[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse PDF

Quelques rappels sur la théorie des graphes

On appelle taille d'un graphe le nombre de ses arêtes i.e c'est card(A). de G et pour arcs/arêtes un sous-ensemble de ceux de G joignant les sommets de ...

Analyse combinatoire

6 mars 2008 prendre `a compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini de grande ... Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de cardinalité n?

denombrabilite.pdf

14 mai 2005 Soit maintenant E un ensemble dénombrable infini. Par définition il existe un sous-ensemble. A de N et une bijection f : A ? E. A est ...

Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

Soient E et F deux ensembles A et B deux sous-ensembles de E et C et D de l'ensemble E. Combien y-a-t-il de façons de former une partition de E.

Cours : Ensembles et applications

Remarque. Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu'il n'y paraît ! • f (A) est un sous-ensemble de

Cardinalité des ensembles finis

surjective. En fait il n'y a pas assez d'éléments dans F (ou trop peu dans E). Le cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments.

Espaces vectoriels

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse additionner Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si :.

Exo7 - Exercices de mathématiques

Soient E et F deux ensembles f : E ? F. Démontrer que : ?A

Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et Un ensemble `a un seul élément x est noté {x} et on l'appelle le ...

Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

L'ensemble des sommets adjacents à un sommet si est défini par : adj(si) = 1sj/(sisj) ? A ou (sj Combien d'arêtes possède-t-il ? ... f 0 0 0 0 1 0 0.

[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes

Soient E et F deux ensembles A et B deux sous-ensembles de E et C et D de l'ensemble E Combien y-a-t-il de façons de former une partition de E

[PDF] ensemblepdf

Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble Si x est un

[PDF] Chapitre 1 Ensembles et applications

18 fév 2013 · Si chaque élément de E est aussi un élément de F on dit que E est une partie (ou sous-ensemble) de F et on écrit E ? F Si E ? F et E = F

[PDF] Analyse combinatoire

6 mar 2008 · Le but de l'analyse combinatoire (techniques de dénombrement) est d'ap- prendre `a compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini de grande

[PDF] Soit E un ensemble de n éléments • Combien de façons de choisir

Un sous-multi-ensemble de E avec fonction multiplicité f est le Combien y a-t-il de façons de choisir (sans remise) quatre fruits

[PDF] Théorie des ensembles

Ce chapitre est consacré `a l'étude des propriétés fondamentales des ordinaux Les ordinaux ne sont en fait que des ensembles munis d'une certaine relation

[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

Définition 2 Soient A et B deux ensembles On définit : - A ? B l'union de A et B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B ou dans les deux

[PDF] 1 Ensembles - Apprendre-en-lignenet

Un sous-ensemble est un ensemble dont chaque élément est aussi contenu dans un autre ensemble Si A est un sous-ensemble de B on note A?B

[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse

Il existe une application f : X ? N qui est injective si et seulement si X est dénombrable Exemples d'applications : Un sous-ensemble d'un ensemble

[PDF] Ensembles et applications - Exo7 - Cours de mathématiques

Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu'il n'y paraît ! • f (A) est un sous-ensemble de F f ?1(B) est un sous-ensemble de E

Quels sont les sous-ensembles ?
Un sous-ensemble est aussi un ensemble. Soient deux ensembles A et B. On dit que B est un sous-ensemble de A si tous les éléments de B sont aussi éléments de A. Exemple : L'ensemble B des entiers naturels de 1 à 3 est un sous-ensemble de l'ensemble A constitué par les entiers naturels de 1 à 7.
Quel est l'ensemble de F ?
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
Comment trouver les sous-ensemble d'un ensemble ?
Exemple. Soit l'ensemble E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et l'ensemble A = {2, 4, 8}. L'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble E parce que tous les éléments de l'ensemble A appartiennent à l'ensemble E et on écrit : A ? E.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E?F 0 E ? F et que, pour tout couple (x,y)?F2 ( x , y ) ? F 2 et tout scalaire ??K ? ? K , on a {x+y?F?x?F.

Cardinalité

Université de Toulouse

Année 2020/2021

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Cardinalité des ensembles finis

Cardinalité des ensembles finis2 / 23

Ensembles équipotents

SoientE=fa;b;c;dgetF=f1;2;3g.Il existe une application surjective deEsurF, mais pas d"application injective.Il existe application injective deFsurE, mais pas d"application surjective. En fait, il n"y a pas assez d"éléments dansF(ou trop peu dansE). Le cardinal d"un ensemble précise la notion de nombre d"élémentsEnsemble de même cardinal Deux ensembles (fini ou non) sontéquipotentsou demême cardinals"il existe une bijection entre eux. Cardinalité des ensembles finisEnsembles équipotents3 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté

Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Pour montrer que cet entier est définit de manière unique, on prouve la

proposition suivante :Proposition S"il existe une application injective def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors nk.S"il existe une application surjective def1;:::;ngdansf1;:::;kg alorsnk.S"il existe une application bijection def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors n=k.Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux.

Proposition

SoientEetFdeux ensembles finis. On a :Il existe une application injective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application surjective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application bijective deEdansFsi et seulement si Card(E) =Card(F).Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Il y a au moins deux personnes à Paris qui ont exactement le même nombre de cheveux.Principe des tiroirs généralisé SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>kCard(F)aveck2?alors il existe une valeur defqui est répétée au moinsk+1 fois.Cardinalité des ensembles finisPrincipe des tiroirs5 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Dénombrement

Dénombrement6 / 23

Pourquoi dénombrer un ensemble fini?

En informatique vous utiliserez la notion de dénombrement au moins dans

les deux cas de figures suivants :dénombrer le nombre de cas à analyser par un algorithme en vu

d"étudier sa complexité;lorsqu"on tire au hasard un élément dans un univers finis de manière équiprobable (c"est à dire que chaque élément à la même probabilité d"être tiré), la probabilité que cet élément soit dans l"ensembleA est

P(A) =Card(A)Card(

):DénombrementMotivations7 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)AB

abcd efgh DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)

Card(A[B[C) =Card(A) +Card(B) +Card(C)Card(A\B)

Card(A\C)Card(B\C) +Card(A\B\C)AB

C abcd efgh i jkl m DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles

Produit cartésien

Card(AB) =Card(A)Card(B)

Card(A1 An) =Card(A1) Card(An)a

1a 2a 3a

4(a1;b1)(a1;b2)(a1;b3)(a2;b1)(a2;b2)(a2;b3)(a3;b1)(a3;b2)(a3;b3)(a4;b1)(a4;b2)(a4;b3)A=fa1;a2;a3;a4g,B=fb1;b2;b3g,Card(AB) =43=12DénombrementOpération sur les ensembles9 / 23

Dénombrement et opérations sur les ensembles

Passage au complémentaire

Card A

=Card(

)Card(A)DénombrementOpération sur les ensembles10 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples :

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples : Voici les 4! =24 permutations de quatre éléments distincta,b,cetd: abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cdba cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

De combien de façons pouvez-vous ranger 10 livres sur une étagère?DénombrementArrangement11 / 23