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Université Paris 7 - Denis DiderotAnnée 2005/2006

Licence 2 - MIASMI4

Fonctions de plusieurs variables

1 Notions de dérivée

1.1 Prologue

Avant d"expliquer les notions de dérivées pour les fonctions de plusieurs variables, il est utile de

se rappeler comment on procède pour définir la dérivée d"une fonction d"une variable. Soit]a,b[

un intervalle deR,f:]a,b[-→Rune fonction continue etx0?]a,b[. Une première façon de dire quefest dérivable enx0consiste à regarder le taux de variation f(x0+t)-f(x0) t,pourt?= 0etx0+t?]a,b[,

et à demander que ce rapport admette une limite lorsquettend vers0. Nous ferons référence à ce

point de vue comme étant celui deNewton-Leibniz, ces deux illustres savants en étant à l"origine.

Il existe un autre procédé, plus géométrique. Nous dessinons le grapheΓf:={(x,f(x))? ]a,b[×R|x?]a,b[}et pour toutx?]a,b[différent dex0, nous traçons la droiteΔxpassant par les deux points(x0,f(x0))et(x,f(x)). Lorsque l"on fait tendrexversx0, on demande que abxxf(x) 0 Fig.1 - La droiteΔxpassant par les deux points(x0,f(x0))et(x,f(x))et le graphe def

la droiteΔxse positionne asymptotiquement vers une limiteΔx0, qui sera visualisée géométri-

quement comme la droite tangente àΓfau point(x0,f(x0)). Nous ferons référence à ce point

abxf(x) 0 Fig.2 - La droite limiteΔx0est la tangente àΓfau point(x0,f(x0)) de vue comme étant celui deFermat. Notons que l"on peut qualifier la droite tangente en disant que c"estla droite qui approche le mieux le graphe defau voisinage du point(x0,f(x0)). La dérivabilité defenx0se formulera en disant que : 1 - le taux de variationf(x0+t)-f(x0)tadmet une limite, que l"on noteraf?(x0)et que l"on appellera la dérivée defenx0, si l"on adopte le point de vue de Newton-Leibniz, - la droiteΔxadmet une limiteΔx0lorsquextend versx0, que l"on appellera la droite tangente au graphe defau point(x0,f(x0)), si l"on adopte le point de vue de Fermat. On fait le lien entre les deux points de vue en remarquant que f(x0+t)-f(x0) test lapentede la droiteΔxet sa limitef?(x0)est la pente de la droite tangenteΔx0. Nous allons voir qu"essentiellement, si on cherche à transposer ces deux points de vue à des

fonction à valeurs réelles de plusieurs variables, on obtient deux définitions différentes.

1.2 Dérivation selon un vecteur

On se place dorénavant dansRnmuni des normes||·||2,||·||∞, etc. (noter que, grâce aux résultats

obtenus au chapitre précédent, on sait que le choix de la norme est indifférent pour tout ce qui

concerne les notions de limite). On note(e1,···,en)la base canonique deRn. SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction,a?Uetv?Rnun vecteur. CommeUest ouvert eta?U, il exister >0tel que la boule ouverteB2(a,r) :={x?Rn| ||x-a||2< r}soit incluse dansU. En particulier, pour toutt?]-r ||v||2,r||v||2[, on a : ||tv||2< r??a+tv?B2(a,r) =?a+tv?U.

Ainsi l"application

-r ||v||2,r||v||2? -→R t?-→f(a+tv) est bien définie. Ua v

Fig.3 - Sit?]-r||v||2,r||v||2[, alorsa+tv?U

Définition 1SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction,a?Uetv?Rnun vecteur.

On dit que"fest dérivable enadans la directionv»ssi la fonctiont?-→f(a+tv)est dérivable

en 0. Alors on note D vf(a) := limt→0f(a+tv)-f(a) t(1) et on appelle cette quantité ladérivée defdans la directionvena. Remarque 1- Cette notion n"a d"intérêt que siv?= 0. Par ailleurs sivetwsont deux vecteurs non nuls et colinéaires, c"est à dire, s"il existeλ?R?tel quew=λv, alors f(a+tw)-f(a) 2

oùs:=λt. Et donc on voit quef(a+tw)-f(a)tadmet une limite lorsquet→0ssif(a+sv)-f(a)sadmet une limite lorsques→0. Donc "fest dérivable enadans la directionv» ssi "fest

dérivable enadans la directionw». Enfin en passant à la limite dans l"identité ci-dessus, on

obtient que : D

λvf(a) =Dwf(a) =λDvf(a).

Remarque 2-En pratique, nous n"utiliseronsque des dérivés dans les directions e

1,···,en, où(e1,···,en)est la base canonique deRn. Nous utilisons alors une notation spéciale

pour désignerDekf(a): on note ∂f ∂xk(a) :=Dekf(a) := limt→0f(a+tek)-f(a)t.

On appellera

∂f ∂xkla" dérivée partielle defpar rapport à la variablexk». Analysons le sens de

cette limite. Soit(x1,···,xn)les coordonnées deadans la base(e1,···,en). Alors les coordonnées

dea+teksont :

Ainsi, pour calculer

∂f ∂xk(a), on calcule la limite lim t, c"est à dire :on gèle toutes les variablesxj, pourj?=k, et on dérive par rapport àxk. Autrement dit, on se ramène à la dérivation d"une fonction d"une variable! Exemple- Prenons la fonctionfdéfinie surR2par : f(x,y) =x2cosy

et cherchons sa dérivée partielle par rapport àxpour toute valeur de(x,y). Pour cela on gèle

y(qui joue donc momentanément le rôle d"un paramètre) et on dérive par rapport àx. Cela

donne :∂f ∂x(x,y) = 2xcosy.

De même, si on veut calculer la dérivée partielle defpar rapport ày, on gèle la variableyet

on dérive par rapport àx:∂f ∂y(x,y) =-x2siny. Remarque 3- Enfin nous pouvons observer que la définition de la dérivée que nous venons

de voir est une généralisation aux fonctions de plusieurs variables du concept de dérivée selon

Newton-Leibniz.

Définition 2SoitUun ouvert deRnetf:U-→Rune fonction - Sifadmet une dérivée dans la directionven tout pointadeU, on dit alors que : "fadmet une dérivée dans la directionvsurU» - Si pour toutk?[[1,n]],fadmet une dérivée dans la directioneksurUet si toutes les fonctions ∂f ∂xk:U-→R x?-→∂f ∂xk(x) sont continues, on dit que : "fest de classeC1surU». 3

1.3 Différentielle d"une fonction de plusieurs variablesL"idée est à présent de s"inspirer du point de vue de Fermat : la dérivée doit contenir l"information

qui permet de trouver la meilleure approximation du graphe defau voisinage d"un point(a,f(a)) qui soit un hyperplan. En effet, nous notons que, sifest une fonction d"un ouvertUdeRnversR, alors son grapheΓf:={(x,f(x))?Rn×R|x?U}est une hypersurface deRn+1. Au voisinage d"un point(a,f(a)), il est donc normal d"essayer d"approcherΓfpar un hyperplan passant par

(a,f(a)). Cet hyperplan peut être lui-même construit en prenant le graphe d"une fonction affine

F(x) =α+?(x),où?:Rn-→Rest linéaire.

Le plus difficile dans l"histoire consiste à trouver la meilleure forme linéaire?. Car, une fois que

l"on a fixé?, on en déduit facilementα: pour cela on demande queΓFpasse le point(a,f(a))1

et donc quef(a) =F(a), ce qui entraîneα=f(a)-?(a)et doncF(x) =f(a)-?(a) +?(x) = f(a) +?(x-a). Supposons donc queαsoit tel quef(a) =F(a). On va choisir?de façon à ce quef(x)soit très

très proche deF(x)lorsquexest très proche dea. De façon plus précise, il est raisonable de

demander que le rapport f(x)-F(x) x-atende vers0lorsquex→a.

PuisqueF(x) =f(a) +?(x-a), cela signifie que :

f(x)-f(a)-?(x-a) x-atende vers0lorsquex→a. Définition 3SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction eta?U. On dit que"fest différentiable ena»ssi il existe une application linéaire?:Rn-→Rtelle que lim h?B(0,r);h→0f(a+h)-f(a)-?(h) h= 0.(2)

Ou encore :

?a+h?U, f(a+h) =f(a) +?(h) +||h||ε(h),

où||·||est une norme (quelconque) etε(h)est une fonction qui s"annule en0et qui est continue

en0(donc en particulierlimh→0ε(h) = 0). La forme linéaire?est alors unique, est appelée" la

différentielle defena»et est notée df a:=?.

Remarque 1- Une des différence avec la définition de la dérivabilité dansla direction d"un

vecteur est que la limite dans (1) était la limite d"une fonction définie surR, tandis que la limite

dans (2) est la limite d"une fonction définie sur un ouvert deRnet donc nécessite les notions de

topologies vues au chapitre précédent pour être définie correctement. Remarque 2- Ainsi, sifadmet une différentielledfaena, alors on a : ?a+h?U, f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε(h),oùlimh→0ε(h) = 0.

Exemples de fonctions différentiable

1c"est la moindre des choses si on demande que le grapheΓFdeFapprocheΓfau voisinage du point(a,f(a))

4 a) Les fonctions affines.Soitf:Rn-→Rune fonction affine, c"est à dire de la forme f(x) =α+?(x),oùα?Ret??(Rn)?.

Alors, pour touta?Rn,

f(a+h) =α+?(a+h) =α+?(a) +?(h) =f(a) +?(h) et?est linéaire. Doncfadmet une différentielle ena, qui est?; i.e.dfa=?. Ainsi l"application df:Rn-→(Rn)?est constante et est égale à?partout. b) La somme de deux fonctions différentiables.SoitU?Rnun ouvert etfetgdeux applications différentiables deUversR. Alors la somme f+g:U-→R x?-→f(x) +g(x) est différentiable surUet,?a?U, d(f+g)a=dfa+dga. La preuve est immédiate et est laissée au lecteur à titre d"exercice. c) Le produit de deux fonctions différentiables.SoitU?Rnun ouvert etfetgdeux applications différentiables deUversR. Alors le produit fg:U-→R x?-→f(x)g(x) est différentiable surUet,?a?U, d(fg)a=f(a)dga+g(a)dfa.

En effet nous avons,?a?U,

f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε1(h)etg(a+h) =g(a) +dga(h) +||h||ε2(h). et en multipliant ces deux identités entre elles : f(a+h)g(a+h) =f(a)g(a) +f(a)dga(h) +g(a)dfa(h) +[dfa(h)dga(h) +||h||(ε1(h)(g(a) +dga(h)) +ε2(h)(f(a) +dfa(h)))],

et on vérifie que le terme entre crochets est de la forme||h||ε(h), oùlimh→0ε(h) = 0.

d) La composition d"une fonction différentiable avec une fonction dérivable.SoitU? R

nun ouvert,f:U-→Rune fonction différentiable,]α,β[un intervalle deRetg:]α,β[-→R

une fonction dérivable.On suppose que l"imagef(U)defest contenue dans]α,β[. Alors g◦f:U-→R x?-→g(f(x)) est différentiable surUet,?a?U, f(g◦f)a=g?(f(a))dfa. 5

En effet nous avons,?a?U,

f(a+h) =f(a) +dfa(h) +||h||ε(h) et, poury?Rtel quef(a) +y?]α,β[, g(f(a) +y) =g(f(a)) +g?(f(a))y+|y|θ(y). Substituonsy=dfa(h) +||h||ε(h)dans cette dernière relation : nous obtenons g◦f(a+h) =g(f(a) +dfa(h) +||h||ε(h)) =g(f(a)) +g?(f(a))(dfa(h) +||h||ε(h)) +|dfa(h) +||h||ε(h)|θ(dfa(h) +||h||ε(h)) =g(f(a)) +g?(f(a))dfa(h) +||h||ε?(h), où l"on peut vérifier que ?(h) =g?(f(a))ε(h) +|dfa(h) +||h||ε(h)| ||h||θ(dfa(h) +||h||ε(h)) tend vers 0 lorsqueh→0. Doncg◦fest bien différentiable enaetd(g◦f)a=g?(f(a))dfa. Exercice- A partir des exemples et des résultats précédents, démontrer que : - tout polynôme

P(x) =?

(k1,···,kn)?[[1,N]]na k1···kn(x1)k1...(xn)kn

denvariables réelles définit une fonction différentiable surRn. ExprimerdPxdans le cas où

Pest un polynôme de degréNégal à 2 (autrement dit, siPest une forme quadratique) - toute fraction rationnellef=P Q(oùPetQsont des polynômes denvariables réelles) définit une fonction différentiable surU:={x?Rn|Q(x)?= 0}. - la fonctionf:R2-→R (x,y)?-→ex2

1 +x2+y2

est différentiable surR2. Calculer sa différentielle en tout point(x,y)?R2.

1.4 Lien entre les deux notions de dérivation

La chose la plus évidente est que la notion d"application différentiable est plus forte que celle de

fonction dérivable selon un vecteur. C"est l"objet du résultat suivant. Proposition 1SoitUun ouvert deRn,f:U-→Rune fonction eta?U. Sifest différen- tiable ena, alors pour tout vecteurv?Rn,fest dérivable enadans la directionvet D vf(a) =dfa(v). Démonstration- Supposons quefest différentiable ena. Cela nous donne en particulier que, pour toutv?Rn, f(a+tv) =f(a) +dfa(tv) +||tv||ε(tv),oùlimh→0ε(h) = 0. Nous utilisons cette relation pour écrire le taux de variations f(a+tv)-f(a) t=tdfa(v) +|t| · ||v||ε(tv)t=dfa(v) +signe(t)ε(tv). 6

Il est alors immédiat quef(a+tv)-f(a)tadmet une limite lorsquettend vers0, qui est égale àdfa(v).

Il est naturel de se demander si la réciproque est vraie. Là, les choses sont un peu plus compli-

quées. Il s"agit en effet de savoir si, étant donnée une fonctionf:U-→Reta?U, on peut

déduire du fait quefest dérivable enadans suffisament de directions le fait que est différentiable

ena. D"abord il semble raisonable de supposer que ce type de résultat n"ait lieu que si on sait

quefest dérivable par rapport à au moinsnvecteurs qui sont linéairement indépendants. Mais

cela n"est en fait pas suffisant, comme le montre l"exemple quisuit.

Exemple- Nous considérons la fonction

f:R2-→R (x,y)?-→3x2y-y3 x2+y2,si(x,y)?= 0 et nous posonsf(0,0) = 0, de sorte quefest continue surR2(exercice : vérifier!). Nous laissons

au lecteur (encore à titre d"exercice) le soin de montrer quefest différentiable en tout point de

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