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1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis33

1.8Lethéorème desaccroissementsfinis

Rappelonslerésultat classiquepourles fonctionsd'unevariable réelleàvaleurs dansR.

1.8.1THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISS URR)

Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.

Alors,ilexiste c2]a,b[telque

f(b)f(a)=f 0 (c)(ba). (oùilexiste q2]0,1[telque f(b)f(a)=f 0 (a+q(ba))(ba). Uneautre version(plusfaible)dece résultatestl'i négalitédesaccr oissementsfinis:

1.8.2THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.SoitM0telleque |f 0 (x)|M,pourtout x2[a,b],alors|f(y)f(x)|

M|yx|pourtoutx,y2[a,b].

Onendéduit unepremièr eextensiondu théorèmedesaccr oissementsfinispour lesfonctionsdéfinies surunouvert d'unespacevectoriel norméEàvaleurs dansR.

1.8.3DÉFINITION

1)SoitEunespace vectoriel,a,b2E.Lesegment [a,b]estlesous-ensemble deE

définipar [a,b]={x2E;ilexiste t2[0,1]telquex=a+t(ba)}

2)Unsous-ensemble U⇢Eestditconvexesipourtout a,b2Ulesegment

[a,b]⇢U.

1.8.4THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISÀ VALEURSDANSR)

Soitf:U!Runefonctiondif férentiabledans l'ouvertU⇢E.Soita,b2U,sile segment[a,b]estcontenudans U,ilexiste q2]0,1[telleque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba) cequiest équivalentàdir equ'il existec2]a,b[telquef(b)f(a)=Df(c).(ba).

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis34

FIGURE1.1-convexe

FIGURE1.2-non convexe

Démonstration:Onappliquele théorèmedesaccr oissementsfinisà lafonctiong: n est l'applicationdéfiniepar A(t)=a+t(ba). gestdiffér entiablesur[0,1],commecomposée defonctionsdif férentiableset g 0 (t)=Df(A(t))(DA(t))=Df(a+t(ba)).(ba)

Ilexistedonc q2]0,1[telqueg(1)g(0)=g

0 (q), quisetraduit par:il existeq2]0,1[telque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba).

1.8.6REMARQUE.L'exemplesuivantmontreque cerésultatest fauxsifestàvaleurs

dansunespace vectorieldedimension 2.

1.8.7EXEMPLE.Soitf:R!R

2 ,x7!f(x)=(x 2 ,x 3 ).Sadif férentielleau pointxest

Df(x)=(2x,3x

2 ).D'autre part,f(1)f(0)=(1,1)etpourtout c2R,Df(c)= (2c,3c 2 )6=(1,1)onmontre ainsi,lethéorèmeprécédentnes'applique pasàf. Onanéanmoins, lecorollair esuivant: sionn'impose pasauxdifférentiellesdes composantesde fsoientévaluéesen unmêmepoint c:

1.8.8COROLLAIRE

Soitf:U!R

m ,x7!(f 1 (x),...,f m (x))unefonctiondif férentiable.Soit a,b2U, silesegment [a,b]estcontenudans U,ilexiste mpointsc 1 ,...,c m

2]a,b[telleque

pourtoutj2{1,...,m}ona f j (b)f j (a)=Df(c j ).(ba)

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis35

Démonstration:Onapplique 1.8.4àchaquecomposante f j def. Uneautre varianteduthéorèmedesaccr oissementfinisoù l'égalitéestr empla- céeparune inégalitésurles normes.

1.8.10THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

Soitf:U!R

m uneapplicationdif férentiable.UouvertdeR n

Pourtouta,b2R

n telsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)k sup x2]a,b[ kDf(x)k .kbak Démonstration:Onsupposef(b)f(a)6=0,sinonl'inégalité estévidente.On pose v= f(b)f(a) kf(b)f(a)k .Onconsidér elaforme linéairecontinuey,définiepar :pourtout y2F,y(y)=où<.,.>estlepr oduitscalaire standardsurR m D'après1.8.4,ilexiste q2]0,1[tellequey(f(b)f(a))=y(f(b))y(f(a))=

Dyf(a+q(ba)).(ba)=y

Df(a+q

y (ba))(ba) s'écritaussi =ouencore kf(b)f(a)k= etuneapplication del'inégalitéde Cauchy-Schwarznousdonne : |1.8.12LEMME Soitg:[0,1]!Funeapplicationdif férentiabletelle queilexisteM0telque,

Démonstration:Soite>0fixé.

onposeS e e est unepartien onvideet bornéedeR,elleadmet unebornesupérieur e,qu'onnotera t 0

Onveutmontr erque t

0 =1. Sit 0 <1,alorspar définitiondela bornesupérieure, ilexiste unesuiteh n >0 tellequelim n!+• h n =0etkg(t 0 +h n )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n ).D'oùpar conti- nuitédegetpassageà lalimite,on aurakg(t 0 )g(0)k(M+e).t 0 .Alors kg(t 0 +h n )g(t 0 )kkg(t 0 +h n )g(0)kkg(t 0 )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n )(M+e).t 0 (M+e).h n ainsik g(t 0 +h n )g(t 0 h n k>M+eetparpassage àlalimite onobtient kDg(t 0 )kM+e>M,cecicontr editl'hypothèsekDg(t)kMpourtoutt2 [0,1].Donct 0 =1.Par suite,pourtoute>0,kg(1)g(0)k(M+e)cequi signifiekg(1)g(0)kM.

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis36

1.8.14THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS(CASGÉNÉRAL ))

SoientEetFdeuxevnet f:U!Funeapplicationdif férentiable. UouvertdeE. Soientx,y2Utelsquele segment[x,y]⇢U.Onsuppose qu'ilexisteM0 kf(y)f(x)kMkxyk(1.3) etparsuite kDg(t)kkDf(x+t(yx))k.kyxkM.kyxk. Onappliquele lemmeprécédentà gpourobtenirle résultat kf(y)f(x)k=kg(1)g(0)kMkyxk

1.8.1Quelquesapplications duthéorèmedes accroissementsfinis

1.8.16COROLLAIRE

SoientEetFdeuxevn.f:U!Funeapplicationdif férentiable.UouvertdeE. SoitT2L(E,F).Pourtout a,b2Etelsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)T(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Tk .(1.4)

Enparticulier, siT=Df(a)onaura

kf(b)f(a)Df(a)(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Df(a)k .(1.5) Démonstration:Résultedel'inégalité desaccroissement finisappliquéeà fTetde lalinéaritéde TquientraîneDT(x)=T.

SoientE=E

1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication. Onavu précédemmentquesi festdiffér entiableentoutpointa2U,alors

Df(a)=(D

1 f(a),...,D n f(a))etchaquecomposante D i f(a)2L(E,F),maisque la réciproqueestengénérale fausse. Lerésultatsuivant donnele lienentre continuitédesdérivées partiellesetconti- nuitédela différentielle.

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis37

1.8.18THÉORÈME

SoientE=E

1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication.

Alorsfestdeclasse C

1 sietseulement sipourtout j2{1,...,n},D j fexisteet estcontinue. Démonstration:"=)"SiDfestcontinueil enestde mêmedeses composantesD i f, donclesdérivées partiellessont continues. "(="Supposonsque pourtoutj2{1,...,n},D j fexisteetest continue. Pourallégerles notatiosnonpr endran=2,lamême techniquemar chepour n3.

Soita=(a

1 ,a 2 )2Uet(h 1 ,h 2 )2E=E 1 ⇥E 2 ,onécrit f(a+h)f(a)=f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 ,a 2 =f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 +h 1 ,a 2 )+f(a 1 +h 1 ,a 2 )f(a 1 ,a 2

Soit#>0.Parhypothèse, ilexisted>0telque pourkh

1 kD'aprèslecor ollaire1.8.16,ona kf(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 +h 1 ,a 2 )D 2 f(a 1 ,a 2 )h 2 k kh 2 ksup s2]a 2 ,a 2 +h 2 kD 2 f(a 1 +h 1 ,s)D 2 f(a 1 ,a 2 )k. et kf(a 1 +h 1 ,a 2 )f(a 1 ,a 2 )D 1 f(a 1 ,a 2 )h 1 k kh 1 ksup t2]a 1 ,a 1 +h 1 kD 1 f(t,a 2 )Dquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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