1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs Propriété : Une droite d est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est.
DROITES ET PLANS DE LESPACE
I. Positions relatives de droites et de plans Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Tout vecteur colinéaire à {? est solution. XI. Projection orthogonale. 1) Projection orthogonale d'un point sur une droite. Définition : Soit
PRODUIT SCALAIRE
Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la
Les plans dexpériences
21 déc. 2009 Définition : La réponse est la grandeur mesurée lors de l'essai. ... plan d'expériences ou qu'un ensemble d'essais est orthogonal lorsque.
Droites et plans dans lespace
Définition 3 : Une droite D et un plan P sont orthogonaux si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Chapitre 24 : Applications orthogonales en dimension 2 et 3
24 juin 2016 Bien évidemment dans une base qui n'est pas orthonormale
Produit scalaire et plans dans lespace
11 juil. 2021 AB donc les droites d et (AB) sont orthogonales. 2.2 Droite et plan orthogonaux. Définition 3 : Un plan (P) de vecteurs directeurs (u1 u2) est ...
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. II. Vecteur normal à un plan. 1) Définition et propriétés. Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à
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Definition : Deux plans P et P' de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan
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On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles issues d'un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires
Orthogonalité de deux droites dune droite et dun plan - Maxicours
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires Si une droite (d) est orthogonale à deux droites
Orthogonalité - Wikipédia
On emploie plutôt le terme de perpendiculaires pour deux droites orthogonales et sécantes On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est
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DÉFINITION : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan On note
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I Positions relatives de droites et de plans Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles
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Définition : On considère une droite (D) orthogonale à un plan (P) Tout vecteur directeur de (D) est appelé vecteur normal au plan (P) Exemple :
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Orthogonalité dans lespace - Maths - Fiches de Cours pour Lycée
DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de Une droite D est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toutes
C'est quoi un plan orthogonal ?
Un plan orthogonal, ou hippodaméen, ou encore en damier, est un plan dans lequel les axes se croisent à angle droit selon une maille régulière. C'est l'une des formes les plus courantes d'organisation de l'espace, tant dans les espaces ruraux qu'urbains.9 sept. 2022Comment savoir si un plan est orthogonal ?
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.Quel est le projeté orthogonal ?
On considère un plan P de l'espace dont on connaît un vecteur normal n et un point M extérieur au plan P. Le projeté orthogonal de M sur P est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur n passant par M.- Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur sont parallèles et qui sont perpendiculaires entre elles.
Produit scalaire et plans dans l"espace
Table des matières
1 Produit scalaire2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés et orthogonalité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . 3
2 Orthogonalité dans l"espace4
2.1 Droites orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Droite et plan orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Plans orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Équation cartésienne d"un plan5
3.1 Vecteur normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Équation d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Distance d"un point à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ
1 PRODUIT SCALAIRE
1 Produit scalaire
1.1 Définition
Définition 1 :Le produit scalaire dans le plan se généralise à l"espace.Le produit scalaire de deux vecteurs
?uet?vest le nombre réel, noté?u·?v, tel que : Par le cosinus:?u·?v=||?u|| × ||?v|| ×cos(?u,?v) Par le projeté:?u·?v=-→AB·--→AC=±AB×AH avec ?u=-→AB et?v=--→AC et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Par la norme:?u·?v=12?||?u+?v||2- ||?u||2- ||?v||2?.Par les coordonnées:?u·?v=((
x y z)) x? y z =xx?+yy?+zz? avec ?u(x;y;z)et?v(x?;y?;z?)Démonstration :L"équivalence de ces dé-
finitions est identique à la démonstration dans le plan. En effet, on peut toujours trouver un plan (P) passant par un point A et de vecteurs directeurs ?uet?v(cf 1re).θABC
H ?u ?v(P) Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), on a : Remarque :On écrira?u·?u=?u2et-→AB·-→AB=-→AB2=AB2. Le mot " scalaire» renvoie à un nombre réel en opposition au mot "vecteur ». Pour la définition avec le cosinus, on pourra considérer l"angle(?u,?v), comme un angle géométriqueθ?[0 ;π], car la fonction cosinus est paire. Cela explique la symétrie du produit scalaire. Le signe du produit scalaire est celui du cosθ ?u·?v>0 siθ<π2?u·?v=0 siθ=π2?u·?v<0 siθ>π2 La définition par la norme est aussi appelée formule depolarisation.Elle peut aussi s"écrire sous la forme :
?u·?v=12?||?u||2+||?v||2- ||?u-?v||2?.
Exemple :Soit les vecteurs?u(2 ;⎷
3 ; 1)et?v(3 ;⎷3 ; 2).
Calculer
?u·?v, puis déterminer une mesure de l"angle(?u,?v)au degré près. On calcule le produit scalaire avec les coordonnées : u·?v=((2⎷ 3 1))·((3⎷3
2)) =2×3+ (⎷3)2+1×2=11PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ
1.2 PROPRIÉTÉS ET ORTHOGONALITÉ DE DEUX VECTEURS
On détermine l"angle en utilisant la formule avec le cosinus : u·?v=||?u|| × ||?v||cos(-→u,?v)?cos(?u,?v) =?u·?v ||?u|| × ||?v|| ?u||=?22+⎷32+12=⎷8=2⎷2
?v||=?32+⎷32+22=⎷16=4?????
?cos(?u,?v) =112⎷2×4=118⎷2On a alors :(?u,?v) =arccos?11
8⎷2?
≈13,5°≈14°Exemple :ABCDEFGH est un cube d"arêtea.
O est le centre de la face EFGH.
Calculer-→AE·--→AO en fonction dea
O se projette orthogonalement en E sur (AE) donc
-→AE·--→AO=AE2=a2 A B C DE FG H O1.2 Propriétés et orthogonalité de deux vecteurs
Propriété 1 :Le produit scalaire est une forme :Symétrique :?u·?v=?v·?u
Bilinéaire :?u·(?v+?w) =?u·?v+?u·?wet(a?u)·(b?v) =ab×(?u·?v). Remarque :La bilinéarité du produit scalaire est une sorte de " distributivité». ?u±?v)2=?u2+?v2±2?u·?vet(?u-?v)(?u+?v) =?u2-?v2Que l"on peut transposer avec les normes :
?u±?v||2=||?u||2+||?v||2±2?u·?vet(?u-?v)(?u+?v) =||?u||2- ||?v||2 Propriété 2 :Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs Si?uet?vsont colinéaires et de même sens :?u·?v=||?u|| × ||?v|| Si?uet?vsont colinéaires et de sens contraires :?u·?v=-||?u|| × ||?v|| ?uet?vsont orthogonaux si, et seulement si :?u·?v=0 Remarque :Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Exemple :Soit les points A(6 ; 8 ; 2), B(4 ; 9 ; 1)et C(5 ; 7 ; 3). Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.-→AB= (-2 ; 1 ;-1)et--→AC(-1 ;-1 ; 1) -→AB·--→AC= (-2)×(-1) +1×(-1) + (-1)×1=2-1-1=0 -→AB?--→AC donc le triangle ABC est rectangle en A.PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ
2 ORTHOGONALITÉ DANS L"ESPACE
2 Orthogonalité dans l"espace
2.1 Droites orthogonales
Définition 2 :Deux droitesd1etd2de vecteurs directeurs?u1et?u2sont : orthogonalessi, et seulement si :?u1·?u2=0. perpendiculairessi et seulement sid1etd2sont orthogonales et sécantes. Remarque :On écrit indistinctementd1?d2dans le deux cas.Dans le cube :
les droitesd1etd2sont orthogonales mais pas perpen- diculaires. les droitesΔetd2sont perpendiculaires donc ortho- gonales. d1Δ d2 Exemple :Soit les points A(2 ;-5 ; 1)et B(0 ; 2 ; 6). Démontrer que la droitedde vecteur directeur?u(-4 ; 1 ;-3)est orthogonale à la droite (AB) -→AB(-2 ; 7 ; 5)et?u·-→AB=-4×(-2) +1×7-3×5=8+7-15=0. -→u?-→AB donc les droitesdet (AB) sont orthogonales.2.2 Droite et plan orthogonaux
Définition 3 :Un plan (P) de vecteurs directeurs(?u1,?u2)est orthogonal à une droitedde vecteur directeur?vsi, et seulement si,u1·?v=0 etu2·?v=0 Exemple :Soit les points A(2 ; 0 ; 2), B(4 ; 0 ; 0),C(1 ;-2 ; 1), D(-1 ; 1 ; 0)et E(1 ;-1 ; 2).
Le plan (ABC) et la droite (DE) sont-ils orthogonaux? On a :-→AB= (2 ; 0 ;-2)et--→AC= (-1 ;-2 ;-1) (P)d ?u1?u2 ?v Les coordonnées de-→AB et--→AC ne sont pas proportionnelles donc(-→AB ,--→AC) forment un couple de vecteurs directeurs de plan (ABC).On a :-→DE= (2 ;-2 ; 2)donc
AB·-→DE=((
2 0 -2)) 2 -22)) =4-4=0 et--→AC·-→DE=((-1 -2 -1)) 2 -22)) =-2+4-2=0 DE?-→AB et-→DE?--→AC donc le plan (ABC) et la droite (DE) sont orthogonaux.PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ
2.3 PLANS ORTHOGONAUX
2.3 Plans orthogonaux
Définition 4 :Un plan (P) est orthogonal à un plan (Q) si, et seulement si, il existe une droiteddu plan (Q) orthogonale au plan (P). Pour que deux plans (P) et (Q) soient orthogonaux, il suffit qu"un vecteur?vde (Q) soit orthogonal à un couple de vecteurs directeurs ( ?u1,?u2)de (P). ?Si un plan (R) est perpendiculaire à deux plans (P) et (Q), les plans (P) et (Q) ne sont pas nécessaire- ment parallèles entre eux. ?De même deux plans (P) et (Q) peuvent être or- thogonaux et avoir des droites parallèles. ?u1 u2 ?v (P) (Q)(R)3 Équation cartésienne d"un plan
3.1 Vecteur normal
Définition 5 :Un vecteur?nest normal à un plan (P) si?nest orthogonal à un couple de vecteurs directeur(?u,?v)de (P). Remarque :(?u,?v,?n)forme alors une base de l"espace. Théorème 1 :Deux plans de vecteurs normaux respectifs?n1et?n2sont ortho- gonaux si et seulement si : ?n1·?n2=0 Remarque :Méthode à privilégier pour montrer l"orthogonalité de deux plans. Démonstration :Immédiate en se référant à la définition du vecteur normal et de la définition de l"orthogonalité de deux plans. Théorème 2 :Le plan (P) passant par le point A et de vecteur normal?nest l"ensemble des points M tels que : --→AM·?n=0 Démonstration :Si(-→u,?v)est un couple de vecteurs directeur de (P) alors pour tout point M, il existea,b?Rtels que :--→AM=a?u+b?v.On a alors :
--→AM·?n= (a?u+b?v)·?n=a?u·?n???? =0+b?v·?n???? =0=0PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ
3 ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UN PLAN
3.2 Équation d"un plan
Théorème 3 :Une équation cartésienne d"un plan est de la forme : ax+by+cz+d=0 aveca,b,cnon tous nulsLe vecteur
?n(a;b;c)est alors un vecteur normal au plan.Démonstration :Par une double implication.
Soit le plan (P) passant par A et de vecteur normal?n(a;b;c).Un point M(x;y;z)?(P) vérifie alors :
--→AM·?n=0?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0 ?ax+by+cz-(axA+byA+czA) =0On posed=-(axA+byA+czA), on a alorsax+by+cz+d=0
Réciproquement, soit :ax+by+cz+d=0, aveca,betcnon tous nuls. On peut alors trouver un point A(xA;yA;zA)vérifiant l"équation, en effet : par exemple aveca?=0, sixA=-d aetyA=zA=0, on a : axA+byA+czA+d=a?
-d a? +b×0+c×0+d=0. Soit M(x;y;z)vérifiant l"équation, alors?ax+by+cz+d=0(1) axA+byA+czA+d=0(2)
(2)-(1)donne alors :a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0Cette égalité traduit alors, en prenant
?n(a;b;c), la relation--→AM·?n=0. Cela montre que l"ensemble des points M est un plan de vecteur normal ?n. Exemple :Déterminer une équation cartésienne du plan (P) passant par le pointA(3 ; 5 ; 2)et de vecteur normal?n(2 ;-3 ;-1).
Soit M(x;y;z)?(P), on a :
AM·?n=0?((
x-3 y-5 z-2)) 2 -3 -1)) =0?2(x-3)-3(y-5)-(z-2) =0 ?2x-3y-z-6+15+2=0?2x-3y-z+11=0 Remarque :Équation des plans de coordonnées :PlansOxyOxzOyz
Équationsz=0y=0x=0
x=0y=0 z=0xyz OPAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ
3.3 DISTANCE D"UN POINT À UN PLAN
3.3 Distance d"un point à un plan
Définition 6 :Projeté orthogonal.
Le projeté orthogonal d"un point A sur une droitedou un plan (P) est le point d"intersection H, de la droitedou du plan (P), et de la perpendiculaire, à cette droite ou à ce plan, passant par le point A. Théorème 4 :Distance d"un point à un plan. On appelle distance d"un point M au plan (P), la longueur MH où H estle projeté orthogonal de M sur le plan (P). Cette distance est la plus courte distance entre le point M et un point du plan (P). Démonstration :Soit H le projeté orthogonal du point M sur le plan (P) et A un point de (P) distinct de H. La droite (MH) est orthogonale au plan (P) donc elle est orthogonale à toutes droites du plan (P) et donc à la droite (AH). Le triangle AMH est rectangle en H, d"après le théo- rème de Pythagore : AM2=AH2+MH2.
Comme AH?=0 alors AM > MH. La distance MH
est la plus courte distance de M à un point du plan (P). (P)M H A Exemple :Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H du point A(7 ;0 ; 4) sur le plan (P) d"équation : 2x-y+3z+1=0.En déduire la distance du point A au plan (P).
normal à (P) donc ?n(2 ;-1 ; 3). da alors pour représentation paramétrique :?????x=7+2t y=-t z=4+3t,t?R Les coordonnées de H vérifie le système de la droitedet l"équation du plan (P). En remplaçant les coordonnées de H en fonction detdans l"équation de (P) :2(7+2t)-(-t) +3(4+3t) +1=0?14t+26=0?t=-2
Ontrouveenprenantpart=-2dansd,lescoordonnéesdupointH(3; 2;-2). La distance du point H au plan (P) est alors : AH=? (3-7)2+ (2-0)2+ (-2-4)2=⎷56=2⎷14PAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ
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