II. Inégalités sur les carrés les racines carrées
http://weislingermathias.free.fr/SECONDE%20E_fichiers/cours/ordre_partie2.pdf
RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
3 INÉGALITÉS VALEURS ABSOLUES
MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsquapplicable l
Les fonctions de Matlab sont définies sur . ^ : exposant. sqrt : racine carrée. sin cos
CHAPITRE 3 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 3-1 ÉQUATIONS ET
variable qui transforme l'inégalité en un énoncé vrai. Si a > 0 alors la racine carrée principale d'un réel négatif ?a est ?a = –1·a = –1 · a = i a .
FONCTIONS ET ORDRE
La fonction racine est croissante sur [0;+?[. * Si on prend la racine carrée de chaque membre d'une inégalité où les membres sont positifs on obtient une
Coups doeil `a saveur historique sur lextraction de racine carrée
méthodes ont été introduites afin d'évaluer une racine carrée arithmétique de deux nombres
COMPARER LES CARRÉS RACINES CARRÉES ET INVERSES
racines carrées mais dans l'ordre inverse de leurs inverses : Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre
CONVEXITÉ
La fonction racine carrée ? ? est concave sur [0 ; +?[. - Admis - Méthode : Prouver une inégalité en utilisant la convexité d'une fonction.
Nombres complexes
Sept 19 2012 Tous ces modules étant des réels positifs
Fonction Carré
Manipulation des égalités et des inégalités : Si est pair il faut faire attention que les nombres soient bien positifs avant d'appliquer une racine -
[PDF] II Inégalités sur les carrés les racines carrées les inverses
Inégalités sur les carrés les racines carrées les inverses 1) Passage au carré à la racine carrée Propriété 1: a et b étant deux nombres positifs
[PDF] Exercices 4 Fiche 4 : Inéquations avec une racine carrée Une
Fiche 4 : Inéquations avec une racine carrée Une équation dans laquelle la variable apparait sous un radical est appelée une équation irrationnelle
[PDF] RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
On rappelle brièvement dans ce paragraphe les règles usuelles de calcul sur les inégalités les valeurs absolues les puis- sances et les racines carrées
[PDF] cours_3eme_chap_a3_racines_
La racine carrée d'un produit de deux nombres positifs est égale au produit des racines carrés de chacun d'eux Exemples : • 3 × 5 = 3 × 5 = 15 •
[PDF] Rappels sur les racines carrées
Pour faire disparaitre une racine carrée d'un dénominateur il suffit de multiplier la fraction au numérateur et dénominateur par cette même racine carrée
[PDF] LES RACINES CARRÉES - maths et tiques
La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers) L'erreur des pythagoriciens est d'avoir
Résoudre une équation ou une inéquation racine carrée - Alloprof
Remplacer le symbole d'inégalité par le symbole d'égalité · Isoler la racine carrée · Vérifier si la racine carrée est supérieure ou égale à 0 0 et calculer la
[PDF] COMPARER LES CARRÉS RACINES CARRÉES ET INVERSES
racines carrées mais dans l'ordre inverse de leurs inverses : Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre
[PDF] Chapitre 9 Fonction racine carrée - Université de Sherbrooke
20 août 2018 · Si on doit résoudre une équation où la variable indépendante se trouve sous une racine carrée la stratégie est d'isoler la racine carrée
[PDF] Inégalités
On commence par une remarque assez anodine : un carré est toujours positif Proposition 1 Soit x ? R On a x2 ? 0 avec égalité si et seulement si x = 0
Comment résoudre une inéquation avec racine ?
Pour comparer deux expressions contenant des racines carrées il suffit de les élever au carré. En effet on a vu au paragraphe « Ordre des racines carrées et des carrés » que les nombres et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Or 12 < 18, donc : 2?3 < 3?2.Comment comparer 2 racines carrées ?
Pour faire disparaitre une racine carrée d'un dénominateur, il suffit de multiplier la fraction au numérateur et dénominateur par cette même racine carrée.Comment enlever la racine carrée au dénominateur ?
Pour résoudre de telles équations, on peut utiliser la méthode du recouvrement, qui consiste à recouvrir successivement chaque partie de l'équation afin d'en déduire sa valeur. 17,64 = 4,2, car 4,2 × 4,2 = 4,22 = 17,64. Ex. : Cette figure montre que 6 × 6 = 36 et que 36 = 6.
CONVEXITÉ
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/gge4xdn6cFAPartie 1 : Dérivée seconde
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée ′ est dérivable
sur .On appelle fonction dérivée seconde de sur la dérivée de ′ et on note :
Méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonctionVidéo https://youtu.be/W6rypabq8uA
Calculer la dérivée seconde de chacune des fonctions , et ℎ définies par :
=3 -5 +1 =cos(2)Correction
=9 -10 )′=18-10 ()=1× (1+)1+
×1=
(2+) =-2sin(2) =-2×2cos2
=-4cos(2)Partie 2 : Fonction convexe et fonction concave
1) Définitions avec les cordes
Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe. 2 Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses cordes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses cordes.Fonction convexe Fonction concave
2) Définitions avec les tangentes
Définitions : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses tangentes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses tangentes.Fonction convexe Fonction concave
Méthode : Reconnaître graphiquement la convexitéVidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E
Reconnaître graphiquement la convexité des deux fonctions représentées sur l'intervalle [-3;5]. 3 a) b)Correction
a) La fonction est concave. Sa courbe est en effet entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Remarque : On aurait pu obtenir ses résultats en utilisant les cordes. 43) Propriétés
Propriétés :
- La fonction carré ⟼ est convexe sur ℝ. - La fonction cube ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction inverse ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction racine carrée ⟼ est concave sur0;+∞
- Admis -Propriété :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .- Dire que la fonction est convexe sur , revient à dire que sa dérivée ′ est croissante sur
, soit : ′′()≥0.- Dire que la fonction est concave sur , revient à dire que sa dérivée ′ est décroissante
Remarque : Dans la pratique, pour étudier la convexité d'une fonction, on détermine le signe
de la dérivée seconde.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/-OG8l5Batuo
- Démontrons que : est convexe, si ′ est croissante : On considère la fonction dérivable sur I et définie par :Alors : ′
Or ′ est croissante sur I, donc ′ est également croissante.De plus, ′
On peut donc compléter le tableau de variations de .En effet :
=0Donc
≥0 sur I.Soit
On en déduit que la courbe représentative de est au-dessus de ses tangentes sur I et donc
que est convexe sur I.- Démonstration analogue pour prouver que : est concave, si ′ est décroissante.
5 Méthode : Étudier la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE
Soit la fonction définie sur ℝ par 1 3 -9 +4.Étudier la convexité de la fonction .
Correction
-18. =2-18On a :
=0pour =9.Pour tout ≥9, ′′
≥0.Donc est concave sur
-∞;9 et est convexe sur9;+∞
Partie 3 : Point d'inflexion
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .Un point d'inflexion est un point où la courbe
traverse sa tangente. Propriété : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.Exemple :
On considère la fonction cube ⟼La tangente en 0 est l'axe des abscisses.
Pour ≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. L'origine est donc le point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. La tangente à la courbe traverse donc la courbe en ce point. 6 Méthode : Reconnaître graphiquement un point d'inflexionVidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo
Déterminer graphiquement le point d'inflexion des fonctions représentées ci-dessous. a) b)Correction
a) La fonction est d'abord concave puis convexe. Le point de coordonnées (0 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Le point de coordonnées (2 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. 7 Méthode : Étudier la convexité pour résoudre un problèmeVidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k
Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.Le coût de fabrication (en milliers d'euros) de milliers de clés produites s'exprime par :
=0,05 -1,05 +8+4, définie sur l'intervalle [0 ; 10].1) À l'aide de la calculatrice, conjecturer la convexité de la fonction .
En déduire si la courbe possède un point d'inflexion.2) Démontrer ces résultats.
3) Interpréter les résultats obtenus au regard du contexte de l'exercice.
Correction
1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle
[7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour =7.2)
=0,05 -1,05 +8+4 =0,15 -2,1+8 =0,3-2,1Or, 0,3-2,1=0 pour =7.
8On peut ainsi résumer les variations de ′ et la convexité de dans le tableau suivant :
7 =25,7 Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe.3) Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication
ralentie. Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication s'accélère.Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère.
Méthode : Prouver une inégalité en utilisant la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/AaxQHlsxZkg
Soit la fonction définie sur ℝ par -2 a) Étudier la convexité de la fonction . b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1. c) En déduire que pour tout réel négatif, on a : -2Correction
a) ′ =3 -4. =6-4 qui s'annule pour = 2 3Pour tout ≥
2 3 ≥0.Donc est concave sur M-∞;
2 3M et est convexe sur N
2 3 ;+∞N. b) L'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1 est de la forme : -1 -1 -1On a :
-1 =3× -1 -4× -1 =7 -1 -1 -2× -1 =-3 Donc, l'équation de la tangente en -1 est : =7 +1 -3 soit : =7+4 c) est concave sur M-∞; 2 3 M donc sur cet intervalle, la courbe représentative de est située en dessous de ses tangentes. Soit, en particulier, la courbe de est située en dessous de la tangente en -1. 0 7 10 - O + Convexité de concave convexe 9On a ainsi,
2 3 M.Soit
-2 2 3 M et donc en particulier pour tout négatif.Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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