[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

View - Download Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 1

Ensembles et sous-ensembles

1. Notion d"ensemble - El´ement d"un ensemble

Unensembleest une collection d"objets satisfaisant un certain nombrede propri´et´es et chacun de ces objets est appel´e´el´ementde cet ensemble. Si xest un ´el´ement de l"ensembleE, on dit aussi quexappartient `aEet on notex?E. Sixn"appartient pas `aE, on notex??E. Deux ensembles sont´egauxs"ils ont les mˆemes ´el´ements.On admet l"existence d"un ensemble n"ayant aucun ´el´ement. Cet ensemble est appel´eensemble videet not´e∅.

Notations

•Il y a des notations r´eserv´ees pour certains ensembles ; par exemple,N est l"ensemble des entiers naturels ;Z,Q,RetCd´esignent respectivement l"ensemble des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres r´eels et des nombres complexes ;R?,R+,R?+d´esignent les r´eels non nuls, les r´eels positifs, les r´eels strictement positifs, etc. •L"ensembleEdont les ´el´ements sont 1, 2, 3, 4 est not´eE={1,2,3,4}. •Un ensemble `a un seul ´el´ementxest not´e{x}et on l"appelle lesingleton {x}. On a doncx? {x}(et pasx={x}). •Plus g´en´eralement, soitEun ensemble etP(x) une propri´et´e v´erifi´ee ou non suivant la valeur dex, ´el´ement de E ; l"ensembleAdont les ´el´ements sont les ´el´ementsxdeEqui v´erifientP(x) est not´eA={x|x?EetP(x)}ou

A={x?E|P(x)}.

2. Relation d"inclusion

D´efinition 1.1 -SoientAetBdeux ensembles. On dit queAest inclus dansBsi chaque ´el´ement deAest un ´el´ement deB.On noteA?B. On dit aussi "Aest contenu dansB" ou "Aest une partie deB" ou "Aest un sous-ensemble deB". AB A?B

Intersection et r´eunion

Remarques -•A?A

•SiA?BetB?C, alorsA?C

•A=Bsi et seulement si (A?BetB?A).

On traduit les propri´et´es pr´ec´edentes en disant que la relation d"inclusion est respectivementr´eflexive,transitiveetantisym´etrique. On peut rapprocher a=b. De telles relations sont appel´eesrelations d"ordre.

Exemples -•N?Z?Q

• {x?R|0< x <4} ?R+

D´efinition 1.2 -Soit E un ensemble. Les sous-ensembles de E forment un ensemble appel´eensemble des parties de Eet not´eP(E). Exemple -SiE={1,2}, alorsP(E) ={∅,{1},{2},E}. Remarque -Les trois assertionsx?E,{x} ?Eet{x} ? P(E) sont

´equivalentes.

Exercice -1◦) SoitE={1,2,3}. Donner tous les sous-ensembles deE. 2 ◦) Montrer, par r´ecurrence surn, qu"un ensemble `an´el´ements a 2 nsous-ensembles. 3 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE.

Montrer que (A?Bsi et seulement siP(A)? P(B)).

3. Intersection et r´eunion

D´efinition 1.3 -Soient A et B deux sous-ensembles d"un ensembleE. L"ensemble{x|x?Aetx?B}est appel´e l"intersection des ensemblesA etBet est not´eA∩B. SiA∩B=∅, on dit queAetBsont disjoints. L"ensemble{x|x?Aoux?B}est appel´e l"union des ensemblesAetBet est not´eA?B. BA

A∩B={x|x?Aetx?B}

BA

A?B={x|x?Aoux?B}

- 2 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A∩ ∅=∅etA? ∅=A

2)A∩B?AetA∩B?B

3)A?A?BetB?A?B

4)A?B=Asi et seulement siB?A

5)A∩B=Asi et seulement siA?B

Propri´et´es de∩et?-

Soient A, B, C trois sous-ensembles d"un ensembleE. On a :

1)A?B=B?A

2)A∩B=B∩A

3)A?(B?C) = (A?B)?C

4)A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

5)A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C)

6)A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)

On traduit ces propri´et´es en disant que?et∩sontcommutatives(propri´et´es

1 et 2),associatives(propri´et´es 3 et 4), que?estdistributive par rapport `a∩

(propri´et´e 5) et∩estdistributive par rapport `a?(propri´et´e 6). Ces propri´et´es

seront ´etudi´ees dans le chapitre sur les lois de composition internes. Pour s"en souvenir, on peut les comparer aux propri´et´es analogues de l"addition et de la mutiplication dansR: poura,b,cr´eels, on aa+b=b+a, ab=ba, a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c, a(b+c) =ab+ac. Mais on n"a pas l"´equivalent de la propri´et´e 5 ; en g´en´eral, on n"a pasa+(bc) =ab+ac(trouver un exemple). !Ne pas oublier les parenth`eses. Par exemple,A∩B?Cn"a pas de sens. SiA= [0,1],B= [1,2] etC= [2,+∞[, on a (A∩B)?C={1}?[2,+∞[, etA∩(B?C) ={1}. G´en´eralisation -SiA1,A2,...,Ansont des sous-ensembles d"un ensemble E, on d´efinit de mˆeme la r´eunionA1?A2?...?Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a au moins l"un des ensemblesA1,A2,...ouAnet l"intersectionA1∩A2∩...∩Ancomme l"ensemble desxqui appartiennent `a tous les ensemblesA1,A2,...,An: A

1?A2?...?An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

A

1∩A2∩...∩An={x|?i? {1,2,...,n}, x?Ai}

Exercice -1◦) SoientA,B,C,Ddes sous-ensembles d"un ensembleE. Mon- trer que(A?B)∩(C?D) = (A∩C)?(A∩D)?(B∩C)?(B∩D).

Simplifier le r´esultat lorsque l"on aA?C.

2 ◦) SoitEun ensemble qui est la r´eunion de deux sous-ensembles AetB. On suppose queAetBsont finis et ont respectivementnet m´el´ements. SiAetBsont disjoints, combienEa-t-il d"´el´ements ? - 3 -

Compl´ementaire d"un ensemble

Plus g´en´eralement, siA∩Bap´el´ements, montrer queEen a n+m-p.

4. Compl´ementaire d"un ensemble

D´efinition 1.4 -SoientEun

ensemble etAun sous-ensemble deE. Le compl´ementaire deA dansEest l"ensemble {x|x?Eetx??A}. On le note?EAouE\Aou encore lorsqu"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e sur E, cA,Acou A. AE ?EA={x?E;x??A} Propri´et´es du compl´ementaire (Lois de De Morgan) -

SoientEun ensemble,AetBdes sous-ensembles deE.

1)?E(?EA) =A

2)A?Bsi et seulement si (?EB)?(?EA)

3)?E(A?B) = (?EA)∩(?EB)

4)?E(A∩B) = (?EA)?(?EB)

D´efinition 1.5 -SoientAetBdeux sous-ensembles d"un ensembleE. On note

1 -A\Bl"ensemble{x?A|x /?B}et on l"appelle diff´erence deAetB.

2 -AΔBl"ensemble (A?B)\(A∩B) et on l"appelle diff´erence sym´etrique

deAetB.

Proposition 1.6 -AΔB= (A\B)?(B\A).

BA

A\B={x?A;x??B}

BA

AΔB= (A?B)\(A∩B)

Remarques -•La diff´erence sym´etrique correspond au "ou" exclusif :AΔB est l"ensemble des points qui appartiennent `aAou `aB, mais

PAS `aAetBen mˆeme temps.

•Lorsque l"on aB?A, la diff´erence deAetBest aussi le compl´ementaire deBdansA.

•A\B=A∩Bc.

•A?Bsi et seulement siA\B=∅.

- 4 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

!Ne pas oublier les parenth`eses.Trouver un exemple d"ensembles v´erifiant (A\B)\C?=A\(B\C). Exercice -1◦) SoientA={x?R|x2-3x+ 1>0}etB={x?R|x >0}. Montrer que les ensemblesAc,Bc,A∩B,A?B,A\B,B\Aet AΔBsont des intervalles ou des r´eunions d"intervalles et pr´eciser lesquels. 2 ◦) SoientAetBdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer que les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1)A=B2)A\B=B\A3)AΔB=∅

3 ◦) Mˆeme question pour les six propri´et´es suivantes. (On peut montrer qu"elles sont toutes ´equivalentes `a la premi`ere) :

1)A?B2)Bc?Ac3)A∩B=A

4)A?B=B5)A\B=∅6)AΔB=B\A

5. Partitions

D´efinition 1.7 -SoientEun ensemble etA1,A2,...,Andes sous-ensembles deE. On dit que ces sous-ensembles forment une partition deEsi les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1) Leur r´eunion est ´egale `aE:E=A1?A2?...?An

2) Ils sont deux `a deux disjoints : sii,j? {1,2,...,n}eti?=jalors

A i∩Aj=∅

3) Chacun de ces ensembles est non vide : pour touti? {1,2,...,n}, Ai?=∅.

A1A2A3A4

Sur le dessin ci-dessus, les ensemblesA1,...,A4forment une partition de l"ensembleE. Exemples -•SoientE=N, A1le sous-ensemble form´e des entiers pairs, A

2le sous-ensemble form´e des entiers impairs. Alors, les sous-

ensemblesA1etA2forment une partition deE.

•SoientE=R, A1=R?+, A2=R?-, A3={0}. Alors, les

sous-ensemblesA1,A2etA3forment une partition deE. !Attention `a ne pas confondre les termes "disjoint" et "distinct."R- etR+sont distincts, mais pas disjoints.R-?etR+?sont distincts et disjoints. - 5 -

Produit

Exercice -Soienta,betcdes r´eels, aveca≥0. A quelle condition les sous- ensembles]0,a[,]- ∞,b]et[c,+∞[forment-ils une partition de R?

6. Produit

D´efinition 1.8 -- SoientEetFdeux ensembles,xun ´el´ement deEet yun ´el´ement deF. Le couple (x,y) est la donn´ee des deux ´el´ementsxet ydans cet ordre. Les ´el´ementsxetysont appel´es respectivement premi`ere et deuxi`eme coordonn´ee du couple (x,y). Deux couples (x,y) et (x?,y?) sont ´egaux si et seulement si on a (x=x?ety=y?). Le produit cart´esienE×F est l"ensemble des couples (x,y) o`ux?Eety?F. Exemples -•SiE=F=R, le produitR×Rest aussi not´eR2. On le repr´esente souvent par l"ensemble des points du plan affine euclidien, en choisissant un rep`ere orthonorm´e (O,e1,e2). Le couple (x,y) est repr´esent´e par le point d"abscissexet d"ordonn´eey. •SiA= [2,5] etB= [2,4], le produitA×Best un sous- ensemble deR2qui peut ˆetre repr´esent´e par le rectangle sur la figure ci-dessous.

A×B

OB A e1 e 224
2 5 Remarques -•Il ne faut pas confondre le couple (x,y) et l"ensemble{x,y}. Six?=y, on a (x,y)?= (y,x), mais{x,y}={y,x}. Le couple (x,x) est repr´esent´e par un point de la premi`ere diagonale et l"ensemble{x,x}est le singleton{x}.

•A?EetB?Fsi et seulement siA×B?E×F.

•Un produit cart´esien de deux ensembles est vide si et seulement si l"un au moins des deux ensembles est vide. G´en´eralisation -Si on consid`ere des ensemblesE1,E2,...,En, on peut de mˆeme d´efinir les n-uples (x1,x2,...,xn) o`ux1?E1,x2?E2,...,xn?En - 6 -

ENSEMBLES ET SOUS-ENSEMBLES

et le produitE1×E2×...×En. En particulier,R×...×R? nfacteursest encore not´e R n. De mˆeme, on noteEnl"ensembleE×...×E? nfacteurs. Exercice -1◦) SoitA=B={1,2}.Donner tous les sous-ensembles deA×B. 2 ◦) On consid`ere les ensembles

E={1,2,3,4},

A={(i,j)?E2|i < j},

B={(i,j)?E2|i=j},

C={(i,j)?E2|i > j}.

Les repr´esenter par un dessin, et montrer queA,BetCforment une partition deE×E. - 7 -

EXERCICES D"APPLICATION

Exercice n◦1

EA,?EB,A∩B,A?B,A\B,B\AetAΔB.

Exercice n◦2

SoientA,BetCdes sous-ensembles d"un ensembleE. Les ´egalit´es suivantes sont-elles toujours vraies? (Sinon, donner un contre-exemple)

1)A\(B\C) = (A\B)\C

2)A?(B\C) = (A?B)\(A?C)

Exercice n◦3

SoientA,B,CetDdes sous-ensembles d"un ensembleE. Montrer les ´egalit´es

A\B= (A?B)\BetAΔB= (A∩Bc)?(Ac∩B).

Exercice n◦4

SoientA,BetCdes sous-ensembles d"un ensembleE.

1)Simplifier (A\C)?(B\C)?(A?B)c?C.

2)Simplifier (A\(Bc?C))?Ac?Bc?C.

Exercice n◦5

SoientA,B,CetDdes sous-ensembles d"un ensembleE.

1)Montrer que l"on a ((A∩B)?Bc=A?Bc) et ((A\B)?B=A?B).

2)En d´eduire que l"on aE= (C\D)?(A∩B∩Cc)?Ac?Bc?D.

Exercice n◦6

L´eon et Nicole travaillent dans un centre de lexicographie. Ils disposent de trois dictionnairesA,BetC. Leur patron donne `a L´eon le travail suivant : former d"abord une liste des mots communs aux dictionnairesAetB, former ensuite une liste de mots communs aux dictionnairesBetC, enfin chercher les mots qui figurent dans l"une ou l"autre liste, mais pas dans les deux `a la fois. L´eon demande `a Nicole de l"aider en dressant une liste des mots figurant dans le dictionnaireAou dans le dictionnaireC, mais pas dans les deux `a la fois. Ensuite L´eon se charge de trouver les mots communs `a cette liste et au dictionnaireB. Le patron obtiendra-t-il le r´esultat demand´e ?

Exercice n◦7

SoientEetFdeux ensembles,AetBdeux sous-ensembles deEetCetD deux sous-ensembles deF. Les ´egalit´es suivantes sont-elles toujours vraies?

1)(A×C)∩(B×D) = (A∩B)×(C∩D).

- 8 -

2)(A×C)\(B×C) = (A\B)×C.

Exercice n◦8

SoientEetFdeux ensembles. Un sous-ensembleXdeE×Fest-il toujours de la formeA×Bo`uAappartient `aP(E) etBappartient `aP(F) ?

Exercice n◦9

On suppose que les sous-ensemblesA1,A2,A3etA4forment une partition de l"ensembleE. Combien y-a-t-il de fa¸cons de former une partition deE avec des sous-ensembles qui sont des r´eunions de certains desAi?

INDICATIONS ET SOLUTIONS SOMMAIRES

Exercice n◦2

1)Non - Contre-exemple :A=C=R,B=∅,A\(B\C) =R,(A\B)\C=∅.

2)Non - Contre-exemple :A=R,B=C=∅,A?(B\C) =R,(A?B)\

(A?C) =∅.

Exercice n◦4

On trouveE.

Exercice n◦6

Oui - Consid´ererA,B,Ccomme des ensembles (de mots) et utiliser la distributivit´e de∩par rapport `a Δ.

Exercice n◦7

Oui.

Exercice n◦8

Non - Contre-exemple :E=F=RetX={(x,y)?R2|x2+y2= 1}.

Exercice n◦9

15. - 9 -

Chapitre 2

El´ements pour comprendre un ´enonc´e

Ce chapitre est consacr´e `a lacompr´ehensiond"un ´enonc´e. Pourd´emontrer un ´enonc´e donn´e, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de v´erit´e donn´ees dans ce chapitre sont utilespour connaitre la valeur d"une proposition (dans quels cas est-elle vraie ou fausse), mais ne servent pas pour d´emontrer une proposition. Un ´enonc´e est parfois difficile `a comprendre. Il peut contenir des mots utilis´es dans un sens diff´erent du sens courant ou des mots sp´ecifiques au langage math´ematique. S"il n"est pas ´ecrit avec assez de soin, il peut devenir ambigu. Pour pr´eciser ou mieux comprendre le sens d"un ´enonc´e ou des mots employ´es, on s"efforce souvent de les ´ecrire en utilisant des symbolesmath´ematiques, deset, desou, des =?, des??, des?ou des?.

Exemples -Soitfune application deRdansR.

•L"´enonc´e "l"applicationfa un z´ero entre -1 et 1" est ambigu : faut-il comprendre "un et un seul z´ero" ou "au moins un z´ero" ?

1 et -1 sont-ils admis? Si on ´ecrit?x?[-1,1], f(x) = 0, ces

ambigu¨ıt´es sont lev´ees. •Dire que "la suite (un) converge vers?" peut se traduire par : ?ε?R?+,?N?N,?n?N,(n > N=? |un-?|< ε). L"int´erˆet de ce type d"´ecriture est de pr´eciser la signification d"un ´enonc´e complexe, mais il parait parfois difficile `a d´echiffrer. Il faut ˆetre capable de bien comprendre le sens d"une telle formule, de la traduire en fran¸cais et inversement de traduire sous cette forme un ´enonc´e exprim´e en fran¸cais. L"objet de ce chapitre est de vous donner quelques ´el´ements pour vous aider `a y parvenir.

1. Propositions

Confront´e `a un ´enonc´e, un math´ematicien souhaite pouvoir d´ecider dans quelles conditions il est vrai ou faux. Cet ´enonc´e peut contenir une ou plusieurs variables. Nous appelleronspropositionun ´enonc´e math´ematique dont on peut d´ecider s"il est vrai ou faux lorsque toutes lesvariables ont ´et´e remplac´ees par des valeurs connues. Exemples -•"2≥1" est une proposition vraie.

•"1=2" est une proposition fausse.

´egal `a 4, elle est vraie et lorsquenest ´egal `a 7, elle est fausse.

Propositions

•Sixetysont des r´eels, "x2=y" est une proposition. A partir de propositionsPetQdonn´ees, on peut d´efinir de nouvelles propositions (nonP), (PetQ), (PouQ), (P=?Q), (P??Q), dont on connait la valeur de v´erit´e d`es que l"on connait celles dePetQ.

1.1. N´egation

D´efinition 2.1 -SoitPune proposition. La n´egation dePest une proposition not´ee (nonP). Elle est vraie lorsquePest fausse et fausse lorsque Pest vraie. On obtient la table de v´erit´e suivante (o`u V estmis pour vraie et F pour fausse) :

P(nonP)

VF FV Exemples -•Soitxun r´eel. La proposition (non(x= 1)) est not´ee (x?= 1). les mˆemes valeurs de v´erit´e que la proposition (n >2). Exercice -D´eterminer l"ensemble des r´eelsxqui v´erifient la proposition :

1.2. Conjonction et disjonction

D´efinition 2.2 -SoientPetQdeux propositions.

1) La conjonction des deux propositionsPetQest une proposition not´ee

(PetQ). Elle est vraie lorsque les deux propositionsPetQsont vraies, et elle est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse.

2) La disjonction des deux propositionsPetQest une proposition not´ee

(PouQ). Elle est vraie lorsque l"une au moins des deux propositionsP ouQest vraie et elle est fausse lorsque les deux propositionsPetQsont fausses. On peut r´esumer ce qui pr´ec`ede dans la table suivante :

PQ(PetQ)(PouQ)

VVVV VFFV FVFV FFFF - 12 -

ELEMENTS POUR COMPRENDRE UN ENONCE

Exemples -•Soientnun entier naturel,Pla proposition "nest pair",Q la proposition "nest divisible par 3". Alors lorsquenest ´egal `a 6, (PetQ) est vraie. Lorsquenest ´egal `a 2, 3 ou 6, (Pou

Q) est vraie.

•Soientxun r´eel,Pla proposition (x >1) ,Qla proposition pourx= 0 elle est fausse et quelque soit la valeur dex, la proposition (PouQ) est vraie. !Dans le langage courant, le mot "ou" peut prendre deux sens diff´erents : le sens inclusif qui est celui donn´e plus haut et le sens exclusif, qu"on pr´ecise parfois par "ou bien" : (Pou bienQ) est vraie si l"une des deux propo-quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] padlet français

[PDF] paralangage exemple

[PDF] type de paralangage

[PDF] communication non verbale cours

[PDF] paralangage communication non verbale

[PDF] paralangage exercice

[PDF] le silence dans la communication non verbale

[PDF] le paralangage signifie communiquer sans parler

[PDF] définition élève en difficulté scolaire

[PDF] concept de souffrance

[PDF] concept douleur

[PDF] conflit latent définition

[PDF] concept douleur soins infirmiers

[PDF] qu'est ce qu'un élève en difficulté

[PDF] représentation de la douleur chez le soignant