[PDF] Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement spécifique

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AntillesGuyane.Septemb re2014.Enseignementsp écifique

EXERCICE3(3points)(c ommu nàtousl escandidats)

Onco nsidèrel'équation(E

1 e x -x n =0 oùxestunréel strictem entposi tifetnunen tiernaturelnonnul.

1)Montrerquel'équation(E

1 )estéquiv alenteàl'équation(E 2 ln(x)- x n =0.

2)Pourquelle svaleursdenl'équation(E

1 )admet-elledeuxsolutions? http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. AntillesGuyane.Septemb re2014.Enseignementsp écifique

EXERCICE3:corrigé

1)Soitnunen tiernaturelnonnul.Pourt outréelxstrictementpositif,

e x -x n =0⇔e x =x n ⇔x=ln( x n )⇔x=nln(x)⇔ x n =ln( x) ⇔ln(x)- x n =0.

Donc,sur]0,+∞[,l'équation(E

1 )estéqui valenteàl'équation(E 2 ):ln(x)- x n =0.

2)Soitnunen tiernaturelnonnul.Pourx>0,posonsf

n (x)=ln (x)- x n •Lafo nctionf n estdériv ablesur]0,+∞[etpo urtoutréelxstrictementpositif, f n (x)= 1 x 1 n n-x nx x-n nx

Laf onctionf

n eststr ictementpositivesur]0,n[etst rictementnégativesur]n,+∞[.Onendéduitquelafonctionf n eststr ictementcroissantesur]0,n]etst rcitementdécroissantesur[n,+∞[. •lim x→0 ln(x)=-∞etlim x→0 x n =0.Enadditionnant,onobtientlim x→0 ln(x)- x n •Pourtoutr éelx>0, f n (x)=- x n +ln( x)=- x n 1- n x

×ln(x)

x n 1-n ln(x) x D'aprèsunthéorèmed ecrois sancescomparées,lim x→+∞ ln(x) x =0.Donc,lim x→+∞ 1-n ln(x) x =1-n×0=1.D'autre part,lim x→+∞ x n =-∞.Enmultipliant,onobtientlim x→+∞ f n (x)=-∞. •f n (n)=ln (n)- n n =ln( n)-1. •Onpe utdresserle tableaudevariationdel afonc tionf n x0n+∞ f (x)+0- ln(n)-1 f

Onno tequelafonc tionf

n admetunmaximu mennégalàln(n)-1. •f n n (n)>0⇔n>e.

Puisquee=2,7...,sin=1oun=2,f

n (n)<0etsi n!3,f n (n)>0. •Sin=1oun=2,lafonctionf n admetunmaximu mstrict ementnégatifetenpartic ulier,lafonctionf n nes' annule 1 )n'apasdes olutio ndans ]0,+∞[.

Supposonsdorénavantn!3.Lafonctionf

n estconti nueetstrictementcroissant esu r]0,n].

Depl us,lim

x→0 f n (x)=-∞etf n (n)>0.D'aprèsuncorollaireduthéorèmedesvaleursintermédiaires,lafonct ionf n s'annuleuneetuneseulef oissurl'in terval le]0,n]etm ême]0,n[.Demême,lafonctionf n estconti nueetstrictement décroissantesur]n,+∞].Deplus,f n (n)>0etlim x→+∞ f n (x)=-∞.Lafonctionf n s'annuledoncuneetunese ulefois surl'in tervalle[n,+∞[etmêm e]n,+∞[.Finalement,lafonctionf n s'annuleexactementdeux foisdansl'intervalle ]0,+∞[ouen corel'équation(E 1 Onam ont réquelesentiersna turelsnpourlesque lsl'équation(E 1 )admetdeuxsolu tionssontlesen tierssupérieurs oué gauxà3. http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. 1 2 -1 -2 -3

12345678910

y x y x/ 2 y x/ 3 y x/ 4 y=ln( x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

12-1-2-3-4-5

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