Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
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Chapitre 5 - Factorisation
Exercice 3.2 Factoriser le polynôme 125 + 8x3. 4. Méthode Somme-Produit (SP). Exemple 4.1 Effectuer le calcul suivant. 1. (x+ 4)(x+ 3). On remarque que : {.
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La première méthode générale de factorisation des polynômes
Ces trois méthodes sont bri`evement comparées avec les algorithmes modernes de factorisation. ABSTRACT. — THE FIRST GENERAL METHOD OF FACTORIZATION OF POLY-.
Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation
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FACTORISATION DE POLYNÔMES - HEC Montréal
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Universit
e de Montreal Ma ^trise en Physique avec stageLes polyn^omes orthogonaux matriciels et la methode de factorisationAuteure:CristinaGreavuSuperviseur:
Dr. LucVinet
1 erAo^ut 2014Chapitres
1 Introduction2
2 Polyn^omes orthogonaux 2
2.1 L'origine des polyn^omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Polyn^omes orthogonaux matriciels (POM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Un premier exemple de POM 13
3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Relation de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Matrice de Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Methode de factorisation 22
4.1 Methode d'Infeld et Hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Methode de Loutsenko et ass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Application de la methode de factorisation sur un POM 30
5.1 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2Etats propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Conclusion34
11 Introduction
En cherchant une representation du groupeSch1 en termes des vecteurs propres de l'oscillateur har- monique, Vinet et Zhedanov [8] ont trouve un exemple explicite d'un polyn^ome orthogonal matriciel (abrevie POM) inni. Dans un deuxieme article [5], la methode de factorisation, basee sur le texte d'Infeld et Hull[3], est appliquee a un probleme de q-oscillateurs. On se demande s'il est possible d'appliquer cette methode au probleme de [8] et d'obtenir la m^eme matrice. On commence par s'interesser a l'origine des polyn^omes orthogonaux scalaires. Ceux-ci sont en fait des solutions de l'equation hypergeometrique: (x)y00+(x)y0+= 0 (1) En manipulant cette equation on obtient les deux proprietes fondamentales d'un polyn^ome orthogonal:une equation de recurrence a trois termes et une relation d'orthogonalite. Ces proprietes, comme on le
verra dans la section 2, se generalisent a des polyn^omes orthogonaux matriciels. Ensuite, on donne un exemple explicite de POM emergeant de l'article [8]. En plus de la relation de recurrence et de la matrice de poids, le calcul explicite du POM sera donne dans la section 3. Dans la section 4 on resume la methode de factorisation basee sur l'article d'Infeld et Hull [3]. Apres avoir enonce les cinq theoremes de base de la methode (sans preuves) on explique l'algorithme de calcul des valeurs propres et fonctions propres de cette technique. Comme exemple, une partie du probleme de q-oscillateurs etudie dans [5] sera detaillee. En dernier lieu, les calculs faits a la section 5 sont l'application la methode de factorisation surles donnees initiales du probleme de [8]. En utilisant les proprietes des sommes hypergeometriques on
retrouvera bel et bien le resultat voulu pour les polyn^omes de Charlier.2 Polyn^omes orthogonaux
Dans cette section, on montre l'origine, la denition et quelques proprietes de polyn^omes orthogonaux.
On utilise ensuite les polyn^omes de Charlier comme exemple. La derniere etape consiste a generaliser
ces caracteristiques aux polyn^omes orthogonaux matriciels.2.1 L'origine des polyn^omes orthogonaux
Une equation de la forme suivante est appeleeequation hypergeometrique: (x)y00+(x)y0+y= 0 , (2) ou(x) et(x) sont des polyn^omes au maximum de degre deux et un respectivement etest une constante. Toute derivee d'une solution est une solution d'une autre equation hypergeometrique. Pour le voir, il sut de deriver l'equation (2) et d'eectuer la substitutionv1=y0(x). On obtient alors: (x)v001+ ((x) +0(x))v01+ (+0(x))v1= 0 (3) Puisque(x)+0(x) est une polyn^omes d'au plus de degre 1 et+0(x) est une constante, on obtient bel et bien un equation hypergeometrique. 2 On peut appliquer ce processus indeniment. En particulier, si on derivenfois la solutionyet on posevn(x) =y(n)(x), on obtient: (x)v00n+n(x)v0n+nvn= 0 (4) avec n(x) =(x) +n0(x) n=+n0+12 n(n1)00 Forme auto-adjointeOn peut ecrire (4) sous une forme plus pratique, dite auto-adjointe, en multipliant par une fonctionn(x) qui satisfait (n)0=nn(5)La forme auto-adjointe est donc
(nv0n)0+nnvn= 0 (6) On remarque que sin= 0 on obtient la solution trivialevn(x) =y(n)(x) = const. C'est-a-dire, y(x) =yn(x) est un polyn^ome de degre n. OrthogonaliteConsiderons maintenant les formes auto-adjointes des solutionsyn(x) etym(x) (ny0n)0+nnyn= 0 (ny0m)0+mmym= 0 On commence par multiplier la premiere expression parym(x) et la deuxieme paryn(x) et on soustrait y m(x)[(x)(x)y0n(x)]0yn[(x)(x)y0m(x)]0= (mn)(x)ym(x)yn(x) (7) Remarquons qu'on peut developper le c^ote gauche de la facon suivante (notation allegee) y m[y0n]0yn[y0m]0=ym[()0y0n+y00n]yn[()0y0m+ ()y00m] =ym[0y0n+0y0n+y00n]yn[0y0m+0y0m+y00m] =0(ymy0nyny0m) +0(y0nymy0myn) +(ymy00ny00myn) = ()0(ymy0nyny0n) +(ymy00ny00myn) ddx ((ymy0nyny0m)) ddx (W(ym;yn)) , 3 ouW(ym;yn) est le Wronskien deymetyn. En revenant a (7), on obtient (mn)(x)ym(x)yn(x) =ddx ((x)(x)W(ym(x);yn(x))) La derniere etape est d'integrer le tout pourxallant deaab. (mn)Z b aOu suppose que la fonction(x) satisfait a:
(x)(x)xkjx=a;b= 0 , k = 0, 1, ... (9) sur un certain intervalle [a;b]. Alors, puisque le Wronskien est un polyn^ome enxet quem6=n, on obtient la condition d'orthogonalite Zb a (x)ym(x)yn(x)dx= 0m6=n(10)On a donc reussi a obtenir des polyn^omes ayant une caracteristique speciale en manipulant l'equation
hypergeometrique et voici comment les polyn^omes orthogonaux sont nes.2.2 Proprietes
Les polyn^omes orthogonaux possedent deux proprietes interessantes : une equation de recurrence a trois termes et une relation d'orthogonalite. Avant de donner ces equations on a besoin de denir le concept de moments. DenitionSoit une fonctionwstrictement positive et integrable sur un intervalle [a,b]. Supposons de plus quew(x)>0 sur un sous-ensemble susemment grand de (a;b) tel que: Z b a w(x)dx >0 (11) Si l'intervalle (a;b) n'est pas borne, alors on impose que les moments soient nis: n=Z b a xnw(x)dx(12) Pourn= 0;1;2;:::. On peut maitenant donner une denition formelle des polyn^omes orthogonaux. DenitionSoit une suite de polyn^omesPn(x);n2[0;1] et une mesure positive de Lebesguew(x) sur un intervalle [a,b]. On dit que lesPnsont despolyn^omes orthogonauxsur l'intervalle [a,b] si Z b a P n(x)Pm(x)w(x)dx= 0 sim6=n(13) Le prochain item a etudier est la fonction de moments: 4 DenitionUne suitefPn(x)g1n=0est une suite de polyn^omes orthogonaux (SPO) par rapport a une fonction de momentsLsi pour des entier non-negatifsmetnon a: (i)Pn(x) est une polyn^ome de degren (ii)L[Pm(x)Pn(x)] = 0 sim6=n (iii)L[P2n(x)]6= 0 On aura besoin du determinant des moments dans les paragraphes qui suivent: n:= det(i+j)ni;j=0=01::: n
12::: n+1
nn+1::: 2n (14) DenitionSoitfng1n=0une suite de nombre complexes et soitLune fonction denie sur l'espace des polyn^omes par:L[xn] =nn= 0;1;2;:::
L[11(x) +22(x)] =1L[1(x)] +2L[2(x)]
Pour tous nombres complexesiet tous polynomesi(x);(i= 1;2). AlorsLest apelleefonction de momentsetnest apellemoment d'ordre n. Remarquons qu'avec cette denition on a, pour (x) =Pn k=0ckxk:L[(x)] =nX
k=0c kk(15) On peut alors redenir les polyn^omes orthogonaux a l'aide de la fonctionL. On introduit la premiere propriete des polyn^omes orthogonaux: la relation de recurrence a trois termes. Theoreme 4.1(Chiara)SoitLla fonctionnelle des moments etfPn(x)gla SPO associee. Alors il existe des constantescnetn6= 0 telles que: P n(x) = (xcn)Pn1(x)nPn2(x)n= 1;2;3;:::(16)Ou on imposeP1(x) = 0.
PreuveRemarquons quexPn(x) est un polyn^ome de degren+ 1, alors on a : xP n(x) =n+1X k=0a nkPk(x) avecank=L[xPn(x)Pk(x)]L[P2n(x)](17) 5 De plus,xPk(x) est un polyn^ome de degreek+ 1 alorsank= 0;806k < n1. PuisquexPn(x) est monique on a aussian;n+1= 1. D'ou: xP n(x) =Pn+1(x) +an;nPn(x) +an;n1Pn1(x)n>1 (18) En substituantnparn1 dans la derniere equation on peut aussi ecrire: xP n1(x) =Pn(x) +cnPn1(x) +nPn2(x)n>2 (19) Remarquons que (19) est aussi valide pourn= 1 si on imposeP1= 0 etc1=P1(0). An de determiner les coecients de (16) on utilise le prochain theoreme. Theoreme 4.2 (Chiara)Les enonces suivants sont valides en tenant compte de l'equation (16): (a)n+1=L[P2n(x)]L[P2n1(x)]=n2n 2n1 (b)L[P2n(x)] =12:::n+1si on pose1=0= 0 (c)cn=L[xP2n1]L[P2n1(x)] (d)(c1+c2+:::+cn) est le coecient dexn1dePn(x) preuveOn a deja obtenu (a) dans la preuve du theoreme 4.1. (b) decoule directement de (a). En multipliant (16) parPn1(x) et en appliquantL, on obtient (c). En comparant les coecients dexn1 des deux c^otes de (16), on obtientdn=dn1cn, d'ou decoule (d).Pour montrer l'application des theoremes enonces on calcule la relation d'orthogonalite et l'equation
de recurrence des polyn^omes de Charlier.ExempleSoit la fonction :
G(x;w) =eaw(1 +w)x
1X m=0(a)mwmm!1 X n=0 x n! w nEn appliquant le produit de Cauchy, on obtient:
G(x;w) =1X
n=0P n(x)wn P n(x) =nX k=0 x k! (a)nk(nk)! 6 Dans ce cas, lesPn(x) sont appeles polyn^omes de Charlier etG(x;w) est la fonction generatrice. On veut maintenant trouver la relation d'orthogonalite (16). On a : a xG(x;v)G(x;w) =ea(v+w)[a(1 +v)(1 +w)]x 1X k=0a kG(k;v)G(k;w)k!=ea(v+w)ea(1+v)(1+w) =eaeavw 1X n=0e2an(vw)nn!
On peut aussi ecrire le developpement suivant:
1 X k=0a kG(k;v)G(k;w)k!=1X k=0a kk!1 X m;n=0P m(k)Pn(k)vmwn 1X m;n=01 X k=0P m(k)Pn(k)akk!vmwnCe qui implique :
1X k=0P m(k)Pn(k)akk!=(0 sim6=n e aann!sim=n(20)La fonction
akk!est appeleefonction de massedu polyn^ome. En utilisant la fonctionL, on peut ecrire:L[xn] =1X
k=0k nakk!L[Pm(x)Pn(x)] =eaann!mn
Oun= 0;1;2;::,m= 0;1;2;:::etm;nest le delta de Kronecker usuel. En general, on calcule la relationde recurrence d'un polyn^ome orthogonal en utilisant ses proprietes plut^ot qu'en appliquant directement
le theoreme 4.2. Pour les polyn^omes de Charlier, on manipule la fonction generatrice:G(x;w) =eaw(1 +w)x=1X
n=0P n(x)wn(21) L'idee est de deriver la derniere expression parwet de comparer les deux c^otes. On a donc: @G@w =aeaw(1 +w)x+eawx(1 +w)x1(22) x1 +wG(x;w)aG(x;w) (23) =G(x;w)x1 +wa (24) 7Et avec la deuxieme relation:
@G@w =1X n=0P nnwn1(25) 1X n=0P n(x)x1 +wa w n(26) (27) En multipliant la derniere egalite par 1 +won arrive a: 1 X n=0P n(x)n(wn1+wn) =1X n=0P n(x)(xa(1 +w))wn(28) X n=0nP n(x)wn+1X n=0nP n(x)wn1=1X n=0xP n(x)wn1X n=0aP n(x)wn1X n=0aP n(x)wn+1(29) 1X n=0nP n(x)wn+1X n=0(n+ 1)Pn+1wn=1X n=0xP (x)wn1X n=0aP n(x)wn1X n=0aP n1(x)wn(30) 1X n=0[(n+ 1)Pn+1(x) + (nx+a)Pn(x) +aPn1]wn= 0 (31)Donc la relation de recurrence est:
(n+ 1)Pn+1(x) + (nx+a)Pn(x) +aPn1= 0 (32) La derniere etape consiste a normaliser cette relation. Pour ce faire, on pose: P n(x) =1n!^Pn(x) (33)Avec cette substitution (32) devient:
(n+ 1)^Pn+1(x)(n+ 1)!+ (nx+a)^Pn(x)n!+a^Pn1(x)(n1)!= 0 (34)1n!^Pn+1(x)nx+an!^Pn(x) +ann!^Pn1(x) (35)
^Pn+1(x) + (nx+a)^Pn(x) +an^Pn1(x) (36)Celle-ci correspond bel et bien a la relation de recurrence connue pour les polyn^omes de Chalier nor-
malises [2]. Maintenant qu'on a une bonne base concernant les polyn^omes orthogonaux scalaires, on va generaliser leurs caracteristiques aux POM dans la section qui suit.2.3 Polyn^omes orthogonaux matriciels (POM)
On peut etendre le principe de polyn^omes orthogonaux aRnn, c'est-a-dire qu'on peut construire des matrices (nie ou innies) dont les elements sont des polyn^ome orthogonaux. Ces objets, appeles polyn^ome orthogonaux matriciels (POM), possedent des proprietes analogues aux polyn^omes orthogo- naux scalaires. A l'aide de [6] on commence par donner la denition formelle des POM et ensuite onprouve qu'ils satisfont une equation de recurrence a trois termes ainsi qu'une relation de d'orthogonalite.
8 En premier on denit les objets qui seront necessaires dans cette section. denitionSoit une mesure(dx) =W(x)dxavec une fonction de poidsW(x)2Rkk, pourk>1 etx2R. On denit les objets suivants: (i) Le n-ieme moment de la mesure(dx) est: n=Z x n(dx) =Z x nW(x)dx n= 0;1;:::(37) (ii) La matriceTnpourn>1 est : T n=0 BBBBBBB@
01n1n12nn+1...............
n1n2n22n1I xIxn1I xnI1
CCCCCCCA2Rk(n+1)k(n+1)(38)
OuIcorrespond a la matrice identitekk.
(iii) La matrice de Hankel pourn>1: H n=0 B BBBB@ 01n112n............
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