Une écriture du théor`eme dincomplétude de Kurt Gödel
du codage Gödel construit des formules qui parlent des formules. De surcro?t
Théorème de Gödel : quand les mathématiques rencontrent l
Ce codage systématique par des nombres entiers pose les bases de l'informatique. Aujourd'hui cette idée a fait du chemin : nos textes nos images
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Ceci relève évidemment de la partie A positive B du programme de Hilbert : pour réaliser le programme il est nécessaire de pouvoir coder les artefacts logiques
IFT2105{Introduction a l'informatique theorique
Automne 2018, (Devoir #1)
Louis Salvail
Universite de Montreal (DIRO), QC, Canada
salvail@iro.umontreal.caBureau: Pavillon Andre-Aisenstadt, #3369
1 Remise
Il s'agit du premier devoir pour le cours. La date de remise est: Mardi, 25 septembre 2018, 9:30, aucun retard ne sera tolere. Vous pouvez faire votre devoir en equipe de deux au maximum. Votre demo apprecie les devoirs remis en L ATEX. Votre devoir doit^etre remis en mains propres a votre demonstrateur.2 Questions
1. Donnez les programmesREPETERqui permettent de calculer les operations suivantes
sur des ensembles de nombres entiers. Vous pouvez utiliser n'importe quelles macros introduites au cours. Avant de donner votre code, expliquez comment vous representez un ensemble d'entiers naturels dans un seul registre par un codage de Godel. Ensuite, donnez un programmeREPETERpour chacune des macros suivantes. Vous pouvez utilisez celles que nous avons vues en cours.Vide:Retourne dansr0un ensemble vide.
EstVide?(r1):Retourner0=vraisi l'ensemble decrit parr1est vide et retourne r0=fauxsinon.
Dans?(r1;r2):En entree, vous recevez un ensembleSNdansr1et un entier`dans r2. Vous retournezr0=vraisi`2Setr0=fauxsi` =2S.
Card(r1):En entree, vous recevez un ensembleSNdansr1et vous retournez sa cardinalite dansr0. Singleton(r2):En entree, vous recevez un entier dansr2et vous retournez dansr0un ensemble qui ne contient que cet entier. Union(r1;r2):En entree, vous recevez deux ensemblesS;TNdansr1etr2respec- tivement et vous retournezS[Tdansr0.2. En utilisant l'induction mathematique, montrez que pour chaquex1,
B3(x) = 222:::2
|{z} xfois: Pour y parvenir, vous pouvez supposer queB2(x) = 2xpourx0 (et si necessaire que B1(x) = 2xpourx1, comme vu a la demo),
3. Denissons un nouveau type de programme, les programmesREPETERPASTROP. Les pro-
grammesREPETERPASTROPsont identiques aux programmesREPETERa l'exception des bouclesrepeterqui ne peuvent pas^etre imbriquees dans un programmeREPETERPASTROP. Donnez une fonctiong:N!N2o(n2) qui soit telle queg(n) n'est pas calculable par un programmeREPETERPASTROP. Prouvez votre reponse a l'aide de ce qui a ete vu en classe et en demo.4. Est-ce que les programmesREPETERqui n'ont pas d'operationri rj, mais seulement
une operationri 0ont la m^eme puissance de calcul que les programmesREPETER standards? Prouvez votre reponse.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] arithmétique de robinson
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