TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
sont elles-mêmes dérivables dans R2 car composition de fonctions dérivables. La fonction f est de classe C1 sur R2 et donc elle est différentiable dans R2.
Exercices corrigés de calcul différentiel
Donc la fonction est continue en 0 mais n'est pas différentiable (bien qu'elle admette partout des dérivées partielles). Exercice 9 La fonction f : R2 → R (x
Applications différentiables
h. = 1. 2. = 0 ce qui donne la contradiction recherchée. Correction de l'exercice 3 △ g est différentiable en tant que composée et produit de fonctions ...
Recueil dexercices de calcul différentiel
23 mar. 2022 Démontrer que les fonctions f et g ne sont pas continues en (00). Exercice 24 ###$$. [Un corrigé]. Titre. Fonction différentiable dont la ...
CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES
Or cette fonction est différentiable en 0R puisque f est différentiable en a. Leichtnam-Schauer
Fonctions de plusieurs variables
Une fonction de laplacien nul est dite harmonique.) Correction ▽. [005904]. Exercice 19 *** I. Soit f : R2 → R2 de
Leçon 08 – Correction des exercices
3) En déduire quelles sont les fonctions de 2 variables f(xy) définies et différentiables sur IR2 telles que df = (y2+4x)dx +(2xy-y) dy sur tout IR2. Solution.
Corrigé de la feuille dexercices n 10
La fonction x ↦→ N(x) := x = √〈x x〉 est différentiable sur H {0} d'aprés la question 1 de l'exercice 1 et le théor`eme de composition des applications
Calcul différentiel et optimisation : Exercices
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Université Paul Sabatier Calcul Différentiel
o`u a et b sont des fonctions différentiables de R dans R g est une fonction différentiable de. R. 3 dans R. Exercice 11. On munit C([a
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
Exercice 1. Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer
Applications différentiables
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Exercices corrigés de calcul différentiel
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Exercices FPV - Semaine 2
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Calcul différentiel et optimisation : Exercices
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CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR
3. Différentiabilité. Exercice 3.1. On suppose que (x y) ?? f(x
CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES
Corrigés des exercices du Chapitre 5 b) Exemple de fonctions non différentiable en un point mais continue et admettant en ce point toutes ses.
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Comment montrer qu'une fonction est différentiable ?
Exercice 16 - Différentielle et fonction linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f: Rn ?Rm f: R n ? R m différentiable. On suppose que, pour tout ? ?R ? ? R et tout x?Rn x ? R n, f(?x) =?f(x) f ( ? x) = ? f ( x) . Démontrer que f(0)=0 f ( 0) = 0 . Démontrer que f f est linéaire.
Quels sont les différentielles d'une fonction ?
Mais il existe en fait plusieurs types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre masculin et féminin du terme) : 1. Les différentiels 2. Les différentielles partielles 3. Les différentielles totales exactes 4. Les différentielles totales inexactes
Comment montrer que f f et G sont différentiables en tout vecteur ?
Justifier que f f et g g sont différentiables en tout vecteur (x,y)? R2 ( x, y) ? R 2, puis écrire la matrice jacobienne de f f et celle de g g en (x,y) ( x, y) . en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. Exercice 4 - Différentiable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
CALCULDIFFERENTIEL
ETEQUATIONSDIFFERENTIELLES
LICENCEDEMATHEMATIQUESANNEES2000-2004
GeorgesCOMTE
LaboratoireJ.A.Dieudonne,
UMRCNRS6621,
UniversitedeNice-SophiaAntipolis,
28,avenuedeValrose,
06108NiceCedex2,
e-mail:comte@math.unice.fr bureau:821I-CALCULDIFFERENTIEL
Introduction1
Chapitre0-Rappelsd'algebremultilineaire4
0.1-Continuiteetalgebremultilineaire4
0.2-Notiondegraphe6
Chapitre1-Applicationsdierentiables8
1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert10
1.3-Deriveespartielles11
1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs12
ExercicesduChapitre114
CorrigedesexercicesduChapitre115
Chapitre2-Calculssurlesdierentielles22
2.1-Theoremedesapplicationscomposees22
2.2-Structured'espacevectoriel23
2.4-Theoremedelamoyenne25
2.4-TheoremesCk29
ExercicesduChapitre234
CorrigedesexercicesduChapitre236
3.2-EtudedeIsom(E;E)auvoisinagedeIdE48
3.3-EtudedeIsom(E;F)49
3.4-Dieomorphismes50
EduChapitre351
CorrigedesexercicesduChapitre351
4.1-Rappelssurlaconvergenceuniforme54
4.2-Suitesdefonctionsdierentiables55
4.3-FormulesdeTaylor59
4.3.1-FormuledeTaylor-Young59
4.3.2-FormuledeTayloravecresteintegral60
4.4-Pointscritiquesetextrema63
ExercicesduChapitre466
CorrigedesexercicesduChapitre468
5.1-Dierentiellespartielles76
5.3-Letheoremedelafonctionimplicite79
ExercicesduChapitre592
CorrigesdesexercicesduChapitre593
References112
II-EQUATIONSDIFFERENTIELLES
6.2-Solutionsmaximales102
6.4-LeproblemedeCauchy104
6.8-Retoursurl'equation()108
ExercicesduChapitre6109
CorrigedesexercicesduChapitre6109
References112
III-EXAMENSETPARTIELS
Testscorrigesi
Enoncesannee2000-2001iii
Enoncesannee2001-2002vii
Enoncesannee2002-2003xi
Enoncesannee2003-2004xix
Corrigesannee2000-2001xxvi
Corrigesannee2001-2002xxxii
Corrigesannee2002-2003xxxvii
Corrigesannee2002-2003xliv
I-CalculDierentiel
Introduction
traitedanslecoursdevariablecomplexe.) xa,admetunelimitelorsquextendversadans (xa)[f(x)f(a)f0(a)(xa)]2Rtendevers droiteaupoint(a;f(a)). f(x) f(a)+f'(a)(x-a) f(a)d x=|(x-a)ea(x)| ax |x-a| tenndversassilerapportu1=u2tendvers0ena.2Introduction
ouC).Soit a2Denition.Onditquel'applicationf:
!Festderivableenassilafonction nfag3a!1 !Fdelimitenulleena,telsque: 8x2 ;f(x)f(a)=(xa):~f0(a)+jxaj:pa(x):() D {0}xF{x}xF (a,f(a)) d x G (a,0 )F(x,0 )FKx{0 }F
|x-a| lineaireLa:E!F,uneapplicationpa: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakE:pa(xa):"Introduction3
l'applicationlineaireLasoitcontinue.0.1-Continuiteetalgebremultilineaire.
unouvertdeE,a2 etf: l'onsedonnesurEetF. L a j:Ej!F h7!La j(h)=L(a1;:::;aj1;h;aj+1:::;an) estlineaire.2-lineaire(onditbilineaire)surR.
L:EE!RdenieparL(~u;~v)=P1
k(x1;;xn)k1=Pn ikxikEietk(x1;;xn)k2=v u u t nX i=1kxik2Ei.Danslecasoun=2etE1=E2=R,
pluslipschitzienne. j=0uj:vjdel'exempleci-dessus lasuite(desuites!)(~un=(1 max j=0;:::;1j(~un)jj=1 j=01pn1pn= jouepas). continuedel'exercice2. t.3.(y))Lesproprietesquisuiventsontequivalentes:
i-LestcontinuesurE1:::En. ii-Lestcontinueseulementen(0E1;:::;0En). kL(x1;:::;xn)k:kx1k:::kxnk: kLk=sup kx1k:::kxnkNoterqueparmultilineairite:
kLk=sup kx1k:::kxnk kL(x1;:::;xn)kFkLk:kx1kE1:::kxnkEn: (proprietevdutheoreme0:1)) m^emes.0.2-Graphed'uneapplication.
f=f(a;f(a))2AB;a2Ag. y=z=f(x)(xn'aqu'neseuleimageparf).8Chapitre1-Applicationsdierentiables.
Chapitre1-Applicationsdierentiables
Eun ouvertdeE,a2 etf: !Funeapplication. =fx2Etelqu'ilexistet2Rveriantx=a+t~hg: deE. unitaires (a;~h):K3t!a+t:~h2(a;~h) e f(a;~h):K3t' (a;~h)!a+t:~h2(a;~h)f!f(a+t:~h)2F (a;~h)de e au-dessusde(a;~h)\Chapitre1-Applicationsdierentiables.9
Epassantpara)dugraphedef.
P(a,h)
G D g (a,h) (a,h) a+haz suivanttouteslesdirections~h. x,six6=0et (t)=(t3;t)2R2 estcontinueent=0et (0)=(0;0).Doncsifetaitcontinueen(0;0),f seraitcontinueen0.Mais (f )(t)=1et(f )(0)=0:limt!0(f )(t)6=(f )(0)etfn'estpascontinueen(0;0).X f:R2!R (x;y)7!f(x;y)=xy2 x4+y4si(x;y)6=(0;0);etf(0;0)=0 g:R2!R (x;y)7!k(x;y)k2siy=x2;etf(0;0)=0sinon.10Chapitre1-Applicationsdierentiables.
1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert.
applicationlineaire. !Fdelimitenulleenatellesque: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakpa(x):Onditquefestdierentiablesur
ssifestdierentiableentoutpointde nfagpar1 unedierentielledefenassilerapport1Exercice9).X
j2Nx j,lasuiteXp=(1 pp;:::;1pp;0;:::)(pfois) estf(x;f(x));x2Etoutentieretnonpasseulementsur
,commel'estf.X lui-m^eme)Chapitre1-Applicationsdierentiables.11
entouslespointsdeE.2 a+t:~h2 ,puisque estunouvertdeE,etnouspouvonsalorsecrire: L a(~h)=D~hf(a).D'oulaproposition: l'egalite:Df(a)(~h)=D~hf(a)(1):X
Preuve.Pourtoutx2
estcontinueen0,onabienlimx!af(x)=f(a).2 directionsProp.1.3+6*
festcontinueena dierentielleDf(a)etmontrerque1 derniereexiste).1.3.Deriveespartielles.
j=1h j:~ej,ouhj2K.Laformule(1)donnealors:12Chapitre1-Applicationsdierentiables.
Df(a)(~h)=nX
j=1h j:Df(a)(~ej)=nX j=1h deE,onnote@f relativementalabaseE.Pardenitiondeladeriveedirectionnelle:@f
Df(a)(~h)=nX
j=1h j:@f @xj(a)(2)XCalculpratique.Laderiveepartielle@f
@xj(a)n'estalorsriend'autre en(1;1;1):R3y7!f(1;y;1)=sin(y)1=y2.@f @f @x2(1;1;1)=cos(1)+2.22R.Calculonslatroisieme
@f @~e3(Q)=4:cos(1).1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs.
x2E;kxkE=1kL(x)kF=infx2Ef2 R veriekLL0kkLk:kL0k. continue,sup normesurL(E1;:::;En;F).Chapitre1-Applicationsdierentiables.13
Remarquonsquel'application:
deniepar: [U](~h1;:::;~hn)=(:::(U(~h1))(~h2):::)(~hn)estunisomorphismed'espacesvectorielsquiconserve (x;y)7!U(x;y)2L(R2;R)estaussilineaire.Aveclesnotationsci-dessus, (U)estl'applicationbilineairede R2( (U)2L(R2;R2;R))denieparR2R23((x;y);(a;b))! (U)((x;y);(a;b))=ax+aybx+3by.
Consideronsmaintenantf:
!Funeapplicationdierentiablesur .OndisposedeDf: !L(E;F).LaquestiondeladierentiabilitedeDfena2
D2f(a).SiDfestdierentiablesur
,ondisposedeD2f: !L(E;L(E;F))'L(E;E;F),etlaquestion seposeencoreetc... !Fadmetunedierentielled'ordre k1,ouestkfoisdierentiableena2 (resp.sur )ssi: -Pourk>1:festk1foisdierentiablesur etsisadierentielled'ordrek1, D k1f: sur )ssiDkfexistesur etestcontinueen a,(resp.sur1.5.Exemplesd'applicationsdierentiables.
lineaireelle-m^eme. multilineairecontinue. L( ~h1;a2:::;an)+:::+L(a1;:::;an1+~hn)+L; pourcompleter.Or14Chapitre1-Applicationsdierentiables.
DL(a):E1:::En!F
D etk2.Exercicesduchapitre1
f:R2!R;g:R2R2!R2 (x;y)7!2xy((x;y);(u;v))!(xu3xv;yu) iMontrerque kk1:f7!kfk1=sup x2[0;1]jf(x)j estunenormesurC0([0;1];R)etque kk0:f7!kfk0=kf0k1+jf(0)jetkk1:f7!kfk1=Z [0;1]jf0j+jf(0)j sontdesnormessurC1([0;1];R).D:(C1([0;1];R);kk1)!(C0([0;1];R);kk1)
f7!D(f)=f0 :(C1([0;1];R);kk1)!(C0([0;1];R);kk1) f7!I(f)=fI:(C1([0;1];R);kk1)!(C1([0;1];R);kk0)
f7!(f)=f :L(E;E;F)!L(E;L(E;F))B7!(B):E!L(E;F)
x7!(B)(x):E!F y7!(B)(x)(y)=B(x;y)Chapitre1-Applicationsdierentiables.15
Generaliserceresultat.
y2+2. ((xn)n2N)=(sin(xn))n2N iii-Montrerqueestdierentiableetm^emeC1. n2Njxnj. vecteur.Corrigedesexercicesduchapitre1
duTheoreme0:1:v). (x;y)2R2etkxk1=jxjpourtoutx2R. f((x;y)+(u;v))=f(x+u;y+v)=2(x+u)(y+v) =(2xy)+(2uv)=f(x;y)+f(u;v):Deplus,onapourtout(x;y)2R2:
16Chapitre1-Applicationsdierentiables.
etDeplus,pourtous(x;y);(u;v)2R2,ona:
kg((x;y);(u;v))k1=max(jxu3xvj;jyuj)4:k(x;y)k1:k(u;v)k1;
=5. kfk1+kgk1 [0;x]f0=0, f=0 (1)kfk1=0,(R f=0 (2)kfk1=R [0;1]jf0j+jf(0)j=jjR [0;1]jf0j+jjjf(0)j=jjkfk1 (3)kf+gk1=R [0;1]jf0+g0j+jf(0)+g(0)jR [0;1](jf0j+jg0j)+jf(0)j+jg(0)j=kfk1+kgk1 leTheoreme0.1(i,ii),avecn=1. nsin(n2x)pourtoutn>0.Ona f8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk1
estdoncfausse. kfk0.L'assertion8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk0
estdoncvraieavec=1.Chapitre1-Applicationsdierentiables.17
f8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk1
estdoncfausse. nsin(n2x)pourtoutn>0.Ona f8f2C1([0;1];R);kfk0kfk1
estdoncfausse. f8f2C1([0;1];R);kfk0kfk1
estdoncfausse. f n2C1([0;1];R),kfnk1=1=netkfk1=R [0;1]jsin(nx)jdx=nR [0;n]jsin(nx)jdx=2.Pourtout2R, l'assertion8f2C1([0;1];R);kfk1kfk1
estdoncfausse. unouvertdeE,aunpointde Eetf: !Fdelimite 0 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakEpa(x)()Consideronsmaintenantkk0
EunenormedeEequivalenteakkEetkk0
FunenormedeFequivalenteakkF,
etregardonssif:( ;kk0E)!(F;kk0
F)estencoredierentiableena.
8x2E:c:kxkEkxk0
EC:kxkE(1)
8x2E::kxkFkxk0
F:kxkF(2)
doncdetesterladierentiabilitedef:( ;kk0E)!(F;kk0
-La:(E;kk0E)!(F;kk0
F)estcontinue,
-ilexisteuneapplicationp0 a:Eetkk0
F!)telleque:
8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxak0 Ep0 a(x):() -LacontinuitedeLa:(E;kk0E)!(F;kk0
F):ilsutdelaverieren0E.Sikxk0
E!0,parlapremiere
F!0.Onadoncprouve:kxk0
E!0=)kLa(x)k0
F!0,iela
continuitedeLa:(E;kk0E)!(F;kk0
F).18Chapitre1-Applicationsdierentiables.
-Si()estveriee,necessairement:8x2 :kxakE:pa(x)=kxak0 E:p0 a(x).Onenconclutquep0 aest determineepar:8x6=a;p0 a(x)=kxakE kxak0quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] fonction du logiciel word
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