[PDF] Applications différentiables Montrer que F est de

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Enoncés : M. Quéffelec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis

Corrections : F. SarkisExo7

Applications différentiables

Exercice 1

Soitfune applicationfdeEdansFespaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle les implications suivantes : six02E, "fde classeC1enx0")"fdifférentiable enx0")"f

continue enx0". On sait de même que "fdifférentiable enx0")"fadmet des dérivées partielles enx0"

montrer que les réciproques sont fausses en général en s"inspirant de : f(x) =8 >:x

2sin1x

+y2sin1y sixy6=0 x

2sin11

xsiy=0 y

2sin1y

six=0

0 en(0;0)

ou de f(x) =( xy2x

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0 si(x;y) = (0;0)

1.

Soit fune application deEdansFespaces vectoriels normés et supposonsfdifférentiable ena; montrer

que pour tout vecteuru2E, la dérivée defenadans la directionuexiste , i.e. limh!01h f(a+hu) f(a)et l"exprimer à l"aide def0(a). 2. On considère f:R2!Rdéfinie parf(0;0) =0 et, si(x;y)6= (0;0),f(x;y) =x3yx

4+y2. Montrer quefest

dérivable en(0;0)dans toutes les directions, mais quefn"est pas différentiable en(0;0). Soitg:R!Rune application de classeC2etF:R2!Rdéfinie par

F(x;y) =g(x)g(y)xysix6=y;F(x;x) =g0(x):

Montrer queFest de classeC1en tout point deR2et calculer sa différentielle.

SoitEnl"espace des polynômes de degré6n. Etudier la différentiabilité des applicationsP7!R1

0(P3(t)

P

2(t))dtetP7!P0P2.

Soitfune application différentiable deR2dans lui-même, propre (i.e.jjf(x)jjtend vers¥quandjjxjj !¥),

telle que pour toutx2R2Df(x)soit injective. On va montrer quefest surjective. Soita2R2etg(x) = jjf(x)ajj2; 1

1.Calculer Dg(x).

2.

Montrer que gatteint sa borne inférieure en un pointx0deR2, et queDg(x0) =0; en déduire le résultat.

Soit, dansRn,Fun sous-espace fermé, et soitf:Rn!Rdéfinie parf(x) =d(x;F). On rappelle quefest

1-lipschitzienne, et que pour chaquexil existey2Ftel quef(x) =d(x;y).

1. On suppose que fest différentiable enx=2F. Montrer quejjDf(x)jjL(Rn;R)61. 2. On considère la fonction j:t2[0;1]!f((1t)x+ty); en calculantj0(0)de deux façons, montrer que

Df(x):xyjjxyjj=1 etjjDf(x)jjL(Rn;R)=1.

3.

En déduire que yest unique.

SoitEun espace de Banach etL(E)l"espace des endomorphismes linéaires continus deE. 1. Soit A2L(E); montrer que l"applicationj:t2R!etAest dérivable et calculer sa dérivée. 2.

On suppose que la norme de Eest associée au produit scalaireh;i. Soitx2E. Montrer que l"application

F:t! hetAx;etAxiest dérivable et calculer sa dérivée. 3. On suppose que Aest antisymétrique. Montrer que pour toutt,etAest unitaire.

Soita>0. Étudier la différientiabilité à l"origine de l"applicationf:R2!Rqui est définie parf(0;0) =0 et

par f(x;y) =jxyjapx

2+3y2si(x;y)6= (0;0):

Soitf:R2!Rdéfinie par

f(x;y) =xy2x

2+y2si(x;y)6= (0;0)

SoitX=C([0;1])muni de la norme uniforme et soitfune application deC1(R;R). On noteFl"application j7!fjdeXdansX. Montrer que pour chaquej2X,DF(j)est l"opérateur linéaire de multiplication par f

0jdansX:

DF(j)(h) =h f0j;

SoitFl"algèbre des matrices carrésppmunie d"une norme. 2

1.Soit f:F!Rl"application qui associe à une matriceAson determinantf(A)=det(A). Montrer qu"elle

est différentiable et déterminerDf. 2. Pour n>1, on considère l"applicationjn(A) =AndeFdansF. Montrer qu"elle est différentiable en toute matriceA2F. 3. On désigne par Ul"ensemble des matrices inversibles deF. Montrer queUest un ouvert deFet calculer la différentielle de l"applicationA7!A1deUdansU. 1.

Que peut-on dire de la dif férentiabilitéde l"appli cationf:R2!Rdéfinie parf(x1;x2) =kxk¥=

max(jx1j;jx2j)? 2. Généraliser ceci à f:F!R,f(x) =kxk¥, avecF=RnouFl"ensemble des suites convergentes vers zero. Soitf:R2!Rl"applicationx= (x1;x2)7! kxk1=jx1j+jx2j. Est-ce qu"elle est différentiable? Considérons maintenantl1l"espace des suites réelles muni de la normekxk1=å¥j=1jxjj. 1.

Montrer que pour toute forme linéaire continue Lsurl1il existe une suite bornéea= (a1;a2;::::)telle

que

L(x) =¥å

j=1a jxj: 2.

Montrer que l anorme k:k1:l1!Rn"est pas différentiable en aucun point del1(raisonner par l"absurde

en utilisant (1.)).

Dans un espace normé(F;N), on considére l"applicationx7!N(x). Rappeler que, lorsque cette applicationN

est différentiable enx2F, alors

DN(x)(h) =limt!01t

(N(x+th)N(x)):

En déduire queNn"est pas différentiable en 02F. SupposonsNdifférentiable enx2F, alors justifier que

Nl"est aussi enlx, oùl>0, et queDN(x) =DN(lx). En considérant la dérivée enl=1 de l"application

SoitEun espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire(x;y)7! hx;yiet de la norme associéekxk=hx;xi12

Soituun endomorphisme continu deEque l"on suppose symétrique, i.e. hu(x);yi=hx;u(y)ipour toutx;y2E: 1.

Montrer quel"applicationx2E7!hu(x);xiestdifférentiablesurEetcalculersadifférentielle. L"application

x7! kxk2est donc différentiable. 3

2.On définit une application j:Enf0g!Ren posantj(x)=hu(x);xihx;xi. Établir qu"il s"agit d"une application

différentiable. Calculer ensuiteDj. Montrer que, pour un élément non nula2E, on aDj(a) =0 si et

seulement siaest vecteur propre deu.

Correction del"exer cice1 N1.(Etude en0).jsin(1=x)j61parconséquentjx2sin(1=x)j6x2. Demêmejy2sin(1=y)j6y2. Parconséquent

jf(x;y)j6x2+y26(px

2+y2)26(jj(x;y)jj2)2

Et donc

limjj(x;y)jj!0jf(x)f(0)j=0 et doncfest continue à l"origine. En remarquant quejj(x;y)jj22=o(jj(x;y)(0;0)jj2)on af(x;y) =

0+o(jj(x;y)(0;0)jj2)et doncfest différentiable en 0 et

Df(0) =0:

Par conséquentfadmet des dérivées partielles dans toutes les directions à l"origine qui sont nulles. La

2.

Pour (x;y)6=(0;0),fest continue en(x;y)et même de classeC¥en tant que composés sommes, produits

et quotient de telles fonctions. Il reste à étudierfà l"origine. Or, jf(x;y)j=jxy2jx

2+y26jxj(x2+y2)x

2+y26jxj6jj(x;y)jj2:

Ainsi,fest continue à l"origine et y tend vers 0.

Montrons par l"absurde quefn"est pas dérivable à l"origine. NotonsDf(0)la (supposée) différentielle

defà l"origine. L"application linéaireDf(0)s"obtient par la calcul de l"image de vecteurs de la base de

R

2. Calculons pour 'les dérivées directionnelles defà l"origine:

D (1;0)f(0) = [Df(0)]((1;0)) =limh!0f(0+h(1;0))f(0)h =limh!0f(h;0)h =limh!00=0: D (0;1)f(0) = [Df(0)]((0;1)) =limh!0f(0+h(0;1))f(0)h =limh!0f(0;h)h =limh!00=0:

Par conséquent, on a nécessairement

Df(0) =0

Or, D (1;1)f(0) = [Df(0)]((1;1)) =limh!0f(0+h(1;1))f(0)h =limh!0f(h;h)h =limh!0h 32h2h
=12 6=0

ce qui donne la contradiction recherchée.Correction del"exer cice3 NEn tout point(x0;y0)avecx06=y0,fest continue et même de classeC2car composée (projections sur (0x) et

(Oy)), différence et quotient de fonctions de classeC2dont le dénominateur ne s"annule pas. Dans ces points,

la différentielle defest donnée par la matrice jacobienne:

qui est bien de classeC1(gétant de classeC2,g0est de classeC1). Montrons queFest continue aux points de

la forme(a;a). Le DL degà l"ordre 2 entrexetydonneg(y) =g(x)+(yx)g0(cx;y)avecc2[x;y]d"où lim (x;y)!(a;a)g(x)g(y)xy=lim(x;y)!(a;a)g0(cx;y) =g0(a) =F(a;a) 5

car comme(x;y)tend vers(a;a),xetytendent tous les deux versaet donccx;yaussi (etg0est continue). Pour

montrer queFestC1(sachant queFest continue), il suffit de montrer que la différentielle deFse prolonge

par continuité surR2. Le DL degà l"ordre 2 entrex0ety0est: g(x0) =g(y0)+(x0y0)g0(y0)+(x0y0)22 g(2)(c1)avecc12[x0;y0]: g(y0) =g(x0)+(y0x0)g0(x0)+(y0x0)22 g(2)(c2)avecc22[x0;y0]:

On a donc

et

La fonctiongétant de classeC2, on a

lim (x0;y0)!(a;a)Df(x0;y0) =g(2)(a)=2;g(2)(a)=2

et doncDfse prolonge par continuité sur toutR2.Fest donc bien de classeC1.Correction del"exer cice4 NSoitF1(P) =R1

0P3P2dt, et soithun polynôme de degrénalors

F

1(P+h)F1(P) =Z

1

0[(P3+3P2h+3Ph2+h3)+(P2+2Ph+h2)P3P2]dt=

Z 1

0h(3P2+2P)dt+Z

1

03Ph2+h3+h2dt

OrjR1

03Ph2+h3+h2dtj=o(jjhjj¥)donc

DF

1(h) =Z

1

0(3P2+2P)hdt:

SoitF2(P) =P0P2et soithun polynôme de degrénalors F

2(P+h)F2(P) = (P+h)0(P+h)2P0+P2=h02Phh2

Orh2=o(jjhjj)(pour toute norme a choisir). On a donc DF

2(h) =h02Ph:Correction del"exer cice5 N1.On a g(x;y)=où<:;:>est le produit scalaire Euclidien surR2. L"application

gest différentiable en tant que composée et produit de fonctions différentiables. La différentielleDfest

donné par la matrice Jacobienne etDgpar la matrice 6

On a alors

De même,

2.

L "applicationfest continue (car différentiable) et tend vers l"infini quand(x;y)tend vers l"infini. Ainsi

8A>0;9B>0;jj(x;y)jj>B) jjf(x;y)jj>A:

Soitm=inf(x;y)2R2g(x;y), pourA=m+1, il existeB>0 tel que jj(x;y)jj>B)g(x;y) =jjf(x;y)jj2>A2>(m+1)2>m+1:

On a donc

m=inf (x;y)2R2g(x;y) =infjj(x;y)jj6Bg(x;y): OrlabouleB(0;B)étantcompacteetgcontinue, l"infyestateintenunpointX0=(x0;y0)2B(0;B)R2. CommeX0est un minimum global deg, c"est aussi un minimum de la restriction degsur toute droite

passant parX0. Comme la dérivé d"une fonction réelle en un minimum est nulle, toute les dérivées

partielles degsont nulles et doncDg(X0) =0 et par conséquent la matrice jacobienne degest nulle. On

a donc CommeDfest injective, ses colonnes forment une base deR2. Par conséquent les projections def(x)a f(x0;y0)a=0,f(x0;y0) =a

et doncaadmet bien un antécédent. Ceci étant valable pour touta2R2, on a montré quefest surjective.Correction del"exer cice6 N1.Pour montrer que jjDf(x)jjL(Rn;R)61, il faut montrer que sih2Rn, on ajDf(x):hj6jjhjj. On a

jDf(x):hj=jDhf(x)j=jlimt!0f(x+th)f(x)t j: Orfest 1-lipschitzienne et doncjf(x+th)f(x)j6jjthjj=tjjhjj:Par conséquent pour touth2Rn, jDf(x):hj6jjhjjce qui donne l"inégalité demandée. 2. j

0(0) =limt!0j(t)j(0)t0=limt!0f((1t)x+ty)f(x)t

lim t!0f(x+t(yx))f(x)t =Df(x):(yx): Ou encore, soity:R!Rnl"applicationy(t) = (1t)x+ty, on a alorsj(t) =fyet d"après la formule de différentielle d"une composition: j

0(0) =Df(y(0)):Dy(0) =Df(x):(yx):

7 Or, d(x;F) =d(x;y) =jjxyjj=11tjj(1t)(xy)jj=

Notonsxt= (1t)x+ty, on a alors

d(xt;y) = (1t)d(x;F):

Or,j(t) =d(xt;F)6d(xt;y)6(1t)d(x;y)6j(0)et donc

jj0(0)j=limt!0jj(t)j(0)jt =limt!0j(0)j(t)t lim t!0d(x;y)(1t)d(x;y)t >d(x;y) =jjxyjj: Donc jDf(x)(xy)j>jjxyjj d"où la deuxième inégalité. 3. Raisonnons par l"absurde. Supposons qu"il e xistedeux point y1ety2tels qued(x;F) =d(x;y1) =

d(x;y2):Alors, de la même manière que précédement, on aDf(x):(xy1) =Df(x):(xy2) =d(x;F)et

doncDf(x):(xy1+xy2) =2d(x;F). Or,jjxy1+xy2jj<2d(x;F)car les vecteursxy1etxy2 ne sont pas alignés. Mais alors cela contredit le fait quejjDf(x)jjL(Rn;R)=1.8quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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