[PDF] COURS DE L3 : CALCUL DIFFÉRENTIEL

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COURS DE L3 : CALCUL

DIFFÉRENTIEL

Laurent BRUNEAU

Université de Cergy-Pontoise

2

Table des matières

1 Espaces vectoriels normés

5

1.1 Norme dans un espace vectoriel

5

1.2 Topologie élémentaire dans les evn

7

1.3 Convergence dans les evn

1 0

2 Continuité dans les evn

15

2.1 Fonctions continues

15

2.2 Applications linéaires continues

18

3 Différentiabilité

25

3.1 Fonctions différentiables - Différentielle

25

3.2 Les accroissements finis

31

3.3 Fonctions de classeC1et différentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Différentielles d"ordre supérieur

35

3.5 Extrema locaux

39

4 Théorèmes d"inversion locale et des fonctions implicites

43

4.1 Le Théorème d"inversion locale

44

4.2 Le Théorème des fonctions implicites

4 6

4.3 Application aux extrema sous contrainte (ou liés)

50
3

4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Espaces vectoriels normés

1.1 Norme dans un espace vectoriel

Dans tout ce cours les espaces vectoriels considérés seront desR-espaces vectoriels. Ce- pendant, la plupart des résultats que nous verrons sont également vrais si on considère des

C-espaces vectoriels.

Définition 1.1.SoitEun espace vectoriel. Une applicationN:E!R+est une norme si

1.N(x) = 0si et seulement six= 0,

2.N(x) =jjN(x)pour tout2Ret pour toutx2E,

3.N(x+y)N(x) +N(y)pour tousx;y2E.

Un espace vectorielEmuni d"une normeN, noté(E;N)sera appelé un espace vectoriel normé, en abrégéevn.

Notation :Les normes seront souvent notéesk k.

Exemple 1.1.SoitE=Rn. On notex= (x1;:::;xn)un élément deE. Les applications ci-dessous sont des normes surE: x7! kxk1=nX i=1jxij, x7! kxk2=v uutn X i=1jxij2, x7! kxk1= maxi=1;:::;njxij. Exemple 1.2.SoitE=C0([a;b])l"espace des fonctions continues de[a;b]dansR. Les applications ci-dessous sont des normes surE: f7! kfk1=Z b a jf(t)jdt, f7! kfk2= Zb a jf(t)j2dt 1=2 f7! kfk1= sup t2[a;b]jf(t)j. 5

6CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

Exemple 1.3.SurE=`1(N) :=fx= (xn)n2RNjP

njxnj<1g, l"application x7! kxk1=X n2Njxnjest une norme. Exercice 1.1.SoitNune norme sur un espace vectorielE. Montrer que pour tousx;y2E on ajN(x)N(y)j N(xy)(parfois appelé inégalité triangulaire inversée). Définition 1.2.SoitEun espace vectoriel etN1,N2deux normes surE. On dit queN1et N

2sont équivalentes s"il existeC;C02R+tels que

8x2E; CN1(x)N2(x)C0N1(x):(1.1)

Remarque 1.1.Dans la définition ci-dessus l"équation (1.1) semble donner un rôle différent

àN1etN2contrairement à la formulation "N1etN2sont équivalentes". On vérifie facilement qu"on peut en fait intervertir les rôles deN1etN2. Autrement dit, la relationdéfinie par N

1N2() 9C;C02R+;8x2E; CN1(x)N2(x)C0N1(x);(1.2)

est une relation symétrique. Cette relation est clairement réflexive, et on vérifie facilement

(faites-le!) qu"elle est transitive. Autrement dit ( 1.2 ) définit une relation d"équivalence. Exercice 1.2.Prouver les affirmations de la remarque précédente. Exemple 1.4.Les normesk k1etk k1dans l"Exemple1.1 ci-dessus son té quivalentes. Soitx= (x1;:::;xn)2Rn. Pour toution ajxij kxk1et donc kxk1=nX i=1jxij nkxk1: Par ailleurs, il existei0tel quemaxi=1;:::;njxij=jxi0jet donc kxk1=jxi0j nX i=1jxij=kxk1: Pour toutx2Rnon akxk1 kxk1nkxk1, ces deux normes sont donc équivalentes. Exercice 1.3.Montrer que les normesk k2etk k1sont équivalentes. Que peut-on en déduire sur les normesk k1etk k2? Le fait que les normesk k1,k k2etk k1surRnsoient équivalentes est en fait un cas particulier du théorème important suivant : Théorème 1.3.SiEest de dimension finie alors toutes les normes surEsont équivalentes. On démontrera ce Théorème dans le Chapitre 2 (fin de la Section 2.1 Exemple 1.5.Dans l"Exemple1.2 , les normesk k1etk k1ne sont pas équivalentes. Sif2C0([a;b]), pour toutt2[a;b]on ajf(t)j kfk1et donc kfk1=Z b a jf(t)jdtZ b a kfk1dt= (ba)kfk1:

1.2. TOPOLOGIE ÉLÉMENTAIRE DANS LES EVN7

On montre que par contre on ne peut pas trouverC >0tel que pour toutfon aitkfk1 Ckfk1. Pour cela il suffit de construire une suite(fn)ntelle quekfnk1= 1pour toutnmais kfnk1!0. Soitfndéfinie par f n(t) =na+ 1ntsiat < a+1n

0 sinon:

On akfnk1= 1tandis queRb

ajfn(t)jdt=12n(représenter graphiquement la fonctionfn). L"importance de la notion de normes équivalentes apparaitra par la suite quand on abordera les notions de convergence, continuité, etc. dans les evn. On verra en particulier que ces

notions dépendent en général de la norme choisiemais pasde leur classe d"équivalence (pour

la relationdéfinie en (1.2)). Définition 1.4.SoientEetFdeux espaces vectoriels, on appelle produit deEetF, noté

EF, l"ensemblef(x;y)jx2Eety2Fg.

Proposition 1.5.SurEFon définit les lois

P ourtous (x;y)et(x0;y0)dansEF,(x;y) + (x0;y0) := (x+x0;y+y0),

P ourtous (x;y)dansEFetdansR,(x;y) := (x;y).

EFmuni de ces lois est un espace vectoriel.

Exercice 1.4.Démontrer la proposition ci-dessus. Proposition 1.6.Soient(E;k kE)et(F;k kF)deux evn. Les applications

EF3(x;y)7! kxkE+kykFetEF3(x;y)7!max(kxkE;kykF)

définissent des normes sur l"espace vectorielEFet elles sont équivalentes. Exercice 1.5.Démontrer la proposition ci-dessus. Remarque 1.2.De la même façon si(E1;k k1);:::;(En;k kn)sont des evn alors les ap- plicationsE1 En3(x1;:::;xn)7!maxfkx1kE1;:::;kxnkEngetE1 En3 (x1;:::;xn)7! kx1kE1+:::+kxnkEndéfinissent des normes sur l"espace vectorielE1En et elles sont équivalentes.

1.2 Topologie élémentaire dans les evn

Dans ce cours on s"intéressera à l"étude de fonctionsf:E!FoùEetFsont deux espaces vectoriels, ou éventuellement définies uniquement sur une partie deE. Dans cette

section on introduit les notions (boules, ouverts, etc) préalables nécessaires à cette étude.

Si(E;k k)est un evn, alorsd(x;y) :=kxykdéfinit une distance entre les éléments de

E. On dira quedest la distance associée à la normek k. A partir de là on définit la notion

de boules. Définition 1.7.Soitx2Eetr0. On appelle boule ouverte, resp. fermée, de centrexet de rayonrl"ensembleB(x;r) =fy2Ej kyxk< rg, respB(x;r) =fy2Ej kyxk rg.

8CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

Exemple 1.6.SiE=Retkxk=jxj, on aB(x;r) =]xr;x+r[etB(x;r) = [xr;x+r]. Remarque 1.3.La notion de boule dépend du choix de la norme. Sik k1etk k2sont deux normes surEalors en généralBk k1(x;r)6=Bk k2(x;r). Exercice 1.6.SurR2, déterminer et représenter graphiquement la bouleB(0;1)pour la distance issue de chacune des normesk k1,k k2etk k1. Définition 1.8.Soitx2E. Un ensembleVEest appelé un voisinage dexs"il existe r >0tel queB(x;r)V. Exemple 1.7.Sur(R;j j)l"ensembleV=]1;1]est un voisinage de0mais ce n"est pas un voisinage de1bien que12V. Définition 1.9.Un ensembleOEest dit ouvert si pour toutx2Oil exister >0tel queB(x;r)O, i.e. siOest voisinage de chacun de ses points. Remarque 1.4.L"ensemble vide est un ensemble ouvert ainsi queElui même. Définition 1.10.Un ensembleFEest dit fermé si son complémentaireFc=EnFest ouvert. Exemple 1.8.Pour toutx2Eetr >0la boule ouverteB(x;r)est un ouvert et la boule ferméeB(x;r)est un fermé. Soity2B(x;r)alorskyxk< r. Soitr0=r kyxk>0, siz2B(y;r0)alors kzxk kzyk+kyxk< r0+kyxk=rdoncz2B(x;r). Autrement ditB(y;r0)

B(x;r)et doncB(x;r)est ouvert.

Montrons maintenant queB(x;r)est fermé c"est-à-dire que son complémentairefy2 Ejkyxk> rgest ouvert. Soitytel quekyxk> retr0=kyxkr >0. Siz2B(y;r0) alorskyxk kyzk+kzxk< r0+kzxk, i.e.kzxk>kyxk r0=ret donc z =2B(x;r). D"oùEnB(x;r)est ouvert etB(x;r)est un fermé. Proposition 1.11.Toute réunion d"ensembles ouverts est un ouvert et toute intersection finie d"ensembles ouverts est un ouvert. Toute intersection de fermés est un fermé et toute réunion finie de fermés est un fermé. Démonstration.On montre le résultats sur les ouverts, celui sur les fermés en découle directement (le complémentaire d"une intersection est la réunion des complémentaires et vice versa). Soit donc(Oi)i2Iune famille d"ouverts etO=[i2IOi. Il faut montrer queOest voisinage de chacun de ses points. Soit doncx2O. Par définition de l"union il existei2Itel que x2Oi. CommeOiest ouvert il exister >0tel queB(x;r)OiOce qui prouve queO est ouvert. Soit maintenantO1;:::;Ondes ouverts,O=\ni=1Oiet soitx2O(siOest vide il n"y a rien à montrer). Par définition, pour touti= 1;:::;n,x2Oiqui est ouvert donc il existeri>0tel queB(x;ri)Oi. Soitr= minfr1;:::;rng>0. Pour toution a

B(x;r)B(x;ri)Oiet doncB(x;r)O.2

1.2. TOPOLOGIE ÉLÉMENTAIRE DANS LES EVN9

Exemple 1.9.On se place dans(R;j j). Pourn1soitOn=]1n ;1n [. Pour toutn l"ensembleOnest ouvert dansR. Par contreO=\n1On=f0gne l"est pas. À la vue de cet exemple, quelle étape de la démonstration ci-dessus n"est plus vraie si on a une intersection infinie d"ouverts?

Définition 1.12.SoitAE.

1) On appelle intérieur deAl"ensembleA:=fx2Ej9r >0; B(x;r)Ag. Autrement dit,

l"intérieur deAest l"ensemble des points dontAest un voisinage. On a toujoursAA.

2) On appelle adhérence deAl"ensembleA:=fx2Ej8r >0; B(x;r)\A6=;g.

Remarque 1.5.SiAest ouvert alorsA=Aet siAest fermé alorsA=A. Exemple 1.10.On se place dans(R;j j). SoitA= [0;1[alorsA=]0;1[etA= [0;1]. Toujours dans(R;j j), on aQ=;etQ=R. En effet pour toutx2Retr >0il existe

q2Qtel quejxqj< r(voir cours de L1) ce qui montre queB(x;r)\Q6=;et doncQ=R. De même, pour toutx2Retr >0il existey2RnQtel quejxyj< r(voir cours

de L1) ce qui montre queB(x;r)n"est pas inclus dansQet doncQ=;. Proposition 1.13.SoitAE. AlorsAest le plus grand ouvert inclus dansAetAest le plus petit fermé contenantA. Dans la plupart des livres c"est cette caractérisation qui est prise comme définition de l"inérieur et de l"adhérence. Cependant, dans la pratique on utilise plutôt directement la

Définition

1.12 Démonstration.On va montrer queAest le plus grand ouvert inclus dansA. Il faut donc montrer queAest ouvert et que siOAest un ouvert alorsOA. Soit doncOAun ouvert. Six2Oalorsx2Aet il exister >0tel queB(x;r)OA, d"oùx2A. Montrons maintenant queAest ouvert. Soit doncx2A, on chercher >0tel queB(x;r)A. Par définition deAil exister >0tel queB(x;r)A. CommeB(x;r)est un ouvert et est inclus dansA, d"après ce qui précèdeB(x;r)A.2 Exercice 1.7.Montrer queAest le plus petit fermé contenantA. Corollaire 1.14.Un ensembleAest ouvert si et seulementA=Aet il est fermé si et seulement siA=A. Tout comme pour la notion de boule, les notions de voisinage, ouvert, fermé, intérieur et adhérence dépendent a priori du choix de la distance (ainsi que de l"espaceElui-même).

Cependant, on a

Proposition 1.15.Sik k1etk k2sont deux normes équivalentes alors les notions de voi-

sinage, ouvert, fermé, intérieur et adhérence coïncident, i.e. tout ouvert pourk k1est un

ouvert pourk k2et réciproquement, et de même pour les fermés, les voisinages etc. Démonstration.On montre le résultat pour les ouverts. La démonstration est similaire pour les autres notions et laissée à titre d"exercice. Par définition il existeC;C0>0tels que pour toutxdansEon a

Ckxk1 kxk2C0kxk1:(1.3)

10CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

On montre que siOEest un ouvert pourk k1c"est aussi un ouvert pourk k2. La réciproque s"obtient en intervertissant les rôles dek k1etk k2. Soit doncOun ouvert pourk k1et soitx2O. On chercher >0tel queBk k2(x;r)O, i.e. tel quekyxk2< r)y2O. On sait queOouvert pourk k1donc il exister1>0 tel quekyxk1< r1)y2O. En utilisant la première inégalité dans (1.3), siyvérifie kyxk2< r1Calorskyxk1kyxk2C < r1et doncy2O. Ainsir=r1C >0convient.

Exercice 1.8.Démontrer la Proposition1.15 .

1.3 Convergence dans les evn

La définition suivante est la généralisation naturelle, dans le cadre des evn, de la notion de limite de suite que vous avez vue dansRpuis dansRn. Définition 1.16.Soitu= (un)n2ENune suite d"éléments deE. On dit que la suiteu converge s"il existe`2Etel que

8" >0;9N2N;8nNkun`k< ";

autrement dit si la suite de nombres réels(kun`k)ntend vers0(dansR). Tout comme pour les suites de nombres réels, on a Proposition 1.17.Soitu= (un)nune suite. Si elle converge alors sa limite est unique. Exercice 1.9.Montrer la proposition1.17 . Indication : c"est la même preuve que dansR. Exercice 1.10.Soit(un)ntelle queun!`etx2E. Montrer quekunxk ! k`xk. Attention !!Tout comme dans la section précédente, la notion de limite dépend a priori du choix de la norme. Quand on étudiera la convergence d"une suite, on fera toujours bien attention au choix de la norme et s"il y a ambiguité on précisera pour quelle norme cette convergence a lieu. Exemple 1.11.SoitE=C0([0;1]), on considère les normeskfk1=Z 1 0 jf(t)jdtetkfk1= sup t2[0;1]jf(t)j. Soit(fn)nla suite de fonctions définies parfn(t) =tn. On va montrer que cette suite converge pourk k1(vers la fonction nulle) mais qu"elle ne converge pas pourk k1.

Pour toutn2Non akfn0k1=R1

0jtn0jdt=R1

0tndt=1n+1qui tend vers0, donc la

suite(fn)nconverge vers la fonction nulle siEest muni de la normek k1. On munit maintenantEde la normek k1, on va montrer que la suite(fn)nne converge pas. On raisonne par contradiction. Soitf2Etelle quekfnfk1!0. En particulier, pour toutt2[0;1]on ajfn(t)f(t)j !0(convergence uniforme implique convergence simple). Orfn(t) =tntend vers0sit2[0;1[et vers1sit= 1. On en déduit que nécessairement f(t) = 0sit2[0;1[et quef(1) = 1ce qui contredit la continuité def. Remarque 1.6.On peut rencontrer la situation où une suite(un)nconverge pour deux normesk k1etk k2mais vers des limites différentes!

1.3. CONVERGENCE DANS LES EVN11

Ce qui fait que dans l"exemple ci-dessus on a convergence pour une norme mais pas pour l"autre vient du fait que celles-ci ne sont pas équivalentes. La proposition ci-dessous montre toute l"importance de la notion de normes équivalentes. Proposition 1.18.Soientk k1etk k2des normes équivalentes et(un)nune suite. La suite (un)nconverge pourk k1si et seulement si elle converge pourk k2. La limite est alors la même. Démonstration.SoientC;C0tels queCkxk1 kxk2C0kxk1pour toutxdansE. Si `2Eon a donc, pour toutn,

Ckun`k1 kun`k2C0kun`k1;

ce qui prouve quekun`k1!0si et seulement sikun`k2!0par le Théorème des gendarmes (noter qu"une norme est toujours positive).2 La proposition suivante est souvent très utile pour montrer qu"un ensemble est fermé (ou ouvert en passant au complémentaire). Proposition 1.19.Soit(E;k k)un evn etFE. L"ensembleFest fermé si et seulement pour toute suite(un)n2FN, si(un)nconverge alors sa limite est dansF. Démonstration.On suppose d"abord queFest un fermé. Soit(un)nune suite deFet `2Etels queun!`. On a donc,

8" >0;9N2N;8nN;kun`k< ":(1.4)

On veut montrer que`2F. On raisonne par l"absurde. On suppose donc que` =2F. Comme Fest fermé,Fcest un ouvert et donc il exister >0tel queB(`;r)Fc, i.e.B(`;r)\F=;.

Or, en utilisant (

1.4 ) avec"=ron a pour toutnN,un2B(`;r). Commeun2Fcela contreditB(`;r)\F=;. Réciproquement, on raisonne par contraposition. SiFn"est pas fermé,Fcn"est pas ouvert. Il existe donc`2Fctel que, pour toutr >0,B(`;r)6Fc, i.e.B(`;r)\F6=;. On prend r= 1=n. Il existe doncun2B(`;1=n)\F. On obtient donc une suite(un)nd"éléments de Fqui vérifie, pour toutn,kun`k<1=net donc qui converge vers`. On a donc construit une suite d"éléments deFqui converge mais dont la limite n"est pas dansF.2 On rappelle qu"une sous-suite, ou suite extraite, d"une suite(un)nest une suite(u'(n))n où':N!Nest strictement croissante et que si la suite(un)nconverge vers`alors toute sous-suite de(un)nconverge aussi vers`(vous l"avez vu dansR, c"est identique dans les evn). Exercice 1.11.On dit que`est une valeur d"adhérence de la suite(un)ns"il existe une sous-suite de(un)nqui converge vers`et on noteAl"ensemble des valeurs d"adhérence de (un)n. On note aussiUn:=fuk; kng. Montrer queA=\n2NUn. Définition 1.20.Un ensembleKEest dit compact si toute suite(un)nd"éléments de Kadmet une sous-suite qui converge dansK(i.e. la limite est aussi dansK). Autrement dit, quelle que soit(un)n2KNil existe':N!Nstrictement croissante et`2Ktels que limn!1u'(n)=`.

12CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

Comme pour les notions d"ouvert, fermé, etc. la notion d"ensemble compact dépend du choix de la norme. Exercice 1.12.Sik k1etk k2sont équivalentes, montrer queKest compact pourk k1si et seulement si il est compact pourk k2. On rappelle qu"un ensembleAest borné s"il existeM >0tel que pour toutx2Aon a kxk M. DansRn, et plus généralement dans tout espace vectoriel de dimension finie (pour n"importe quelle norme puisque celles-ci sont toutes équivalentes en dimension finie), les ensembles compacts sont les ensembles fermés et bornés (voir le cours "fonctions de plusieurs variables" de L2). Ce n"est pas forcément le cas en général, voir l"Exemple 1.12 , mais on a cependant Proposition 1.21.SiKEest compact alorsKest fermé et borné. Démonstration.La preuve est la même que dansRn. On montre d"abord queKest borné. En effet sinon on pourrait construire une suite(un)ntelle quekunk npour toutn. En particulierlimn!1kunk= +1. Par ailleurs, puisqueKest compact, il existe'strictement croissante et`2Ktels quelimn!1u'(n)=`. On a alors, voir Exercice1.10 ,limn!1ku(n)k=k`k ce qui contreditlimn!1kunk= +1. Montrons maintenant queKest fermé. On utilise la Proposition1.19 . Soit(un)nune suite deKqui converge vers`2E. On veut montrer que`2K. CommeKest compact, il existe une sous-suite(u'(n))nqui converge et dont la limite est dansK. Par ailleurs, puisque (un)nconverge vers`, la sous-suite(u'(n))nconverge également vers`. Ce qui prouve que `2K.2

Exemple 1.12.SoitE=R[X], siP(X) =nX

k=0a kXkon définitN(P) = maxfja0j;:::;janjg.

Ndéfinit bien une norme surE(montrez le).

SoitK=B(0;1)la boule fermée de centre0et de rayon1.Kest fermé et borné. On montre cependant queKn"est pas compact. On considère la suite(Pn)ndéfinie par P n(X) =Xn. Pour toutnon aPn2K, cependant cette suite n"admet pas de sous-suite convergente. On raisonne par l"absurde, on suppose queP'(n)!Qoù'est strictement croissante etQ2K. SiQ=qX k=0aquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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