[PDF] [PDF] ensemblepdf Un ensemble est une collection





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Quelques rappels sur la théorie des graphes

On appelle taille d'un graphe le nombre de ses arêtes i.e c'est card(A). de G et pour arcs/arêtes un sous-ensemble de ceux de G joignant les sommets de ...



Analyse combinatoire

6 mars 2008 prendre `a compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini de grande ... Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de cardinalité n?



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14 mai 2005 Soit maintenant E un ensemble dénombrable infini. Par définition il existe un sous-ensemble. A de N et une bijection f : A ? E. A est ...



Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

Soient E et F deux ensembles A et B deux sous-ensembles de E et C et D de l'ensemble E. Combien y-a-t-il de façons de former une partition de E.



Cours : Ensembles et applications

Remarque. Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu'il n'y paraît ! • f (A) est un sous-ensemble de 



Cardinalité des ensembles finis

surjective. En fait il n'y a pas assez d'éléments dans F (ou trop peu dans E). Le cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments.



Espaces vectoriels

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse additionner Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si :.



Exo7 - Exercices de mathématiques

Soient E et F deux ensembles f : E ? F. Démontrer que : ?A



Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et Un ensemble `a un seul élément x est noté {x} et on l'appelle le ...



Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

L'ensemble des sommets adjacents à un sommet si est défini par : adj(si) = 1sj/(sisj) ? A ou (sj Combien d'arêtes possède-t-il ? ... f 0 0 0 0 1 0 0.



[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes

Soient E et F deux ensembles A et B deux sous-ensembles de E et C et D de l'ensemble E Combien y-a-t-il de façons de former une partition de E



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Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble Si x est un 



[PDF] Chapitre 1 Ensembles et applications

18 fév 2013 · Si chaque élément de E est aussi un élément de F on dit que E est une partie (ou sous-ensemble) de F et on écrit E ? F Si E ? F et E = F 



[PDF] Analyse combinatoire

6 mar 2008 · Le but de l'analyse combinatoire (techniques de dénombrement) est d'ap- prendre `a compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini de grande 



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Un sous-multi-ensemble de E avec fonction multiplicité f est le Combien y a-t-il de façons de choisir (sans remise) quatre fruits



[PDF] Théorie des ensembles

Ce chapitre est consacré `a l'étude des propriétés fondamentales des ordinaux Les ordinaux ne sont en fait que des ensembles munis d'une certaine relation 



[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

Définition 2 Soient A et B deux ensembles On définit : - A ? B l'union de A et B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B ou dans les deux



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Un sous-ensemble est un ensemble dont chaque élément est aussi contenu dans un autre ensemble Si A est un sous-ensemble de B on note A?B



[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse

Il existe une application f : X ? N qui est injective si et seulement si X est dénombrable Exemples d'applications : Un sous-ensemble d'un ensemble 



[PDF] Ensembles et applications - Exo7 - Cours de mathématiques

Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu'il n'y paraît ! • f (A) est un sous-ensemble de F f ?1(B) est un sous-ensemble de E

  • Quels sont les sous-ensembles ?

    Un sous-ensemble est aussi un ensemble. Soient deux ensembles A et B. On dit que B est un sous-ensemble de A si tous les éléments de B sont aussi éléments de A. Exemple : L'ensemble B des entiers naturels de 1 à 3 est un sous-ensemble de l'ensemble A constitué par les entiers naturels de 1 à 7.

  • Quel est l'ensemble de F ?

    L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.

  • Comment trouver les sous-ensemble d'un ensemble ?

    Exemple. Soit l'ensemble E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et l'ensemble A = {2, 4, 8}. L'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble E parce que tous les éléments de l'ensemble A appartiennent à l'ensemble E et on écrit : A ? E.
  • Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E?F 0 E ? F et que, pour tout couple (x,y)?F2 ( x , y ) ? F 2 et tout scalaire ??K ? ? K , on a {x+y?F?x?F.

Chapitre1

Ensemblesetsous-ensembles

1.Notiond'ensemble-Elementd'unensemble

Notations

x2fxg(etpasx=fxg). E

0=fx2Njx4g(etonaaussiE0=f0;1;2;3;4g).

2.Relationd'inclusion

Denition1.1{SoientAetBdeux

ensembles.OnditqueAestinclusdans

BsichaqueelementdeAestunelement

deB:OnnoteAB.Onditaussi\A estcontenudansB"ou\Aestunepar- tiedeB"ou\Aestunsous-ensemble deB". AB AB

Remarques-AA

SiABetBC,alorsAC

A=Bsietseulementsi(ABetBA).

re

Intersectionetreunion

Exemples-NZQ

fx2Rj0Montrerque(ABsietseulementsiP(A)P(B)).

3.Intersectionetreunion

SiA\B=;,onditqueAetBsontdisjoints.

BA A\BBA A[B

1)A\;=;etA[;=A

2)A\BAetA\BB

3)AA[BetBA[B

4)A[B=AsietseulementsiBA

5)A\B=AsietseulementsiAB

Proprietesde\et[-

1)A[B=B[A

2)A\B=B\A

3)A[(B[C)=(A[B)[C

4)A\(B\C)=(A\B)\C

5)A[(B\C)=(A[B)\(A[C)

6)A\(B[C)=(A\B)[(A\C)

{2{

ENSEMBLESETSOUS-ENSEMBLES

exemple). 4 A

1[A2[:::[An=fxj9i2f1;2;:::;ng;x2Aig

A

1\A2\:::\An=fxj8i2f1;2;:::;ng;x2Aig

1

Simplierleresultatlorsquel'onaAC.

2 elements,montrerqueEenan+mp.

4.Complementaired'unensemble

Denition1.4{SoientEunen-

sembleetAunsous-ensembledeE.

LecomplementairedeAdansEest

l'ensemblefxjx2Eetx62Ag.Onle note{EAouEnAouencorelorsqu'il n'yapasd'ambigutesurE,cA;Acou A. AE EA

1){E({EA)=A

2)ABsietseulementsi({EB)({EA)

3){E(A[B)=({EA)\({EB)

4){E(A\B)=({EA)[({EB)

{3{

Partitions

BA AnBBA AB deBdansA.

AnB=A\Bc.

ABsietseulementsiAnB=;:

4 !Nepasoublierlesparentheses. 2 suivantessontequivalentes: 1)A=B

2)AnB=BnA

3)AB=;

3 toutesequivalentesalapremiere): 1)AB

2)BcAc

3)A\B=A

4)A[B=B

5)AnB=;

6)AB=BnA

5.Partitions

veriees:

1)LeurreunionestegaleaE:E=A1[A2[:::[An

{4{

ENSEMBLESETSOUS-ENSEMBLES

A1A2A3A4

E! l'ensembleE. unepartitiondeE. A

2etA3formentunepartitiondeE.

4

6.Produit

xetd'ordonneey. AB OB A e1 e 224
25
{5{

Produit

AEetBFsietseulementsiABEF:

moinsdesdeuxensemblesestvide. particulier,R:::R| {z} nfacteurs. 2 {6{

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

EA;{EB;A\B;A[B;AnB;BnAetAB.

Exercicen2

1)An(BnC)=(AnB)nC

2)A[(BnC)=(A[B)n(A[C)

Exercicen3

AnB=(A[B)nBetAB=(A\Bc)[(Ac\B).

Exercicen4

1)Simplier(AnC)[(BnC)[(A[B)c[C.

2)Simplier(An(Bc[C))[Ac[Bc[C.

Exercicen5

Exercicen6

Lepatronobtiendra-t-illeresultatdemande?

Exercicen7

1)(AC)\(BD)=(A\B)(C\D):

2)(AC)n(BC)=(AnB)C:

Exercicen8

ABouAappartientaP(E)etBappartientaP(F)?

Exercicen9

desreunionsdecertainsdesAi? {7{

Exercicesd'application

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen2

Exercicen4

OntrouveE.

Exercicen6

parrapporta.

Exercicen7

Oui.

Exercicen8

Exercicen9

15. {8{quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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