[PDF] Antilles Guyane. Septembre 2014. Enseignement spécifique

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AntillesGuyane.Septemb re2014.Enseignementsp écifique

EXERCICE1(6points)(c ommu nàtousl escandidats)

Uneentre prisedejouetsenpeluchesouha itecomm ercialiserunnouveauproduitetàcettefin,effectuediverstests

permettantderejeterlespeluch esneré pondantpasauxnormesenv igu eur.D'expérience,leconcepteurs aitque9%

desnouve auxjouetsnerépondent pasauxnormes.

Àl'issuedestests,ilestnotéque

•97%despeluchesnerépondantpasauxnormesnesontpasacceptéesàl 'is suedestests. Onpr élèveunepelucheauhasa rddansla productiondel'entreprise.Onnote •Nl'évènement:"lapelucherépondau xno rme sen vigueur»; •Al'évènement:"lapelucheestaccept ée àl'iss ued estests».

PartieA

1)Construireunarbrepondérérep résent antlasituation exposéepréc édemment.

2)Démontrerquelaprobabilité qu'unepe luches oitacceptéeàl'issuedestests est0,8763.

3)Calculerlaprobabilitéq u'une peluchequiaétéacceptéeàl'issuedestest ssoitvérita blementauxnorme s

envi gueur.Arrondirlerésulta taudix-millième.

PartieB

Onco nsidèrequelavied'unepeluch esetermin elorsq u'ellesubitundomma gemaje ur(déchirure,arrachag e...).On

admetqueladu réedevieen annéesd 'unepeluche ,notéeD,suituneloiexponentielledeparamètreλ.

1)Onsa itqueP(D!4)=0,5.Interprétercerésultatdanslecontextedecetexercice.

Calculerlavaleurexacte deλ.

2)Onpr endraiciλ=0,1733.

Lej ourdesestrois ans,un enfantq uijoueaveccettepel uchedepuissanaiss ancedéci de,voyantqu'elle estencore enparfaitétat, del adonneràsasoeurquivient denaître.

Calculerlaprobabilitép ourqu esasoeurlagardesansdommagemajeuraumoinscinqannéessupplémentaires.

Arrondirlerésultataudi x-mill ième.

PartieC

Unca binetdesondagesetd'e xpertis esouhaitesavoirquelestle réelin térêtdesenfa ntspourcejouet.Àlasui ted'une

étude,ilappar aîtque pourunenfantdequatreans,l enombredejo urs,notéJ,oùlapelucheestsonjouetpréférésuit

unelo inormaledepa ramètresµetσ.Ilapparaîtqueµ=358jours.

1)SoitX=

J-358 .QuelleestlaloisuivieparX?

2)Ons aitqueP(J!385)=0,975.Déterminerlavaleurdeσarrondieàl'entie rle plusproche.

http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. AntillesGuyane.Septemb re2014.Enseignementsp écifique

EXERCICE1:corrigé

PartieA

1)Représentonslasituationparunarbre deprobabil ités.

N N A A A A 0,91 0,09 0,96 0,04 0,03 0,97

2)Lapr obabilitédemandéeestP(A).D'aprèslaformuledesprobabilitéstotales,

P(A)=P(N∩A)+P

N∩A

=P(N)×P N (A)+P N ×P N (A)=(1-0,09)×0,96+0,09×(1-0,97)

P(A)=0,8763.

3)Lapr obabilitédemandéeestP

A (N). P A (N)=

P(A∩N)

P(A)

P(N)×P

N (A) P(A)

0,91×0,96

0,8763

=0,9969arrondiaudix-m ill ième. P A (N)=0,9969arrondiaudix-m ill ième.

PartieB

1)L'égalitéP(D!0,4)=0,5signifiequel'onaunec hancesurde uxqueladuré ede vied'unepeluchesoitinférie ure

ouégal eà4ans.

Onsa itquepourtou tréelposi tift,

P(D!t)=

t 0 λe -λx dx= -e -λx t 0 -e -λt -e 0 =1-e -λt

Parsuit e,

P(D!4)=0,5⇔1-e

-4λ =0,5⇔e -4λ =0,5⇔-4λ=ln(0,5)⇔λ=- ln(0,5) 4 ln(0,5) 4

Lacal culatricefournitλ=0,17328...

2)Lap robabilitédemandéeestP

D!3 (D"3+5). P D!3 (D"8)=

P((X"3)∩(X"8))

P(X"3)

P(X"8)

P(X"3)

1- 1-e -8λ

1-(1-e

-3λ e -8λ e -3λ =e -8λ+3λ =e -5λ =e -5×0,1733 =0,4204arrondiaudix-m ill ième. http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdro itsréservés. P D!3 (D"8)=0,4204arrondiaudix- mil lième.

PartieC

1)Onsa itqueXsuitlaloi normal ecentréer éduitec'est-à-direlal oinormaledemo yenne0etd' écart-type1.

2)J!385⇔J-358!27⇔

J-358 27
.Lacalculatricefournit

P(J!385)=0,975⇔P

X! 27
=0,975⇔ 27
=1,9599...⇔σ=13,7... Donc

σ=14arrondiàl'ent ier leplusproche.

http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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