POLYNOMES PDF I.4.1 Méthode

2 Factorisation racines et signe du trinôme : DÉFINITION Méthode générale : on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l'inéquation.

Chapitre 5 - Factorisation

Exercice 3.2 Factoriser le polynôme 125 + 8x3. 4. Méthode Somme-Produit (SP). Exemple 4.1 Effectuer le calcul suivant. 1. (x+ 4)(x+ 3). On remarque que : {.

Factorisation de polynômes de degré 3

Détermination du polynôme Q. Première méthode : identification des coefficients. Cette méthode utilise le théorème suivant : Théorème (admis). Deux polynômes

La première méthode générale de factorisation des polynômes

Ces trois méthodes sont bri`evement comparées avec les algorithmes modernes de factorisation. ABSTRACT. — THE FIRST GENERAL METHOD OF FACTORIZATION OF POLY-.

Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation

1 Aug 2014 ... d'un polynôme orthogonal matriciel. (abrévié POM) infini. Dans un deuxi`eme article [5] la méthode de factorisation

POLYNOMES

I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients . II.1 Fonction polynôme du second degré . ... II.3 Solutions de l'équation et factorisation .

Factorisation dun Polynôme `a Plusieurs Variables

et en calculant les racines de P on donne une méthode pour factoriser le polynôme f. Notre méthode sera illustrée par un exemple.

Factorisation dun Polynôme `a Plusieurs Variables

12 Sept 2009 et en calculant les racines de P on donne une méthode pour factoriser le polynôme f. Notre méthode sera illustrée par un exemple.

Factorisation des polynômes à plusieurs variables

polynôme unitaire. On utilise une méthode de factorisation des polynômes à une variable. Pour les polynômes à coefficients entiers on choisit la méthode de.

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1

de polynômes sans facteurs carrés puis un algorithme de factorisation dû à Par cette méthode

FACTORISATION DE POLYNÔMES - HEC Montréal

Techniques de factorisation : factorisation d’un polynôme de degré 2 Fatorisation d’un polynôme de degré 2 à une variale Soit : un polynôme en x de degré 2 Px ab2 2 4ac bx c Discriminant de P Si alors est irréductible (ne peut pas se décomposer en un produit de

La factorisation d'un polynôme Alloprof

Nous avons vu les 5 méthodes de factorisation suivantes 1 Factorisation par mise en évidence 2 Factorisation par l’utilisation des produits remarquables 3 Factorisation de trinôme du 2ème degré (unitaire ou non unitaire) 4 Factorisation par la méthode des groupements 5 Factorisation par la division polynomiale

CQP 099 - Mathématiques de base - Université de Sherbrooke

La factorisation d’un polynôme consiste à l’exprimer sous la forme d’un produit de polynômes appelés facteurs irréductibles de degrés inférieurs Il faut apprendre à reconnaître le modèle d’un polynôme et à utiliser la méthode

Polynômes - Claude Bernard University Lyon 1

2 ]En déduire la factorisation de dans ?[ ] puis dans ?[ Allez à : Correction exercice 11 Exercice 12 Soit = 6+2 5+4 4+4 3+4 2+2 +1 On pose = 2???????? 3 1 Montrer que est une racine multiple de 2 Factoriser dans ?[ ] 3 Factoriser dans ?[ ] Allez à : Correction exercice 12 Exercice 13

Exo7 - Cours de mathématiques

Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan » Dans ce chapitre après quelques dé?nitions des concepts de base nous allons étudier l’arithmétique des polynômes

Searches related to méthode factorisation polynome PDF

Méthode : Factoriser une expression (1) Vidéo https://youtu be/r3AzqvgLcI8 Pour factoriser il faut trouver dans l’expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible: A = 35x – 42x + 21x C = 4x – 4y + 8 E = 3t + 9u + 3

Qu'est-ce que la factorisation d'un polynôme?

La factorisation d'un polynôme. La factorisation consiste à écrire une expression algébrique sous la forme d'un produit de facteurs. Généralement, la factorisation permet de simplifier une expression algébrique afin de résoudre un problème plus facilement. Les facteurs obtenus après la factorisation sont des polynômes de degré inférieur...

Comment factoriser un polynôme avec des coefficients fractionnaires ?

La factorisation de polynômes avec des coefficients fractionnaires est plus compliquée que la factorisation avec des coefficients de nombre entier, mais vous pouvez facilement transformer chaque coefficient fractionnaire de votre polynôme en coefficient de nombre entier sans changer le polynôme global.

Comment calculer les polynômes factoriels ?

Quels polynômes factoriels ? Méthode 1 : Si vous connaissez une racine et du polynôme p (éventuellement une racine évidente), alors le polynôme peut être factorisé par (xâˆ’a), c’est-à-dire p = (xâˆ’a) â ‹… q (x) p = (x) âˆ ‘a) â ‹… q (x) avec q (x) un polynôme de grade 2 (méthode de factorisation ci-dessus).

Qu'est-ce que l'algorithme de factorisation de polynômes à coefficients entiers ?

Les algorithmes de factorisation de polynômes à coefficients entiers effectuent d'abord une factorisation dans un corps fini grâce à l' algorithme de Berlekamp et remontent celle-ci dans un corps fini plus grand à l'aide du lemme de Hensel. La factorisation dans s'obtient alors en regroupant les facteurs.

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

POLYNOMES

Table des matières

I Fonction polynôme1

I.1 Fonction polynôme de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1

I.3 Racine d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

I.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3 I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4 I.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

II Second degré5

II.1 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

II.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

II.3 Solutions de l"équation et factorisation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7

II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

I Fonction polynôme

I.1 Fonction polynôme de degrén

Définition 1

On appelle fonction polynôme de degrén

toute fonctionPdéfinie surRde la forme :

P(x) =a

pxpun le monômede degrép

Exemple 1

ÔLa fonctionPdéfinie parP(x) = 7x6-5x4+ 3x-11est une fonction polynôme de degré6 ÔLa fonction affineax+baveca?= 0est une fonction polynôme de degré1 ÔLa fonction constantekaveck?= 0est une fonction polynôme de degré0

ÔLa fonctionQdéfinie par :Q(x) =x3+x+1

xn"est pas une fonction polynôme http://nathalie.daval.free.fr-1-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

Propriété 1

SoientPetQdes fonctions polynômes non nulles, alors :

©deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)

Remarque 1

L"inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s"annuler

I.2 Egalité de deux polynômes

Théorème 1

SoientPetQdeux fonctions polynômes,P=Qsignifie que :

ãdeg(P) =deg(Q)

ãles coefficients des termes de même degré dePetQsont égaux Cas particulier :P= 0est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls

Exemple 2

ÔLes deux polynômesQ(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)etP(x) =x4+ 1sont égaux :

Q(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)

=x4-⎷

2x3+x2+⎷2x3-2x2+⎷2x+x2-⎷2x+ 1

=x4+ 1

Q(x) =P(x)

ÔLes polynômesP(x) = 2x2-3x+ 4etR(x) =ax2+bx+csont égaux poura= 2b=-3c= 4

I.3 Racine d"un polynôme

Définition 2

On appelle racine

d"une fonction polynômePtoute solutionx0de l"équationP(x) = 0

Exemple 3

ÔLes racines de la fonction polynômePdéfinie surRpar :P(x) = (x-1)(x+ 3)(x-2)sont-3,1et2 ÔLes fonctions polynômes du1erdegréax+badmettent toutes une seule racinex0=-b a

ÔCertaines fonctions polynômes n"ont aucune racine réelle.Par exemplex2+ 1qui est strictement positif

Remarque 2

Une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant http://nathalie.daval.free.fr-2-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

Théorème 2

Une fonction polynômePde degrénà coefficients réels possède au plusnracines réelles

I.4 Factorisation

Théorème 3

Si une fonction polynômePà coefficients réels de degréna une racine réellex

0alors on peut

factoriserP(x)par(x-x

0)et on obtient

P(x) = (x-x

0)Q(x)ouQest une fonction polynôme de degré(n-1)

Remarque 3

On peut essayer de remplacer la variablexpar1,-1,0...et si la valeur du polynôme est0, on dit qu"on a trouvé une " racine évidente » I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients On considère le polynômefdéfini par :f(x) = 3x

4-x3+x2+ 11x+ 6

Une solution évidente estx

0=-1 donc, il existe un polynômegde degré4-1 = 3tel que pour tout réelx: f(x) = (x+ 1)g(x) = (x+ 1)(ax

3+bx2+cx+d)

=ax

4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d

=ax

4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+d

Les polynômes3x

4-x3+x2+ 11x+ 6etax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+dsont égaux, leurs

coefficients le sont aussi : ?a= 3 b+a=-1 c+b= 1 d+c= 11 d= 6donc :???????a= 3 b=-4 c= 5 d= 6

Conclusion :f(x) = (x+ 1)(3x

3-4x2+ 5x+ 6)

http://nathalie.daval.free.fr-3-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne

On considère le polynômefdéfini par :f(x) =X

4-7X3+ 17X2-17X+ 6

Une solution évidente estX

0= 1donc,f(X)est divisible par(X-1)

On effectue la division euclidienne def(X)par(X-1)en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres X

4-7X3+ 17X2-17X+ 6X-1

X4-X3X3-6X2+ 11X-6

-6X3+ 17X2-17X+ 6 -6X3+ 6X2 + 11X2-17X+ 6 + 11X2-11X -6X+ 6 -6X+ 6 0

Conclusion :f(X) = (X-1)(3X3-4X2 + 5X+ 6)

I.4.3 Exemple

On souhaite factoriserP(x) =x

3-7x+ 6

1. CalculerP(2)

2. Trouver une racine évidente

3. Conclure sur la factorisation

ÔP(2) = 0, on peut factoriser par(x-2)

ÔP(1) = 0, on peut factoriser par(x-1)

ÔP(x) = (x-2)(x-1)Q(x)avecdeg(P) =deg(x-2) +deg(x-1) +deg(Q) donc,deg(Q) = 3-1-1 = 1

P(x)=(x-2)(x-1)(ax+b)

=(x

2-x-2x+ 2)(ax+b)

=(x

2-3x+ 2)(ax+b)

=ax

3+bx2-3ax2-3bx+ 2ax+ 2b

=ax

3+ (b-3a)x2+ (-3b+ 2a)x+ 2b

P(x)=x

3-7x+ 6

?a= 1 b-3a= 0 -3b+ 2a=-7

2b= 6donc :?a= 1

b= 3

Conclusion :P(x) = (x-2)(x-1)(x+ 3)

http://nathalie.daval.free.fr-4-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

II Second degré

II.1 Fonction polynôme du second degré

Définition 3

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPde la forme

P(x) =ax

2+bx+c

oùa,betcsont des réels aveca?= 0

L"expressionax

2+bx+cest appelée trinôme du second degré

Exemple 4

ÔP(x) =x2-7x+ 12, on a :a= 1,b=-7etc= 12

ÔP(x) = 4x2, on a :a= 4,b= 0etc= 0

Ô2x+ 1,6x3+ 4x+ 2et(x-1)2-x2ne sont pas du second degré

II.2 Forme canonique

Définition 4

Une expression de la formea(x-α)

2+bs"appelle la forme canoniquedu trinôme

Le principe est de transformer un trinôme du second degré en utilisant les identités remarquables :

Exemple 5

Ôx2-8x+ 7 = (x-4)2-16 + 7 = (x-4)2-9

ÔDans ce cas, les racines sont alors facilement identifiables: résoudrex2-8x+ 7 = 0revient à résoudre(x-4)2-9 = 0

Ô(x-4)2-9 = 0??(x-4)2= 9

??x-4 = 3oux-4 =-3 ??x= 7oux= 1

ÔS={1;7}

Transformation de l"écritureax2+bx+c:

2+bx+c=a?

x2+bax+ca? =a? x+b 2a? 2 -b 2

4a2+ca?

=a? x+b 2a? 2 -b 2-4ac 4a2 ax

2+bx+c=a?

x+b2a? 2 -Δ4a2 avecΔ =b 2-4ac http://nathalie.daval.free.fr-5-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

II.3 Solutions de l"équation et factorisation

Résoudreax2+bx+c= 0revient à résoudrea?

x+b2a? 2 -Δ4a2 = 0ou encore? x+b 2a? 2 =Δ4a2

Dans cette dernière expression, tout est positif saufΔ, ce qui nous permet d"énoncer le théorème suivant :

Théorème 4

SoitΔ =b

2-4acle discriminant du trinômeax2+bx+c

ãΔ<0: l"équation n"a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ãΔ = 0: l"équation a une solution doublex

0=-b2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x

0)2 ãΔ>0: l"équation possède2solutions réelles :x1=-b-⎷Δ

2aetx2=-b+⎷Δ

2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x

1)(x-x2)

Exemple 6

Ô-6x2+x+ 1 = 0

Δ =b2-4ac= 12-4×(-6)×1 = 25

Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles : x

1=-b-⎷

2a=-1-5-12=12x2=-b+⎷

2a=-1 + 5-12=-13

S=? -1 3;12? et la forme factorisée dePest :P(x) =-6? x+13?? x-12?

Ô5x2+ 6x+ 2 = 0

Δ =b2-4ac= 62-4×5×2 =-4

Le discriminant est négatif, il n"y a pas de solution réelle

S=∅etPne se factorise pas

Ô2x2+ 5x+25

8= 0

Δ =b2-4ac= 52-4×2×25

8= 0 Le discriminant est nul, il y a une solution double :x0=-b

2a=-54

S=? -5 4? et la forme factorisée dePest :P(x) = 2? x+54? 2

Remarque 4

SiΔest positif, on a :ax

2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

=a[x

2-(x1+x2)x+x1x2]

=ax

2-aSx+aPoùSest la somme etPle produit des deux racines

on a alors :S=-b aetP=ca

Exemple 7

Trouver les racines du polynôme2x2-5x+ 3Ôx1= 1est une racine évidente ÔL"autre racine peut se déterminer facilement grâce àSouP:

S=x1+x2= 1 +x2=--5

2=52d"oùx2=32

P=x1x2= 1×x2=3

2=d"oùx2=32

http://nathalie.daval.free.fr-6-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

II.4 Signe du trinôme

Étudions le signe deP(x) =ax2+bx+c

SiΔ>0, on notex

1etx2les racines et on obtient le tableau de signes suivant :

x-∞x1x2+∞ asigne dea| signe dea| signe dea x-x1-0 +|+ x-x2-|-0 + a(x-x1)(x-x2)signe dea0signe de(-a) 0signe dea SiΔ = 0, on notex0la racine et on obtient le tableau de signes suivant : x-∞x0+∞ asigne dea| signe dea (x-x0)2+ 0 + a(x-x0)2signe dea0signe dea SiΔ = 0, on utilise la forme canonique :ax2+bx+c=a? x+b2a? 2 -Δ4a2

CommeΔest négatif, l"expression entre crochets est positive, le signe deP(x)est donc le même que

celui dea

Théorème 5

Le trinômeax

2+bx+cest du signe deasauf entre ses racines lorsqu"elles existent

Exemple 8

Ôf(x) =-6x2+x+ 1

Le discrimiant est positif,fest du signe dea=-6, donc négative sauf entre ses racines-1 3et12

Ô5x2+ 6x+ 2 = 0

Le discrimiant est négatif,fest du signe dea= 5, donc positive surR

Ô2x2+ 5x+25

8= 0 Le discrimiant est nul,fest du signe dea= 2, donc positive surRet nulle enx0=-5 4 http://nathalie.daval.free.fr-7-

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

II.5 Représentation graphique

Dans un repère , on noteCla courbe d"équationy=ax2+bx+c La représentation graphique d"une fonction polynôme du second degré est une parabole http://nathalie.daval.free.fr-8-quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] polynome du second degré cours

[PDF] factoriser un polynome du second degré

[PDF] qcm jeux olympiques

[PDF] jeux olympiques quizz facile

[PDF] un jour une question le vote

[PDF] un jour une question france 4

[PDF] un jour une question president

[PDF] mémoires d'une jeune fille rangée résumé

[PDF] 1 jour 1 question laicité

[PDF] mémoires d'une jeune fille rangée commentaire

[PDF] 1 jour 1 question video

[PDF] mémoires d'une jeune fille rangée nombre de pages

[PDF] memoires d'une jeune fille rangee

[PDF] mémorial de l'holocauste hda

[PDF] yolocaust

[PDF] POLYNOMES I.4.1 Méthode

Qu'est-ce que la factorisation d'un polynôme?

Comment factoriser un polynôme avec des coefficients fractionnaires ?

Comment calculer les polynômes factoriels ?

Qu'est-ce que l'algorithme de factorisation de polynômes à coefficients entiers ?

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

POLYNOMES

Table des matières

I Fonction polynôme1

II Second degré5

I Fonction polynôme

I.1 Fonction polynôme de degrén

Définition 1

On appelle fonction polynôme de degrén

P(x) =a

Exemple 1

ÔLa fonctionQdéfinie par :Q(x) =x3+x+1

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

Propriété 1

©deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)

Remarque 1

I.2 Egalité de deux polynômes

Théorème 1

ãdeg(P) =deg(Q)

Exemple 2

ÔLes deux polynômesQ(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)etP(x) =x4+ 1sont égaux :

Q(x) = (x2+⎷

2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)

2x3+x2+⎷2x3-2x2+⎷2x+x2-⎷2x+ 1

Q(x) =P(x)

I.3 Racine d"un polynôme

Définition 2

On appelle racine

Exemple 3

Remarque 2

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

Théorème 2

I.4 Factorisation

Théorème 3

0alors on peut

0)et on obtient

P(x) = (x-x

0)Q(x)ouQest une fonction polynôme de degré(n-1)

Remarque 3

4-x3+x2+ 11x+ 6

Une solution évidente estx

3+bx2+cx+d)

4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d

4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+d

Les polynômes3x

4-x3+x2+ 11x+ 6etax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+dsont égaux, leurs

Conclusion :f(x) = (x+ 1)(3x

3-4x2+ 5x+ 6)

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007

I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne

4-7X3+ 17X2-17X+ 6

Une solution évidente estX

0= 1donc,f(X)est divisible par(X-1)

4-7X3+ 17X2-17X+ 6X-1

X4-X3X3-6X2+ 11X-6

Conclusion :f(X) = (X-1)(3X3-4X2 + 5X+ 6)

I.4.3 Exemple

On souhaite factoriserP(x) =x

3-7x+ 6

1. CalculerP(2)

2. Trouver une racine évidente

3. Conclure sur la factorisation

ÔP(2) = 0, on peut factoriser par(x-2)

ÔP(1) = 0, on peut factoriser par(x-1)

P(x)=(x-2)(x-1)(ax+b)

2-x-2x+ 2)(ax+b)

2-3x+ 2)(ax+b)

3+bx2-3ax2-3bx+ 2ax+ 2b

3+ (b-3a)x2+ (-3b+ 2a)x+ 2b

P(x)=x

3-7x+ 6

2b= 6donc :?a= 1

Conclusion :P(x) = (x-2)(x-1)(x+ 3)

1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007