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Chapitre 2

Ensembles et sous-ensembles

1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble

Dans une th´eorie math´ematique, il est rare qu"un objet intervienne seul; d"o`u l"id´ee de con-

sid`erer des collections, groupements, familles, etc. d"objets, les objets ainsi "regroup´es"´etant

d´esign´es par individu, membre, ´el´ement, etc. Pour traduire ces deux id´ees compl´ementaires,

les math´ematiciens ont choisi les motsensembleet´el´ement. Unensembleest donc une collection d"objets satisfaisant un certain nombre de propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e´el´ementde cet ensemble.

Un ensemble est bien d´etermin´e si l"on peut r´epondre par oui ou par non `a la question : tel

objet appartient-il `a cet ensemble et ceci quel que soit l"objet consid´er´e. Sixest un ´el´ement de l"ensembleE, on dit aussi quexappartient `aEet on notex?E. Sixn"appartient pas `aE, on notex??E. Deux ensembles sont´egauxs"ils ont les mˆemes

´el´ements.

Remarque -Un ensemble peut ˆetre un ´el´ement d"un autre ensemble. Parexemple, si un fleuriste pr´esente dans une corbeille un ensemble de bouquets de roses, chaque bouquet

doit ˆetre consid´er´e comme un ´el´ement de l"ensembleBdes bouquets. Par contre aucune

rose n"est un ´el´ement de cet ensembleB; chacun d"elles est un ´el´ement du bouquet o`u elle

figure, bouquet qui peut alors ˆetre consid´er´e comme un ensemble de roses. Nous constatons

que suivant les circonstances un mˆeme objet peut ˆetre consid´er´e soit comme un ´el´ement soit

comme un ensemble. On admet l"existence d"un ensemble n"ayant aucun ´el´ement. Cet ensemble est appel´e ensemble videet not´e∅.

2. Comment d´efinir un ensemble

2.1. Les ensembles d´ej`a rencontr´es

Vous avez d´ej`a travaill´e sur des ensembles de nombres; ils ont un nom qui les d´efinit enti`erement. Par exemple,Nest l"ensemble des entiers naturels;Z,Q,RetCd´esignent respectivement l"ensemble des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r´eels et

des nombres complexes;R?,R+,R?+d´esignent les r´eels non nuls, les r´eels positifs, les r´eels

strictement positifs, etc.

2.2. Ensemble d´efini en extension

On d´efinit un ensemble en extension en pr´esentant la liste des ´el´ements qui le forment. Cette

liste est plac´ee entre accolades{ }, les ´el´ements ´etant s´epar´es par une virgule ou un point-

virgule. L"ordre de pr´esentation des ´el´ements n"intervient pas et chaque ´el´ement ne peut

figurer qu"une seule fois dans la liste. Par exemple, l"ensembleEdont les ´el´ements sont 1, 2, 3, 4 est not´eE={1,2,3,4}; l"ensemble des lettres du motmath´ematiquesest{m,a,t,h,e,i,q,u,s}. Un ensemble `a un seul ´el´ementxest not´e{x}et on l"appelle lesingleton{x}. On a donc x? {x}(et pasx={x}). Un ensemble `a deux ´el´ements est appel´e une paire. Cette ´ecriture ne peut raisonnablement s"appliquer qu"`ades ensembles ayant un "petit" nombre d"´el´ements.

Relation d"inclusion2.3. Ensemble d´efini en compr´ehensionOn peut ´enoncer une propri´et´e telle que tout ´el´ement qui la poss`ede appartient `a l"ensemble

et tout ´el´ement qui ne la poss`ede pas n"appartient pas `a l"ensemble. On note de la mani`ere suivante l"ensembleFdont les ´el´ements sont les ´el´ementsxd"un ensembleEposs´edant la propri´et´eP(x)

F={x?E|P(x)}

On lit queFest l"ensemble des ´el´ementsxdeEtels quexposs`ede la propri´et´eP. Par E

2.4. Ensemble d´efini par une fonction

SoitFun sous-ensemble d"un ensembleEetfune application d´efinie surF. L"ensemble des valeurs prises parf(x) lorsquexparcourtFest not´e {f(x)|x?F}. Par exemple, siE=R, l"ensemble{cosx|x?[0,2π]}= [0,1].

3. Relation d"inclusion

D´efinition 2.1 -SoientAetBdeux ensembles. On dit queAest inclus dansBsi chaque ´el´ement deAest un ´el´ement deB.On noteA?B. On dit aussi "Aest contenu dansB" ou "Aest une partie deB" ou "Aest un sous-ensemble deB". AB A?B

Remarques -•A?A(r´eflexivit´e)

•SiA?BetB?C, alorsA?C(transitivit´e)

•A=Bsi et seulement si (A?BetB?A) (antisym´etrie). telles relations sont appel´eesrelations d"ordre.

Exemples -•N?Z?Q

• {x?R|0< x <4} ?R+

•SoitEun ensemble.∅ ?E

Exercice -SoitA={x?N|xpair}etB={x?N|xdivisible par 4}. Montrer que A?B. D´efinition 2.2 -Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appel´e ensemble des parties de Eet not´eP(E). Exemple -SiE={1,2}, alorsP(E) ={∅,{1},{2},E}. Remarque -Pour dire quexest ´el´ement de l"ensembleE, on peut au choix ´ecrire que x?Eou que{x} ?Eou que{x} ? P(E). - 8 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

Exercice -1◦) SoitE={1,2,3}. Donner tous les sous-ensembles deE. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE.

Montrer que (A?Bsi et seulement siP(A)? P(B)).

4. Intersection et r´eunion

D´efinition 2.3 -Soient A et B deux sous-ensembles d"un ensembleE. L"ensemble {x|x?Aetx?B}est appel´e l"intersection des ensemblesAetBet est not´eA∩B. SiA∩B=∅, on dit queAetBsontdisjoints. (A ne pas confondre avec distinct qui est la n´egation de ´egal) L"ensemble{x|x?Aoux?B}est appel´e l"union des ensemblesAetBet est not´eA?B. BA

A∩B={x|x?Aetx?B}

BA

A?B={x|x?Aoux?B}

SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A∩ ∅=∅etA? ∅=A

2)A∩B?AetA∩B?B

3)A?A?BetB?A?B

4)A?B=Asi et seulement siB?A

5)A∩B=Asi et seulement siA?B

Propri´et´es de∩et?-

Soient A, B, C trois sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A?B=B?A

2)A∩B=B∩A

3)A?(B?C) = (A?B)?C

4)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

5)A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C)

6)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)

On traduit ces propri´et´es en disant que?et∩sontcommutatives(propri´et´es 1 et 2),

associatives(propri´et´es 3 et 4), que?estdistributive par rapport `a∩(propri´et´e 5) et∩

estdistributive par rapport `a?(propri´et´e 6). Ces propri´et´es seront ´etudi´ees dans un autre

module. Pour s"en souvenir, on peut les comparer aux propri´et´es analogues de l"addition et de la mutiplication dansR: poura,b,cr´eels, on aa+b=b+a, ab=ba, a+ (b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c, a(b+c) =ab+ac. Mais on n"a pas l"´equivalent de la propri´et´e 5; en g´en´eral, on n"a pasa+ (bc) =ab+ac(trouver un exemple). !Ne pas oublier les parenth`eses. Par exemple,A∩B?Cn"a pas de sens. SiA= [0,1], B= [1,2] etC= [2,+∞[, on a (A∩B)?C={1} ?[2,+∞[,etA∩(B?C) ={1}. G´en´eralisation -SiA1,A2,...,Ansont des sous-ensembles d"un ensembleE, on d´efinit de mˆeme la r´eunionA1?A2?...?Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a au moins l"un des ensemblesA1,A2,...ouAnet l"intersectionA1∩A2∩...∩Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a tous les ensemblesA1,A2,...,An: - 9 -

Compl´ementaire d"un ensemble

A

1?A2?...?An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

A

1∩A2∩...∩An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

Exercice -SoientA,B,C,Ddes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que(A?B)∩ (C?D) = (A∩C)?(A∩D)?(B∩C)?(B∩D). Simplifier le r´esultat lorsque l"on aA?C.

5. Compl´ementaire d"un ensemble

D´efinition 2.4 -SoientEun en-

semble etAun sous-ensemble deE.

Le compl´ementaire deAdansEest

l"ensemble {x|x?Eetx??A}. On le note?EA ouE\Aou encore lorsqu"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e sur E, cA,Acou A. AE ?EA={x?E;x??A} Propri´et´es du compl´ementaire (Lois de De Morgan) -

SoientEun ensemble,AetBdes sous-ensembles deE.

1)?E(?EA) =A

2)A?Bsi et seulement si (?EB)?(?EA)

3)?E(A?B) = (?EA)∩(?EB)

4)?E(A∩B) = (?EA)?(?EB)

D´efinition 2.5 -SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On note A\Bl"ensemble{x?A|x /?B}et on l"appelle diff´erence deAetB. BA

A\B={x?A;x??B}

Remarques -•Lorsque l"on aB?A, la diff´erence deAetBest aussi le compl´ementaire deBdansA.

•A\B=A∩Bc.

•A?Bsi et seulement siA\B=∅.

!Ne pas oublier les parenth`eses.Trouver un exemple d"ensembles v´erifiant (A\B)\C?=A\(B\C). Exercice -1◦) SoientA={x?R|x2-3x+ 1>0}etB={x?R|x >0}. Montrer que les ensemblesAc,Bc,A∩B,A?B,A\BetB\Asont des intervalles ou des r´eunions d"intervalles et pr´eciser lesquels. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : - 10 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

1)A=B2)A\B=B\A

3 ◦) Mˆeme question pour les cinq propri´et´es suivantes. (On peut montrer qu"elles sont toutes ´equivalentes `a la premi`ere) :

1)A?B2)Bc?Ac3)A∩B=A

4)A?B=B5)A\B=∅

6. Produit d"ensembles

D´efinition 2.6 -SoientEetFdeux ensembles,xun ´el´ement deEetyun ´el´ement de

F. Le couple (x,y) est la donn´ee des deux ´el´ementsxetydans cet ordre. Les ´el´ementsx

etysont appel´es respectivement premi`ere et deuxi`eme coordonn´ee du couple (x,y). Deux couples (x,y) et (x?,y?) sont ´egaux si et seulement si on a (x=x?ety=y?). Le produit cart´esienE×Fest l"ensemble des couples (x,y) o`ux?Eety?F. Exemples -•SiE=F=R, le produitR×Rest aussi not´eR2. On le repr´esente souvent par l"ensemble des points du plan affine euclidien, en choisissant un rep`ere orthonorm´e (O,e1,e2). Le couple (x,y) est repr´esent´e par le point d"abscisse xet d"ordonn´eey. •SiA= [2,5] etB= [2,4], le produitA×Best un sous-ensemble deR2qui peut ˆetre repr´esent´e par le rectangle sur la figure ci-dessous.

A×B

OB A e1 e 224
2 5 Remarques -•Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.

•A?EetB?Fsi et seulement siA×B?E×F.

•Un produit cart´esien de deux ensembles est vide si et seulement si l"un au moins des deux ensembles est vide.

G´en´eralisation -Si on consid`ere des ensemblesE1,E2,...,En, on peut de mˆeme d´efinir les

n-uples (x1,x2,...,xn) o`ux1?E1,x2?E2,...,xn?Enet le produitE1×E2×...×En. En particulier,R×...×R? nfacteursest encore not´eRn. De mˆeme, on noteEnl"ensembleE×...×E???? nfacteurs. Exercice -SoitA=B={1,2}.Donner tous les sous-ensembles deA×B. - 11 -

TABLE DES MATIERES

II - Ensembles et sous-ensembles

7

1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Comment d´efinir un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

2.1. Les ensembles d´ej`a rencontr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Ensemble d´efini en extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Ensemble d´efini en compr´ehension . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Ensemble d´efini par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8

3. Relation d"inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Intersection et r´eunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Compl´ementaire d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Produit d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 11

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