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Nombres complexes

PTSI B Lycée Eiffel

19 septembre 2012

Les nombres remarquables sont de sortie en discothèque. ets"amusent comme des fous, maisreste scotché au bar. va alors voiret lui dit : " Allez, viens dansC! »

Introduction

Pour ce deuxième chapitre de l"année, nous allons revenir sur une notion que vous avez déjà

abordée l"an dernier, celle de nombres complexes. Ces derniers forment un outil fondamental en

mathématiques, à la fois d"un point de vue théorique et d"un point de vue pratique (notamment

en géometrie, comme on le verra un peu plus loin). Mais avant de commencer les explications, une

petite question : pourquoi avoir " inventé » de toutes piècesces nombres complexes? Les différents

ensembles de nombres sont apparus historiquement de façon relativement naturelle pour résoudre

des problèmes concrets : les entiers naturels servent tout simplement à compter, les entiers relatifs

deviennent nécessaires dès qu"on veut quantifier de façon unpeu abstraite des échanges commerciaux,

et les rationnels apparaissent dès qu"on cherche à diviser en plusieurs parts une quantité entière. Enfin,

les réels permettent de graduer une droite et sont donc utiles pour se repérer (ils apparaissent par

ailleurs assez rapidement dans des problèmes de géometrie :diagonale d"un carré ou périmètre d"un

cercle). Les complexes, eux, ont été d"abord introduits pour permettre de résoudre des équations, les

autres applications n"apparaissant qu"ensuite. En effet, on sait bien par exemple que tout nombre

positif possède une racine carrée réelle (autrement dit, l"équation2=admet une, et même deux,

solutions réelles si 0), mais qu"en est-il pour les nombres négatifs, et notammentpour1?

L"ensemble des nombres complexes possède l"étonnante propriété que toute équation polynomiale y

admet (au moins) une solution.

Objectifs du chapitre :

maitrise du calcul algébrique sur les nombres complexes : résolution d"équations, utilisation

alternée de la forme algébrique et de la forme trigonométrique dans la résolution de problèmes.

compréhension du lien entre trignonométrie et nombres complexes via la notation d"exponen- tielle complexe. résolution de problèmes géométriques à l"aide des nombres complexes.

1 L"ensemble des nombres complexes, structure et opérations

1.1 Définitions

Définition 1.L"ensemble desnombres complexes, usuellement notéC, est constitué de tous les nombres de la forme+, oùetsont deux réels quelconques. Il est muni des deux opérations 1 suivantes : l"addition définie par(+) +(+) =++ (+)et la multiplication définie par

Remarque1.Autrement dit, le nombrevérifie2=1et les opérations vérifient les propriétés

usuelles. Théorème 1.Propriétés des opérations usuelles sur les nombres complexes.

L"addition est associative, commutative et a pour élément neutre0 + 0(désormais noté plus

simplement0), c"est-à-dire que, pour tout nombre complexe, on a+ 0 = 0 +=. La multiplication est associative, commutative et a pour élément neutre1 + 0(noté1). La multiplication est distributive par rapport l"addition. Tout nombre complexeadmet un opposé noté. Tout nombre complexe non nuladmet un inverse noté 1 ou1.

Démonstration.

Les propriétés de l"addition découlent immédiatement de celles de l"addition sur les réels.

Posons1=+;2=+et3=+trois nombres complexes, on a12= (+)(+) = ()+(+) = (+)(+), donc le produit est bien commutatif.

De même(12)3= (()+(+))(+) =+(++)

et1(23) = (+)(()+(+)) =+(++). Les deux résultats étant les mêmes, le produit est bien associatif. La distributivité est à nouveau un calcul sans difficulté :1(2+3) = (+)(++(+)) = (+)(+)+((+)+(+)) =+(+)++(+) =12+13. Enfin, l"opposé du complexe+est sans difficulté le complexe; et l"inverse deest le complexe

2+2. En effet,()(+) =22.

Remarque2.On identifie souvent l"ensembleRdes nombres réels comme un sous-ensemble deCen

associant à un réelle nombre complexe+ 0. Les opérations définies plus haut prolongent alors

la somme et le produit sur les réels. Définition 2.Soit=+un nombre complexe. Le réelest appelépartie réellede, et noté Re (). Le réelest appelépartie imaginairede, et notéIm ().

Définition 3.Un nombre complexe de partie réelle nulle est appeléimaginaire pur, et on noteR

l"ensemble des nombres imaginaires purs.

Remarque3.Un nombre complexe est déterminé de façon unique par ses parties réelle et imaginaire,

ce qui mène à l"identification suivante : Définition 4.À tout nombre complexe=+, on peut associer le pointdu plan (muni d"un repère orthonormé) de coordonnées(). Le pointest appeléimagedu nombre complexe, et le nombreaffixedu point.

1.2 Conjugaison

On peut définir sur les nombres complexes une autre opérationqui sera la première pour laquelle

nous aurons une interprétation géométrique simple : Définition 5.Soit=+un nombre complexe, on appelleconjuguéde, et on note , le nombre. Proposition 1.La conjugaison est compatible avec la somme et le produit : pour tous nombres complexeset, +=+et=. De plus, la conjugaison est involutive, c"est-à-dire que 2

Démonstration.Soit=+et=+, on a+=++(+) =+(+) =

+;=+(+) =(+)et= ()() = (+). La dernière propriété est tellement évidente que je vous épargne le calcul. Proposition 2.Pour tout nombre complexe, on a+= 2Re ()et= 2Im (). Par conséquent,est un nombre réel si et seulement si= etest imaginaire pur si et seulement si=

Démonstration.Comme=+et

=, on a bien+= 2= 2Re (), et= 2=

2Im ().

Proposition 3.Soitun nombre complexe etson image dans un repère orthonormal du plan.

Alors l"image de

est le symétrique depar rapport à l"axe des abscisses. Démonstration.C"est une conséquence immédiate du fait que le symétrique de()par rapport

à l"axe des abscisses est().

1.3 Module

Définition 6.Lemoduled"un nombre complexe=+, noté, est le réel positif 2+2.

Démonstration.On a bien

= (+)() =2+2. Remarque4.Le calcul précedent devrait vous rappeler quelque chose : ona1=

2. On utilise

cette propriété pour "simplifier» les quotients de deux nombres complexes en multipliant numérateur

et dénominateur par le conjugué du dénominateur, par exemple : 2 +

34=(2 +)(3 + 4)34=2 + 115

Remarque5.Pour un nombre réel, le module coincide avec la valeur absolue, ce qui explique que la notation soit la même. Proposition 4.Pour tous nombres complexeset, on a=. Si= 0,??? =. De plus,= , et= 0= 0.

Démonstration.En effet,=

==. Le quotient se fait de la même façon.

Le fait que=

découle immédiatement de la définition. Enfin, pour que=+= 0, il faut avoir2+2= 0, ce qui ne se produit que si== 0, donc si= 0. Remarque6.Siest l"image dedans un repère orthonormé d"origine, le module dereprésente tout simplement la distance. Proposition 5.Soitun nombre complexe, alorsRe ()?etIm ()?.

Démonstration.C"est évident en utilisant la remarque précédente, puisqueRe ()etIm ()repré-

sentent les distances deaux projetés orthogonaux desur les axes du repère.

Théorème 2.Inégalité triangulaire

Soientetdeux nombres complexes, alors ?+?+. De plus, l"inégalité de droite est une égalité si et seulement si=(R) ou= 0. 3 Démonstration.Commençons par l"inégalité de droite :+2= (+)(+) =2+2+ 2Re ( )?2+2+ 2= (+)2. Tous ces modules étant des réels positifs, l"inégalité triangulaire en découle par passage à la racine carrée.

L"inégalité de gauche est en fait presque la même que celle dedroite. En effet, appliquons cette

dernière àet, on obtient?+, donc ?. En inversant le rôle deet, on a de même ?, ce qui permet d"ajouter la valeur absolue au membre de gauche. Ne reste plus qu" remplacerenpour la forme de l"énoncé.

Enfin, d"après la démonstration faite, l"égalité dans l"inégalité de droite se produit exactement quand

Re ( ) =, ou encore quandIm () = 0, donc siRe ()Im ()Im ()Re () = 0. Autrement dit, les couples(Re ()Im ())et(Re ()Im ())sont proportionnels, ce qui signifie que les images des complexesetsont alignés avecdans le plan complexe. Cela correspond exactement à la condition donnée.

Remarque7.On peut facilement généraliser l"inégalité à plus de deux nombres complexes :1+

+?1++. Cette inégalité triangulaire généralisée se prouve par récurrence.

Une dernière application géométrique du module, la définition des cercles dans le plan complexe :

Proposition 6.Soitun complexe,son image etun réel positif. L"ensembledes points du plan d"affixevérifiant=(respectivement?et ) est le cercle (respectivement le disque fermé et ouvert) de centreet de rayon. Démonstration.C"est évident dès qu"on a constaté quereprésentait la distance.

Exemple :On peut passer de ce type d"équation de cercle à une équation cartésienne (faisant

intervenir les deux corordonnées sous la forme()) par un calcul élémentaire. Faisons-le sur un

exemple, celui du cercle de centre(1+)et de rayon2. En posant=+, on part de(1+)2=

4, soit(1)(

1+) = 4, donc(+1)(1+) = 4. Il ne reste plus qu"à développer :

2+++2++1++1 = 4, soit2+2222 = 0.

2 Complexes et trigonométrie

2.1 Groupe des complexes de module1

Définition 7.On noteUl"ensemble des nombres complexes de module1(ou nombres complexes unimodulaires). Cet ensemble est stable par produit et passage à l"inverse. Démonstration.Sietsont deux nombres complexes de module1, on a== 1, et 1=1 = 1, doncUest bien stable par produit et inversion.

Remarque8.Le produit complexe, restreint àU, est donc associatif, possède un élément neutre1,

et tout élément deUest inversible. Ce sont ces propriétés qui font deUce qu"on appelle un groupe

commutatif, notion que étudierons plus en détail dans un chapitre ultérieur. Définition 8.Soitun réel quelconque, on notele nombre complexecos+sin.

Proposition 7.Pour tous réelset, on a

==??1, et(+)=. De plus, U.

Démonstration.En effet,

= cos()sin() = cos() +sin() =, et d"après la formule que nous allons montrer juste après,=0= 1, donc=??1. La deuxième pro- priété découle imédiatement des formules d"addition pour lecoset lesin:= cos()cos() sin()sin()+(cos()sin()+sin()cos()) = cos(+)+sin(+). Enfin, la dernière affirmation

peut être démontrée de plusieurs façons, par exemple par calcul direct := cos2() + sin2() =

1. 4 Théorème 3.SoitU, alorspeut s"écrire sous la forme, oùest un réel unique modulo2. Démonstration.Comme= 1, le point(;)image dedans le plan appartient au cercle trigonométrique. On a donc= cos()et= sin(), oùest un angle défini à2près, et= Remarque9.Le réels"interprétant naturellement comme un angle, on utilise souvent la variable pour le paramétrage :U=[0;2[.

2.2 Argument d"un nombre complexe

Proposition 8.Tout nombre complexe non nulpeut s"écrire sous la forme, où= R+,

etest un réel défini à2près. Cette écriture est appeléeforme trigonométriquedu nombre

complexe. Démonstration.C"est une application immédiate du théorème du paragraphe précedent := et le complexe ayant pour module1, il peut s"écrire sous la forme. Définition 9.Le réelest appeléargumentdu nombre complexe, et noté()(il n"est pas unique). L"unique valeur deappartenant à l"intervalle];]est l"argument principalde, souvent noté(). Remarque10.Le nombre complexe0est donc le seul à ne pas posséder d"argument. Proposition 9.Les arguments vérifient les propriétés suivantes : arg() = arg() + arg( ) =arg() arg() = arg() + arg() arg? = arg()arg()

Démonstration.C"est en fait une simple redite des propriétés vues au paragraphe précédent. Si

=et=, on a les formes trigonométriques suivantes :=() =(cos() sin()) =(cos(+) +sin(+)) =(+); ==;==i(θ+θ), et de même pour le quotient.

2.3 Applications en trigonométrie

Proposition 10.Formules d"Euler.

Pour tout réel,cos() =+

2etsin() =2.

Démonstration.C"est en fait une simple redite pour le cas dedes formules+ = 2Re ()et = 2Im ()

Proposition 11.Formules de Moivre.

Pour tout réel,cos() +sin() = (cos() +sin()).

Démonstration.De façon équivalente, il suffit de montrer que=??, ce qui se prouve aisément

par récurrence : c"est une évidence pour= 1, et si la formule est vraie au rang, alors(+1)= +==??=??+1.

Plus que les formules elles-mêmes, ce sont quelques calculsclassiques les utilisant qu"il faut connaitre :

Exemple 1 :On a vu dans le premier chapitre des formules de duplication et de triplication du cosinus. Les formules de Moivre et d"Euler permettent plus généralement de calculercos()comme 5 un polynome encos()(et de même pour le sinus) via la formule du binome de Newton. Par exemple (attention les yeux) : cos(5) =5+5 2 =1

2?(cos() +sin())5+ (cos()sin())5?

1

2(cos5() + 5cos4()sin()10cos3()sin2()10cos2()sin3()

+5cos()sin4() +sin5() + cos5()5cos4()sin()

10cos3()sin2() + 10cos2()sin3() + 5cos()sin4()sin5())

= cos

5()10cos3()(1cos2()) + 5cos()(1cos2())2

= 16cos

5()20cos3() + 5cos()

Exemple 2 :Dans l"autre sens, on peut facilement linéariser les puissances du cosinus (et du sinus),

c"est-à-dire les exprimer en fonction des cosinus des multiples de, par exemple : cos

3() =?+

2? 3 =18(3+3+3+3) =18(2cos(3)+6cos()) =14cos(3)+34cos()

Exemple 3 :Une autre technique utile est celle de la factorisation par l"angle moitié, par exemple

+ 1 =θ 2?

θ2+θ2?

= 2cos2θ 2. Un exemple d"application à un calcul de somme : =0cos() = Re? =0 = Re? 1(+1) 1? = Re?2(+1)θ

2sin((+1)2)

2θ2sin(2)?

=cos(

2)sin((+1)2)

sin(2)

(on utilise en cours de calcul la formule de calcul d"une somme de termes d"une suite géométrique,

qui fonctionne très bien avec des nombres complexes).

2.4 Exponentielle complexe

On peut en fait généraliser la définition de l"exponentielleà tout nombre complexe. Définition 10.Soit=+un nombre complexe, son exponentielle est le nombre=.

Remarque11.Cette définition généralise à la fois celle de l"exponentielle réelle et celle donnée pour

les imaginaires purs. On a en faitarg() = Im ()et=Re ().

Proposition 12.La fonction exponentielle complexe est2-périodique, et vérifie la propriété

Démonstration.La périodicité découle simplement du fait que2= 1, et l"équation fonctionnelle

est issue de celle vérifiée par les deux exponentielles déjà définies précédemment.

3 Équations complexes

3.1 Racinesn-èmes de l"unité

Définition 11.Lesracines-èmesd"un nombre complexesont toutes les solutions de l"équation

Remarque12.Cette équation a en général plusieurs solutions, il est horsde question de parler de

laracine-ème d"un complexe comme on peut le faire pour un réel. De même, le symbole est à

éviter absolument quand on travaille avec des complexes, dufait de l"absence de distinction possible

entre les deux racines carrées d"un nombre complexe (pas de positivité surC, ni même de notion

d"ordre). 6 Définition 12.On appelleracines-èmes de l"unitéles racines-èmes du nombre1. Théorème 4.Les racines-èmes de l"unité sont lescomplexes2ikπ n,variant de0à1. Démonstration.En effet, soit=un nombre complexe (non nul) mis sous forme trigono- métrique. On a= 1si et seulement si= 1et= 1. Or,étant un réel positif, on a nécessairement= 1, et= 10[2], donc0?2 , ce qui donne bien, modulo2, lesvaleurs annoncées.

Si on essaie de visualiser dans le plan complexe le résultatsprécédent, les racines-èmes forment en

fait un-gone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, parexemple pour= 3et= 8: 1j j^2 Définition 13.On note habituellementle nombre complexe2iπ3. Les racines cubiques de l"unité sont1,et2=

Démonstration.En effet, la troisième racine cubique de l"unité est d"après le théorème précédent

4iπ

3, qui est bien égale à2. De plus,= cos23sin23=12

3

2=4iπ

3. Remarque13.Plus généralement, on peut en fait remarquer qu"en notant=2ikπn, l"ensemble des racines-èmes de l"unité est constitué des nombres de la forme, pourvariant entre0et1

(est appelée racine-ème primitive de l"unité, car on peut obtenir toutes les autres en prenant

les puissances de celle-ci). En particulier, il est stable par produit, ce qui en fait, tout commeU, ungroupe. Il s"agit même d"un sous-groupe deU, puisqu"il est inclus dans ce dernier (les racines -èmes de l"unité ayant toujours pour module1). On le noteU. Proposition 13.Les éléments deUvérifient les propriétés suivantes :?

Un= 0; et pour tout

nombre complexe,?

Un() =1.

Démonstration.La première égalité est un simple calcul :? Un=1? =02ikπ n=1? =0?

2iπn?=

21

2iπn1= 0. Pour démontrer la deuxième, nous avons besoin de quelques propriétés élémentaires

des polynomes qui seront démontrées plus loin dans le cours,notamment le fait qu"un polynome de degréadmet exactementracines1dansC(éventuellement multiples) et qu"on peut le factoriser comme produit de monomes de la forme() =? =1(),étant le coefficient dominant du polynome. Ici,= 1, et lesracines du polynome sont, par définition, les racines -èmes de l"unité, ce qui donne la factorisation annoncée. 7

Tous ces calculs se généralisent facilement aux cas des racines-èmes de n"importe quel combre

complexe non nul, contentons-nous d"énoncer le résultat suivant : Proposition 14.Soit=un nombre complexe mis sous forme trigonométrique. Sesracines -èmes sont les nombres de la formen i(θ+2kπ)n, 01. Démonstration.L"équation=se résout de la même façon que= 1, et on obtient les racines démandées sans difficulté. Exemple :On cherche à déterminer les racines cubiques de= 2+2. Commençons par écriresous forme exponentielle :=

4 + 4 = 22, donc= 22π4. En notant=, l"équation3=

se ramène à33=, c"est-à-dire aux deux conditions3= 2

2et34[2], soit=2, et

12? 23?
. Autrement dit, les trois racines cubiques sont1=2π12,2=2(π12+2π3)=23π4, et3=

2(π12+4π3)=217π12.

Remarque14.En particulier, tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées, qui sont opposées l"une de l"autre.

3.2 Équations du second degré

Théorème 5.Soit à résoudre une équation de la forme2++= 0(les coefficients,et étant des nombres complexes, etnon nul). On poseΔ =24etune des deux racines carrées deΔ. Alors notre équation admet deux solutions1=

2et2=+2. Dans le cas oùΔ = 0,

ces deux solutions sont confondues, égales à

2. Si les coefficients sont réels etΔ0,1et2sont

conjugués l"un de l"autre.

Démonstration.La preuve est la même que dans le cas réel : en divisant l"équation parpuis en

mettant sous forme canonique, on obtient? 2? 2 =Δ42. SiΔest nul, il n"y a qu"une seule solution égale à

2. Sinon, on a+2=2ou+2=2, ce qui donne les deux solutions

annoncées.

Méthode :Pour obtenir une racine carrée d"un nombre complexe, il est en général conseillé d"utiliser

la méthode trigonométrique vue au paragraphe précédent, mais on peut également le faire algébri-

quement : si2=+, avec=+, alors par égalité des modules2+2=

2+2, mais

commeRe2=, on a aussi22=, dont on déduit les valeurs de2et de2. Ensuite, l"égalité des parties imaginaires donne2=, ce qui permet de connaitre les signes deet de(il y a bien entendu deux possibilités). Par exemple, pour résoudre2= 12 + 5, on obtient2+2=

122+ 52= 13et22= 12,

donc22= 25et22= 1, soit=5

2et=12. Et comme enfin2= 5, on obtient les deux

solutions1=5 +

2et2=52.

Exemple :On veut résoudre l"équation21 = 0. On calcule donc le discriminant Δ = ()24(1) =1 + 4+ 4 = 3 + 4. Cherchons donc=+vérifiant2= 3 + 4. Comme2=22+ 2, on obtient les deux conditions22= 3et2= 4. On ajoute la condition sur le module2=2+2=Δ=

32+ 42= 5. En additionant et soustrayant la

première et la dernière équation, on a22= 8, soit=2; et22= 2, soit=1. Comme par ailleurs2 0,etdoivent être de même signe, ce qui laisse les possibilités1= 2+et2=2. Les solutions de l"équation initiale sont donc1=+ 2 +

2= 1 +, et2=22=1.

8 Proposition 15.Soient1et2les deux solutions de l"équation2++= 0, alors1+2= et12= Démonstration.On peut s"en sortir directement avec les formules donnant les solutions :1+2=

2++2=22, et12=2+2=2242=442=.

Terminons ce paragraphe en citant, sans le démontrer, un théorème extrêmement fondamentale sur

les équations complexes :

Théorème 6.D"Alembert-Gauss.

Toute équation polynomiale admet au moins une solution dansC.

Remarque15.Ce théorème porte également le nom pompeux de théorème fondamental de l"algèbre.

Il peut être précisé, le nombre de racines d"un polynome de degréétant toujours égal àsi on les

compte avec multiplicité. Nous reviendrons sur ces notionsplus tard.

4 Complexes et géometrie

4.1 Affixes d"objets géométriques du plan

Nous avons déjà vus qu"on pouvait de façon naturelle associer un nombre complexe à chaque

point du plan, et que le module et l"argument s"interprétaient respectivement comme une longueur et un angle. De façon similaire, on peut associer un nombre complexe aux vecteurs du plan : Définition 14.L"affixecomplexe du vecteur du plan=+est le nombre=+. Proposition 16.Propriétés des affixes vectorielles :

Pour tous vecteursetdu plan,+=+.

Pour tout vecteuret tout réel,=.

Pour tous pointsetdu plan,=.

Pour tout système pondéré((11);;())de points du plan vérifiant? =1 = 1, le barycentredu système a pour affixe=? =1 i.

Démonstration.

C"est une conséquence immédiate du fait que les coordonnéesd"une somme de vecteurs sont obtenues en faisant la somme des coordonnées des deux vecteurs.

C"est tout aussi immédiat.

En effet, sia pour coordonnées()et(),= ()+ ()()a pour affixe+() =+(+). C"est une conséquence de la caractérisation vectorielle dubarycentre : on a en particulier =1 , il ne reste plus qu"à prendre les affixes.

Plus intéressante est la propriété suivante, qui est la basede l"utilisation des complexes en géométrie :

Proposition 17.Soient,ettrois points du plan, alors()arg? [2]et 9

Démonstration.En effet,arg??

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