverts et fermes satisfont les proprietes suivantes : 1. La r euniond'u nefamille quelconque d'ensem bleouv ertsest un ensem bleouv ert. 2. L'in tersectiond'u nefamille quelconque d'ensem blesferm esest un ensem bleferm e. 3.

A ttention,les b oulesouv ertesson tdes exemples evidentsd'ensem blesouv erts,les b oulesferm eesson td es

exemples evidents d'ensembles fermes, mais les ensembles ouverts et fermes peuvent ^etre (et sont en general)

bien plus compliques que des boules. Par exemple, lesensembles de Cantor, qui ne sont pas etudies dans le

cours de Calcul Dierentiel de L3, sont introduits dans d'autres cours.

La notion suivante est egalement d'un usage frequent :Denition 1.2.9.Soit (E;d) un espace metrique. Un sous-ensembleAEestcompactsi, de toute suite

d'elements deA, on peut extraire une sous-suite convergeant dansA.Dans le cadre des espaces normes de dimension nie qui est celui de ce cours, cette notion s'exprime plus

simplement : Proposition 1.2.10.Un sous ensembleAd'un espace normededimensionnieest compact si et seulement si il est ferme et borne.

Remarque1.2.11.Cette propriete est fausse dans les espaces vectoriels normes de dimension innie, et,a fortiori,

dans les espaces metriques generaux.

Exemple 1.2.12.Les boules fermees, ou les unions nies de boules fermees, sont des ensembles compacts. Les

ensembles de Cantor, mentionnes plus haut, sont egalement des ensembles compacts.

La proposition suivante donne son inter^et a la notion de couple de normes equivalentes. Sa preuve, facile, est

laissee en exercice : Proposition 1.2.13.Soientkketjjjjjjdeux normes equivalentes surRn. Alors un ensembleARnest ouvert

(resp.ferme, compact) pour la normekksi et seulement siAest ouvert (resp.ferme, compact) pour la norme

jjjjjj. 4

2 Applications continues

Quelques rappels sur les fonctions continues sont necessaires avant d'entamer l'etude des applications dierentiables.

De facon generale, dans les denitions et les enonces, nous designons parUun ensemble ouvert d'un espaceRn,

n2N.

2.1 Denitions et premieres proprietesDenition 2.1.1.On considere les espaces normes (Rp;kk) et (Rq;jjjjjj). SoitURpun ensemble ouvert. Alors :

1. Une application f:URp!Rqestcontinueau pointa2Usi :quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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